Бесселев потенциал - Bessel potential

В математика, то Бесселев потенциал это потенциал (названный в честь Фридрих Вильгельм Бессель ) аналогично Потенциал Рисса но с лучшими свойствами распада на бесконечности.

Если s - комплексное число с положительной действительной частью, то потенциал Бесселя порядка s оператор

${\displaystyle (I-\Delta )^{-s/2}}$

где Δ - Оператор Лапласа и дробная мощность определяется с помощью преобразований Фурье.

Юкава потенциалы являются частными случаями бесселевых потенциалов для ${\displaystyle s=2}$ в 3-х мерном пространстве.

Представление в пространстве Фурье

Потенциал Бесселя действует умножением на Преобразования Фурье: для каждого ${\displaystyle \xi \in \mathbb {R} ^{d}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}((I-\Delta )^{-s/2}u)(\xi )={\frac {{\mathcal {F}}u(\xi )}{(1+4\pi ^{2}\vert \xi \vert ^{2})^{s/2}}}.}$

Интегральные представления

Когда ${\displaystyle s>0}$, потенциал Бесселя на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ может быть представлен

${\displaystyle (I-\Delta )^{-s/2}u=G_{s}\ast u,}$

где ядро ​​Бесселя ${\displaystyle G_{s}}$ определяется для ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{d}\setminus \{0\}}$ по интегральной формуле ^[1]

${\displaystyle G_{s}(x)={\frac {1}{(4\pi )^{s/2}\Gamma (s/2)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-{\frac {\pi \vert x\vert ^{2}}{y}}-{\frac {y}{4\pi }}}}{y^{1+{\frac {d-s}{2}}}}}\,\mathrm {d} y.}$

Здесь ${\displaystyle \Gamma }$ обозначает Гамма-функция Ядро Бесселя также можно представить для ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{d}\setminus \{0\}}$ к^[2]

${\displaystyle G_{s}(x)={\frac {e^{-\vert x\vert }}{(2\pi )^{\frac {d-1}{2}}2^{\frac {s}{2}}\Gamma ({\frac {s}{2}})\Gamma ({\frac {d-s+1}{2}})}}\int _{0}^{\infty }e^{-\vert x\vert t}{\Big (}t+{\frac {t^{2}}{2}}{\Big )}^{\frac {d-s-1}{2}}\,\mathrm {d} t.}$

Асимптотика

В начале координат ${\displaystyle \vert x\vert \to 0}$,^[3]

${\displaystyle G_{s}(x)={\frac {\Gamma ({\frac {d-s}{2}})}{2^{s}\pi ^{s/2}\vert x\vert ^{d-s}}}(1+o(1))\quad {\text{ if }}0<s<d,}$

${\displaystyle G_{d}(x)={\frac {1}{2^{d-1}\pi ^{d/2}}}\ln {\frac {1}{\vert x\vert }}(1+o(1)),}$

${\displaystyle G_{s}(x)={\frac {\Gamma ({\frac {s-d}{2}})}{2^{s}\pi ^{s/2}}}(1+o(1))\quad {\text{ if }}s>d.}$

В частности, когда ${\displaystyle 0<s<d}$ потенциал Бесселя ведет себя асимптотически как Потенциал Рисса.

На бесконечности, как ${\displaystyle \vert x\vert \to \infty }$, ^[4]

${\displaystyle G_{s}(x)={\frac {e^{-\vert x\vert }}{2^{\frac {d+s-1}{2}}\pi ^{\frac {d-1}{2}}\Gamma ({\frac {s}{2}})\vert x\vert ^{\frac {d+1-s}{2}}}}(1+o(1)).}$

Смотрите также

• Потенциал Рисса
• Дробная интеграция
• Соболевское пространство
• Дробное уравнение Шредингера
• Потенциал Юкавы

Рекомендации

1. Штейн, Элиас (1970). Сингулярные интегралы и свойства дифференцируемости функций. Издательство Принстонского университета. Глава V ур. (26). ISBN  0-691-08079-8.
2. Н. Ароншайн; К. Т. Смит (1961). «Теория бесселевых потенциалов I». Анна. Inst. Фурье. 11. 385–475, (4,2).
3. Н. Ароншайн; К. Т. Смит (1961). «Теория бесселевых потенциалов I». Анна. Inst. Фурье. 11. 385–475, (4,3).
4. Н. Ароншайн; К. Т. Смит (1961). «Теория бесселевых потенциалов I». Анна. Inst. Фурье. 11: 385–475.

• Дудучава, Р. (2001) [1994], «Бессельский потенциальный оператор», Энциклопедия математики, EMS Press
• Графакос, Лукас (2009), Современный анализ Фурье, Тексты для выпускников по математике, 250 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-0-387-09434-2, ISBN  978-0-387-09433-5, МИСТЕР  2463316
• Хедберг, Л. (2001) [1994], «Бесселевское потенциальное пространство», Энциклопедия математики, EMS Press
• Соломенцев, Э. (2001) [1994], «Бессельский потенциал», Энциклопедия математики, EMS Press
• Штейн, Элиас (1970), Сингулярные интегралы и свойства дифференцируемости функций, Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, ISBN  0-691-08079-8