Закрытое погружение - Closed immersion

Об одноименной концепции в дифференциальной геометрии см. погружение (математика).

В алгебраическая геометрия, а закрытое погружение из схемы это морфизм схем ${\displaystyle f:Z\to X}$ это определяет Z как замкнутое подмножество Икс так что локально обычные функции на Z может быть расширен до Икс.^[1] Последнее условие можно формализовать, сказав, что ${\displaystyle f^{\#}:{\mathcal {O}}_{X}\rightarrow f_{\ast }{\mathcal {O}}_{Z}}$ сюръективно.^[2]

Примером может служить карта включения ${\displaystyle \operatorname {Spec} (R/I)\to \operatorname {Spec} (R)}$ индуцированный каноническим отображением ${\displaystyle R\to R/I}$.

Другие характеристики

Следующие варианты эквивалентны:

1. ${\displaystyle f:Z\to X}$ закрытое погружение.
2. Для каждого открытого аффинного ${\displaystyle U=\operatorname {Spec} (R)\subset X}$существует идеал ${\displaystyle I\subset R}$ такой, что ${\displaystyle f^{-1}(U)=\operatorname {Spec} (R/I)}$ как схемы над U.
3. Существует открытое аффинное покрытие ${\displaystyle X=\bigcup U_{j},U_{j}=\operatorname {Spec} R_{j}}$ и для каждого j существует идеал ${\displaystyle I_{j}\subset R_{j}}$ такой, что ${\displaystyle f^{-1}(U_{j})=\operatorname {Spec} (R_{j}/I_{j})}$ как схемы над ${\displaystyle U_{j}}$.
4. Существует квазикогерентный пучок идеалов ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ на Икс такой, что ${\displaystyle f_{\ast }{\mathcal {O}}_{Z}\cong {\mathcal {O}}_{X}/{\mathcal {I}}}$ и ж является изоморфизмом Z на глобальная спецификация из ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}/{\mathcal {I}}}$ над Икс.

Свойства

Закрытое погружение - это конечный и радиальный (универсально инъективный). В частности, замкнутое погружение универсально замкнуто. Закрытое погружение устойчиво к изменениям основы и состава. Понятие закрытого погружения локально в том смысле, что ж является замкнутым погружением тогда и только тогда, когда для некоторого (эквивалентно каждого) открытого покрытия ${\displaystyle X=\bigcup U_{j}}$ индуцированная карта ${\displaystyle f:f^{-1}(U_{j})\rightarrow U_{j}}$ закрытое погружение.^[3][4]

Если состав ${\displaystyle Z\to Y\to X}$ закрытое погружение и ${\displaystyle Y\to X}$ является отделенный, тогда ${\displaystyle Z\to Y}$ закрытое погружение. Если Икс это отдельный S-схема, то каждые S-часть Икс закрытое погружение.^[5]

Если ${\displaystyle i:Z\to X}$ закрытое погружение и ${\displaystyle {\mathcal {I}}\subset {\mathcal {O}}_{X}}$ квазикогерентный пучок идеалов, высекающий Z, то прямое изображение ${\displaystyle i_{*}}$ из категории квазикогерентных пучков над Z в категорию квазикогерентных пучков над Икс точно, полностью соответствует основному образу, состоящему из ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ такой, что ${\displaystyle {\mathcal {I}}{\mathcal {G}}=0}$.^[6]

Плоское закрытое погружение конечного представления - это открытое погружение открытой замкнутой подсхемы.^[7]

Смотрите также

• Сегре встраивание
• Обычное встраивание

Заметки

1. Мамфорд, Красная книга сортов и схем, Раздел II.5
2. Hartshorne ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFHartshorne (Помогите)
3. EGA I, 4.2.4 ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFEGA_I (Помогите)
4. http://stacks.math.columbia.edu/download/spaces-morphisms.pdf
5. EGA I, 5.4.6 ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFEGA_I (Помогите)
6. Стеки, морфизмы схем. Лемма 4.1.
7. Стеки, морфизмы схем. Лемма 27.2.

использованная литература

• Гротендик, Александр; Дьедонне, Жан (1960). "Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas". Публикации Mathématiques de l'IHÉS. 4. Дои:10.1007 / bf02684778. Г-Н  0217083.
• В Stacks Project
• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия, Тексты для выпускников по математике, 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90244-9, Г-Н  0463157