Begriffsschrift - Begriffsschrift

Титульный лист оригинального издания 1879 г.

Begriffsschrift (По-немецки, грубо говоря, «концептуальный сценарий») - это книга о логика к Готтлоб Фреге, изданный в 1879 г., и формальная система изложены в этой книге.

Begriffsschrift обычно переводится как написание концепции или же обозначение концепции; полное название книги идентифицирует ее как " формула язык, по образцу арифметика, чистого мысль. »Мотивация Фреге к разработке своего формального подхода к логике напоминала Лейбниц мотивация для его логический расчет (несмотря на это, в предисловии Фреге ясно отрицает, что он достиг этой цели, а также, что его основной целью будет построение идеального языка, подобного Лейбницевскому, что Фреге объявляет довольно сложной и идеалистической, хотя и не невыполнимой, задачей). Фреге продолжал использовать свое логическое исчисление в своих исследованиях основы математики, проведенного в течение следующей четверти века.

Обозначения и система

Исчисление содержит первое появление количественных переменных и по сути является классическим двухвалентным логика второго порядка с личностью. Он двухвалентен в том смысле, что предложения или формулы обозначают либо истину, либо ложь; второй порядок, потому что он включает в себя переменные отношения в дополнение к объектным переменным и позволяет количественную оценку по обоим. Модификатор «с идентификатором» указывает, что язык включает отношение идентичности =.

Фреге представляет свое исчисление, используя идиосинкразический двумерный обозначение: связки и кванторы записываются с использованием линий, соединяющих формулы, а не символов ¬, ∧ и ∀, которые используются сегодня. Например, это суждение B существенно подразумевает суждение А, т.е. ${\displaystyle B\rightarrow A}$ записывается как .

В первой главе Фреге определяет основные идеи и обозначения, такие как предложение («суждение»), универсальный квантор («общность»), условный, отрицание и "знак идентичности содержания" ${\displaystyle \equiv }$ (который он использовал для обозначения обоих материальная эквивалентность и собственно личность); во второй главе он объявляет девять формализованных утверждений аксиомами.

Основная концепция	Обозначение Фреге	Современные обозначения
Судить	${\displaystyle \vdash A,\Vdash A}$	${\displaystyle p(A)=1,}$ ${\displaystyle p(A)=i}$${\displaystyle \vdash A,\Vdash A}$
Отрицание		${\displaystyle \neg A}$ ${\displaystyle {\sim }A}$
Условный (импликация)		${\displaystyle B\rightarrow A}$ ${\displaystyle B\supset A}$
Универсальная количественная оценка		${\displaystyle \forall x\,F(x)}$
Экзистенциальная количественная оценка		${\displaystyle \exists x\,F(x)}$
Идентичность контента (эквивалентность / идентичность)	${\displaystyle A\equiv B}$	${\displaystyle A\leftrightarrow B}$ ${\displaystyle A\equiv B}$ ${\displaystyle A=B}$

В главе 1, §5, Фреге определяет условное выражение следующим образом:

"Пусть A и B относятся к оцениваемому содержанию, тогда есть четыре возможности:

1. A утверждается, B утверждается;
2. A утверждается, B отрицается;
3. A отрицается, B утверждается;
4. A отрицается, B отрицается.

Позволять

означают, что третья из этих возможностей не реализуется, но одна из трех других дает. Итак, если мы отрицаем , это означает, что действительна третья возможность, т.е. мы отрицаем A и утверждаем B. "

Исчисление в работе Фреге

Фреге объявил девять своих предложений несостоятельными. аксиомы, и оправдывал их, неформально аргументируя это тем, что, учитывая их предполагаемый смысл, они выражают самоочевидные истины. В современных обозначениях эти аксиомы таковы:

1. ${\displaystyle \vdash \ \ A\rightarrow \left(B\rightarrow A\right)}$
2. ${\displaystyle \vdash \ \ \left[\ A\rightarrow \left(B\rightarrow C\right)\ \right]\ \rightarrow \ \left[\ \left(A\rightarrow B\right)\rightarrow \left(A\rightarrow C\right)\ \right]}$
3. ${\displaystyle \vdash \ \ \left[\ D\rightarrow \left(B\rightarrow A\right)\ \right]\ \rightarrow \ \left[\ B\rightarrow \left(D\rightarrow A\right)\ \right]}$
4. ${\displaystyle \vdash \ \ \left(B\rightarrow A\right)\ \rightarrow \ \left(\lnot A\rightarrow \lnot B\right)}$
5. ${\displaystyle \vdash \ \ \lnot \lnot A\rightarrow A}$
6. ${\displaystyle \vdash \ \ A\rightarrow \lnot \lnot A}$
7. ${\displaystyle \vdash \ \ \left(c=d\right)\rightarrow \left(f(c)=f(d)\right)}$
8. ${\displaystyle \vdash \ \ c=c}$
9. ${\displaystyle \vdash \ \ \forall a\ f(a)\rightarrow \ f(c)}$

Это предложения 1, 2, 8, 28, 31, 41, 52, 54 и 58 в Begriffschrifft. (1) - (3) регулируют материальное значение, (4)–(6) отрицание, (7) и (8) тождество; (9) универсальный квантор. (7) выражает Лейбниц с неразличимость идентичностей, а (8) утверждает, что тождество рефлексивное отношение.

Все остальные предложения выводятся из (1) - (9) с помощью любого из следующих правила вывода:

• Modus ponens позволяет нам сделать вывод ${\displaystyle \vdash B}$ из ${\displaystyle \vdash A\to B}$ и ${\displaystyle \vdash A}$;
• В правило обобщения позволяет нам сделать вывод ${\displaystyle \vdash P\to \forall xA(x)}$ из ${\displaystyle \vdash P\to A(x)}$ если Икс не встречается в п;
• В правило замены, о чем Фреге явно не говорит. Это правило гораздо труднее сформулировать точно, чем два предыдущих правила, и Фреге применяет его не очевидно законными способами.

Основные результаты третьей главы, озаглавленной «Части общей теории рядов», касаются того, что сейчас называется наследственный отношения р. "а является р- предок б" написано "aR*б".

Фреге применил результаты Begriffsschrifft, в том числе о предках родственника, в его более поздних работах Основы арифметики. Таким образом, если взять xRy быть отношением у = Икс + 1, затем 0р*у это предикат "у натуральное число ". (133) говорит, что если Икс, у, и z находятся натуральные числа, то должно выполняться одно из следующих условий: Икс < у, Икс = у, или же у < Икс. Это так называемый «закон трихотомия ".

Влияние на другие произведения

Для недавнего тщательного изучения того, как Begriffsschrift был рассмотрен в немецкой математической литературе, см. Vilko (1998). Некоторые рецензенты, особенно Эрнст Шредер, были в целом благоприятными. Все работают в формальной логике после Begriffsschrift в долгу перед ним, потому что его логика второго порядка была первой формальной логикой, способной представить значительную часть математики и естественного языка.

Некоторые следы обозначений Фреге сохранились в "турникет " символ ${\displaystyle \vdash }$ происходит от его "Urteilsstrich" (оценка / вывод инсульта) │ и "Inhaltsstrich" (т.е. штрих содержания) ──. Фреге использовал эти символы в Begriffsschrift в единой форме ├─ для подтверждения истинности предложения. В своем более позднем «Grundgesetze» он немного пересматривает свою интерпретацию символа ├─.

В «Begriffsschrift» «Определения doppelstrich» (т.е. определение двойного удара) │├─ указывает, что предложение является определением. Кроме того, знак отрицания ${\displaystyle \neg }$ можно прочитать как комбинацию горизонтального Инхальцстрих с вертикальной чертой отрицания. Этот символ отрицания был повторно введен Аренд Хейтинг^[1] в 1930 г., чтобы выделить интуиционистский от классического отрицания. Он также появляется в Герхарда Гентцена докторская диссертация.

в Tractatus Logico Philosophicus, Людвиг Витгенштейн отдает дань уважения Фреге, употребляя термин Begriffsschrift как синоним логического формализма.

Эссе Фреге 1892 г. "О смысле и референции, "отказывается от некоторых выводов Begriffsschrifft о личности (обозначается в математике знаком "="). В частности, он отвергает точку зрения «Begriffsschrift», согласно которой предикат идентичности выражает связь между именами, в пользу вывода, что он выражает отношения между объектами которые обозначенный этими именами.

Котировки

"Если задача философии состоит в том, чтобы сломить господство слов над человеческим разумом [...], то мои концептуальные обозначения, разработанные для этих целей, могут быть полезным инструментом для философов [...] Я считаю, что причина логики была продвинута уже с изобретением этой концепции обозначения ». (Предисловие к Begriffsschrift)

Редакции

• Готтлоб Фреге. Begriffsschrift: eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens. Halle a / S: Verlag von Louis Nebert, 1879.

Переводы:

• Байнум, Террелл Уорд, пер. и изд., 1972. Концептуальные обозначения и статьи по теме, с биографией и введением. Оксфордский университет. Нажмите.
• Бауэр-Менгельберг, Стефан, 1967, «Концептуальный сценарий» в Жан ван Хейеноорт, изд., От Фреге до Гёделя: Справочник по математической логике, 1879-1931 гг.. Гарвардский университет. Нажмите.
• Бини, Майкл, 1997, «Begriffsschrift: Selections (Preface and Part I)» в Читатель Фреге. Оксфорд: Блэквелл.

Смотрите также

• Родовые отношения
• Исчисление эквивалентных утверждений
• Исчисление высказываний Фреге
• Principia Mathematica

Рекомендации

1. Аренд Гейтинг: "Die formalen Regeln der intuitionistischen Logik", в: Sitzungsberichte der preußischen Akademie der Wissenschaften, Phys.-math. Klasse, 1930, с. 42–65.

дальнейшее чтение

• Джордж Булос, 1985. "Читая Begriffsschrift", Разум 94: 331–44.
• Айвор Граттан-Гиннесс, 2000. В поисках математических корней. Издательство Принстонского университета.
• Ристо Вилкко, 1998 г. "Прием Фреге Begriffsschrift," Historia Mathematica 25 (4): 412–22.

внешняя ссылка

• Залта, Эдуард Н. "Логика Фреге, теорема и основы арифметики". В Залта, Эдуард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии.
• Begriffsschrift как факсимиле для загрузки (2,5 МБ)