Конфлюэнтная гипергеометрическая функция - Confluent hypergeometric function

В математика, а сливаться гипергеометрическая функция является решением конфлюэнтное гипергеометрическое уравнение, которая является вырожденной формой гипергеометрическое дифференциальное уравнение где два из трех регулярные особенности слиться в нерегулярная особенность. Период, термин сливаться относится к слиянию особых точек семейств дифференциальных уравнений; Confluere на латыни означает «сливаться вместе». Есть несколько общих стандартных форм конфлюэнтных гипергеометрических функций:

• Куммера (конфлюэнтная гипергеометрическая) функция M(а, б, z), представлен Куммер  (1837 ), является решением Дифференциальное уравнение Куммера. Это также известно как конфлюэнтная гипергеометрическая функция первого рода. Есть другой и не связанный Функция Куммера носящий то же имя.
• Функция Трикоми (конфлюэнтная гипергеометрическая) U(а, б, z) представлен Франческо Трикоми  (1947 ), иногда обозначаемый Ψ (а; б; z), является еще одним решением уравнения Куммера. Это также известно как конфлюэнтная гипергеометрическая функция второго рода.
• Функции Уиттекера (за Эдмунд Тейлор Уиттакер ) являются решениями Уравнение Уиттекера.
• Кулоновские волновые функции являются решениями Кулоновское волновое уравнение. Функции Куммера, функции Уиттекера и волновые функции Кулона по существу одинаковы и отличаются друг от друга только элементарными функциями и заменой переменных.

Уравнение Куммера

Уравнение Куммера можно записать как:

${\displaystyle z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(b-z){\frac {dw}{dz}}-aw=0,}$

с регулярной особой точкой в z = 0 и нерегулярная особая точка при z = ∞. Имеет два (обычно) линейно независимый решения M(а, б, z) и U(а, б, z).

Функция Куммера первого рода M это обобщенный гипергеометрический ряд введено в (Куммер 1837 г. ), выданный:

${\displaystyle M(a,b,z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a^{(n)}z^{n}}{b^{(n)}n!}}={}_{1}F_{1}(a;b;z),}$

куда:

${\displaystyle a^{(0)}=1,}$

${\displaystyle a^{(n)}=a(a+1)(a+2)\cdots (a+n-1)\,,}$

это возрастающий факториал. Другое распространенное обозначение для этого решения: Φ (а, б, z). Рассматривается как функция а, б, или же z с двумя другими постоянными, это определяет вся функция из а или же z, кроме случаев, когда б = 0, −1, −2, ... В зависимости от б это аналитический кроме полюсов у целых неположительных чисел.

Некоторые значения а и б дают решения, которые могут быть выражены через другие известные функции. Видеть #Особые случаи. Когда а - целое неположительное число, то функция Куммера (если она определена) является обобщенным Полином Лагерра.

Подобно тому, как конфлюэнтное дифференциальное уравнение является пределом гипергеометрическое дифференциальное уравнение поскольку особая точка в 1 перемещается к особой точке в ∞, конфлюэнтная гипергеометрическая функция может быть задана как предел гипергеометрическая функция

${\displaystyle M(a,c,z)=\lim _{b\to \infty }{}_{2}F_{1}(a,b;c;z/b)}$

и многие свойства конфлюэнтной гипергеометрической функции являются предельными случаями свойств гипергеометрической функции.

Поскольку уравнение Куммера имеет второй порядок, должно быть другое, независимое решение. В указательное уравнение метода Фробениуса говорит нам, что наименьшая степень решения степенного ряда уравнения Куммера равна либо 0, либо 1 − б. Если мы позволим ш(z) быть

${\displaystyle w(z)=z^{1-b}v(z)}$

то дифференциальное уравнение дает

${\displaystyle z^{2-b}{\frac {d^{2}v}{dz^{2}}}+2(1-b)z^{1-b}{\frac {dv}{dz}}-b(1-b)z^{-b}v+(b-z)\left[z^{1-b}{\frac {dv}{dz}}+(1-b)z^{-b}v\right]-az^{1-b}v=0}$

которые при разделении z^1−б и упрощая, становится

${\displaystyle z{\frac {d^{2}v}{dz^{2}}}+(2-b-z){\frac {dv}{dz}}-(a+1-b)v=0.}$

Это означает, что z^1−бM(а + 1 − б, 2 − б, z) это решение, пока б не является целым числом больше 1, так же как M(а, б, z) это решение, пока б не является целым числом меньше 1. Мы также можем использовать конфлюэнтную гипергеометрическую функцию Трикоми U(а, б, z) представлен Франческо Трикоми  (1947 ), иногда обозначаемый Ψ (а; б; z). Это комбинация двух вышеупомянутых решений, определяемых

${\displaystyle U(a,b,z)={\frac {\Gamma (1-b)}{\Gamma (a+1-b)}}M(a,b,z)+{\frac {\Gamma (b-1)}{\Gamma (a)}}z^{1-b}M(a+1-b,2-b,z).}$

Хотя это выражение не определено для целого числа б, его преимущество в том, что его можно расширить до любого целого числа б по преемственности. В отличие от функции Куммера, которая является вся функция из z, U(z) обычно имеет необычность на нуле. Например, если б = 0 и а ≠ 0 тогда Γ (а+1)U(а, б, z) − 1 асимптотичен az пер z в качестве z уходит в ноль. Но посмотри #Особые случаи для некоторых примеров, когда это целая функция (полином).

Обратите внимание, что решение z^1−бM(а + 1 − б, 2 − б, z) уравнения Куммера совпадает с решением U(а, б, z), видеть # Трансформация Куммера.

Для большинства комбинаций реальных и сложных а и б, функции M(а, б, z) и U(а, б, z) независимы, а если б - целое неположительное число, поэтому M(а, б, z) не существует, тогда мы сможем использовать z^1−бM(а+1−б, 2−б, z) в качестве второго решения. Но если а - целое неположительное число и б не является целым неположительным числом, то U(z) кратно M(z). И в этом случае z^1−бM(а+1−б, 2−б, z) может использоваться как второе решение, если оно существует и отличается. Но когда б целое число больше 1, этого решения не существует, и если б = 1 тогда он существует, но является кратным U(а, б, z) и из M(а, б, z) В этих случаях существует второе решение следующей формы, действительное для любых реальных или сложных а и любое положительное целое число б кроме тех случаев, когда а положительное целое число меньше, чем б:

${\displaystyle M(a,b,z)\ln z+z^{1-b}\sum _{k=0}^{\infty }C_{k}z^{k}}$

Когда а = 0 мы также можем использовать:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{z}(-u)^{-b}e^{u}\mathrm {d} u.}$

Когда б = 1 это экспоненциальный интеграл E₁(−z).

Аналогичная проблема возникает, когда а−б отрицательное целое число и б целое число меньше 1. В этом случае M(а, б, z) не существует, и U(а, б, z) кратно z^1−бM(а+1−б, 2−б, z). Тогда второе решение имеет вид:

${\displaystyle z^{1-b}M(a+1-b,2-b,z)\ln z+\sum _{k=0}^{\infty }C_{k}z^{k}}$

Другие уравнения

Конфлюэнтные гипергеометрические функции могут использоваться для решения расширенного конфлюэнтного гипергеометрического уравнения, общая форма которого имеет следующий вид:

${\displaystyle z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(b-z){\frac {dw}{dz}}-\left(\sum _{m=0}^{M}a_{m}z^{m}\right)w=0}$ ^[1]

Обратите внимание, что для M = 0 или когда суммирование включает только один член, оно сводится к обычному конфлюэнтному гипергеометрическому уравнению.

Таким образом, конфлюэнтные гипергеометрические функции могут использоваться для решения "большинства" обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, переменные коэффициенты которых являются линейными функциями от z, потому что они могут быть преобразованы в расширенное сливающееся гипергеометрическое уравнение. Рассмотрим уравнение:

${\displaystyle (A+Bz){\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(C+Dz){\frac {dw}{dz}}+(E+Fz)w=0}$

Сначала мы перемещаем регулярная особая точка к 0 с помощью замены А + Bz ↦ z, который преобразует уравнение в:

${\displaystyle z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(C+Dz){\frac {dw}{dz}}+(E+Fz)w=0}$

с новыми ценностями C, D, E, и F. Далее воспользуемся заменой:

${\displaystyle z\mapsto {\frac {1}{\sqrt {D^{2}-4F}}}z}$

и умножим уравнение на тот же коэффициент, получив:

${\displaystyle z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+\left(C+{\frac {D}{\sqrt {D^{2}-4F}}}z\right){\frac {dw}{dz}}+\left({\frac {E}{\sqrt {D^{2}-4F}}}+{\frac {F}{D^{2}-4F}}z\right)w=0}$

чье решение

${\displaystyle \exp \left(-\left(1+{\frac {D}{\sqrt {D^{2}-4F}}}\right){\frac {z}{2}}\right)w(z),}$

куда ш(z) является решением уравнения Куммера с

${\displaystyle a=\left(1+{\frac {D}{\sqrt {D^{2}-4F}}}\right){\frac {C}{2}}-{\frac {E}{\sqrt {D^{2}-4F}}},\qquad b=C.}$

Обратите внимание, что квадратный корень может давать мнимое или комплексное число. Если он равен нулю, необходимо использовать другое решение, а именно

${\displaystyle \exp \left(-{\tfrac {1}{2}}Dz\right)w(z),}$

куда ш(z) это конфлюэнтная гипергеометрическая предельная функция удовлетворение

${\displaystyle zw''(z)+Cw'(z)+\left(E-{\tfrac {1}{2}}CD\right)w(z)=0.}$

Как отмечено ниже, даже Уравнение Бесселя может быть решена с помощью конфлюэнтных гипергеометрических функций.

Интегральные представления

Если Re б > Re а > 0, M(а, б, z) можно представить в виде интеграла

${\displaystyle M(a,b,z)={\frac {\Gamma (b)}{\Gamma (a)\Gamma (b-a)}}\int _{0}^{1}e^{zu}u^{a-1}(1-u)^{b-a-1}\,du.}$

таким образом M(а, а+б, Это) это характеристическая функция из бета-распространение. За а с положительной реальной частью U можно получить Интеграл Лапласа

${\displaystyle U(a,b,z)={\frac {1}{\Gamma (a)}}\int _{0}^{\infty }e^{-zt}t^{a-1}(1+t)^{b-a-1}\,dt,\quad (\operatorname {Re} \ a>0)}$

Интеграл определяет решение в правой полуплоскости 0 z < π/2.

Их также можно представить как Интегралы Барнса

${\displaystyle M(a,b,z)={\frac {1}{2\pi i}}{\frac {\Gamma (b)}{\Gamma (a)}}\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {\Gamma (-s)\Gamma (a+s)}{\Gamma (b+s)}}(-z)^{s}ds}$

где контур переходит в одну сторону от полюсов Γ (-s) и по другую сторону полюсов Γ (а + s).

Асимптотическое поведение

Если решение уравнения Куммера асимптотично до степени z в качестве z → ∞, то мощность должна быть −а. На самом деле это так для решения Трикоми U(а, б, z). Его асимптотический поведение как z → ∞ можно вывести из интегральных представлений. Если z = Икс ∈ р, затем сделав в интеграле замену переменных с последующим разложением биномиальный ряд и его формальная почтовая интеграция дает начало асимптотический ряд расширение, действительное как Икс → ∞:^[2]

${\displaystyle U(a,b,x)\sim x^{-a}\,_{2}F_{0}\left(a,a-b+1;\,;-{\frac {1}{x}}\right),}$

куда ${\displaystyle _{2}F_{0}(\cdot ,\cdot ;;-1/x)}$ это обобщенный гипергеометрический ряд с 1 в качестве ведущего члена, который, как правило, нигде не сходится, но существует как формальный степенной ряд в 1/Икс. Этот асимптотическое разложение также действительно для сложных z вместо настоящего Икс, с |аргумент z| < 3π/2.

Асимптотика решения Куммера при больших |z| является:

${\displaystyle M(a,b,z)\sim \Gamma (b)\left({\frac {e^{z}z^{a-b}}{\Gamma (a)}}+{\frac {(-z)^{-a}}{\Gamma (b-a)}}\right)}$

Полномочия z принимаются с использованием −3π/ 2 z ≤ π/2.^[3] Первый член не нужен, когда Γ (б − а) конечно, то есть когда б − а не является целым неположительным числом и действительная часть z уходит в отрицательную бесконечность, тогда как второй член не нужен, когда Γ (а) конечно, то есть когда а не является целым неположительным числом и действительная часть z уходит в положительную бесконечность.

Всегда существует какое-то решение уравнения Куммера, асимптотическое к е^zz^^а−б в качестве z → −∞. Обычно это комбинация обоих M(а, б, z) и U(а, б, z) но также может быть выражено как е^z (−1)^а-б U(б − а, б, −z).

связи

Существует множество соотношений между функциями Куммера для различных аргументов и их производных. В этом разделе приводится несколько типичных примеров.

Смежные отношения

Данный M(а, б, z), четыре функции M(а ± 1, б, z), M(а, б ± 1, z) называются смежными с M(а, б, z). Функция M(а, б, z) может быть записана как линейная комбинация любых двух смежных функций с рациональными коэффициентами в терминах а, б, и z. Это дает (⁴
₂) = 6 отношения, заданные путем определения любых двух строк в правой части

${\displaystyle {\begin{aligned}z{\frac {dM}{dz}}=z{\frac {a}{b}}M(a+,b+)&=a(M(a+)-M)\\&=(b-1)(M(b-)-M)\\&=(b-a)M(a-)+(a-b+z)M\\&=z(a-b)M(b+)/b+zM\\\end{aligned}}}$

В обозначениях выше M = M(а, б, z), M(а+) = M(а + 1, б, z), и так далее.

Повторное применение этих соотношений дает линейную связь между любыми тремя функциями вида M(а + м, б + п, z) (и их высшие производные), где м, п целые числа.

Аналогичные отношения существуют для U.

Преобразование Куммера

Функции Куммера также связаны преобразованиями Куммера:

${\displaystyle M(a,b,z)=e^{z}\,M(b-a,b,-z)}$

${\displaystyle U(a,b,z)=z^{1-b}U\left(1+a-b,2-b,z\right)}$.

Теорема умножения

Следующее теоремы умножения верно:

${\displaystyle {\begin{aligned}U(a,b,z)&=e^{(1-t)z}\sum _{i=0}{\frac {(t-1)^{i}z^{i}}{i!}}U(a,b+i,zt)\\&=e^{(1-t)z}t^{b-1}\sum _{i=0}{\frac {\left(1-{\frac {1}{t}}\right)^{i}}{i!}}U(a-i,b-i,zt).\end{aligned}}}$

Связь с полиномами Лагерра и аналогичными представлениями

С точки зрения Полиномы Лагерра, Функции Куммера имеют несколько расширений, например

${\displaystyle M\left(a,b,{\frac {xy}{x-1}}\right)=(1-x)^{a}\cdot \sum _{n}{\frac {a^{(n)}}{b^{(n)}}}L_{n}^{(b-1)}(y)x^{n}}$ (Erdélyi et al. 1953 г., 6.12)

Особые случаи

Функции, которые могут быть выражены как частные случаи конфлюэнтной гипергеометрической функции, включают:

• Немного элементарные функции где левая часть не определена, когда б является целым неположительным числом, но правая часть по-прежнему является решением соответствующего уравнения Куммера:

${\displaystyle M(0,b,z)=1}$

${\displaystyle U(0,c,z)=1}$

${\displaystyle M(b,b,z)=e^{z}}$

${\displaystyle U(a,a,z)=e^{z}\int _{z}^{\infty }u^{-a}e^{-u}du}$ (полином, если а - целое неположительное число)

${\displaystyle {\frac {U(1,b,z)}{\Gamma (b-1)}}+{\frac {M(1,b,z)}{\Gamma (b)}}=z^{1-b}e^{z}}$

${\displaystyle M(n,b,z)}$ для неположительного целого числа п это обобщенный многочлен Лагерра.

${\displaystyle U(n,c,z)}$ для неположительного целого числа п делится на обобщенный многочлен Лагерра, равный ${\displaystyle {\tfrac {\Gamma (1-c)}{\Gamma (n+1-c)}}M(n,c,z)}$ когда последний существует.

${\displaystyle U(c-n,c,z)}$ когда п положительное целое число является замкнутой формой со степенями z, равно ${\displaystyle {\tfrac {\Gamma (c-1)}{\Gamma (c-n)}}z^{1-c}M(1-n,2-c,z)}$ когда последний существует.

${\displaystyle U(a,a+1,z)=z^{-a}}$

${\displaystyle U(-n,-2n,z)}$ для неотрицательного целого числа п является многочленом Бесселя (см. ниже).

${\displaystyle M(1,2,z)=(e^{z}-1)/z,\ \ M(1,3,z)=2!(e^{z}-1-z)/z^{2}}$ и Т. Д.

Используя отношение смежности ${\displaystyle aM(a+)=(a+z)M+z(a-b)M(b+)/b}$ мы получаем, например, ${\displaystyle M(2,1,z)=(1+z)e^{z}.}$

• Функция Бейтмана
• Функции Бесселя и многие связанные функции, такие как Воздушные функции, Функции Кельвина, Функции Ганкеля. Например, в частном случае б = 2а функция сводится к Функция Бесселя:

${\displaystyle {}_{1}F_{1}(a,2a,x)=e^{x/2}\,{}_{0}F_{1}\left(;a+{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {x^{2}}{16}}\right)=e^{x/2}\left({\tfrac {x}{4}}\right)^{1/2-a}\Gamma \left(a+{\tfrac {1}{2}}\right)I_{a-1/2}\left({\tfrac {x}{2}}\right).}$

Эту личность иногда также называют Куммера второе преобразование. по аналогии

${\displaystyle U(a,2a,x)={\frac {e^{x/2}}{\sqrt {\pi }}}x^{1/2-a}K_{a-1/2}(x/2),}$

Когда а - целое неположительное число, это равно 2^−аθ_−а(Икс/2) куда θ это Полином Бесселя.

• В функция ошибки можно выразить как

${\displaystyle \mathrm {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}dt={\frac {2x}{\sqrt {\pi }}}\ {}_{1}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{2}},-x^{2}\right).}$

• Кулоновская волновая функция
• Функции Каннингема
• Экспоненциальный интеграл и связанные функции, такие как интеграл синуса, логарифмический интеграл
• Полиномы Эрмита
• Неполная гамма-функция
• Полиномы Лагерра
• Функция параболического цилиндра (или функция Вебера)
• Функция Пуассона – Шарлье
• Функции Торонто
• Функции Уиттекера M_{κ, μ}(z), W_{κ, μ}(z) являются решениями Уравнение Уиттекера которые могут быть выражены через функции Куммера M и U к

${\displaystyle M_{\kappa ,\mu }(z)=e^{-{\tfrac {z}{2}}}z^{\mu +{\tfrac {1}{2}}}M\left(\mu -\kappa +{\tfrac {1}{2}},1+2\mu ;z\right)}$

${\displaystyle W_{\kappa ,\mu }(z)=e^{-{\tfrac {z}{2}}}z^{\mu +{\tfrac {1}{2}}}U\left(\mu -\kappa +{\tfrac {1}{2}},1+2\mu ;z\right)}$

• Генерал п-й необработанный момент (п не обязательно целое число) может быть выражено как^{[нужна цитата ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} \left[\left|N\left(\mu ,\sigma ^{2}\right)\right|^{p}\right]&={\frac {\left(2\sigma ^{2}\right)^{p/2}\Gamma \left({\tfrac {1+p}{2}}\right)}{\sqrt {\pi }}}\ {}_{1}F_{1}\left(-{\tfrac {p}{2}},{\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {\mu ^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\\\operatorname {E} \left[N\left(\mu ,\sigma ^{2}\right)^{p}\right]&=\left(-2\sigma ^{2}\right)^{p/2}U\left(-{\tfrac {p}{2}},{\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {\mu ^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\end{aligned}}}$

Во второй формуле вторая функция срезанная ветка можно выбрать, умножив на (−1)^п.

Применение к непрерывным дробям

Применяя ограничивающий аргумент к Непрерывная дробь Гаусса можно показать, что

${\displaystyle {\frac {M(a+1,b+1,z)}{M(a,b,z)}}={\cfrac {1}{1-{\cfrac {\displaystyle {\frac {b-a}{b(b+1)}}z}{1+{\cfrac {\displaystyle {\frac {a+1}{(b+1)(b+2)}}z}{1-{\cfrac {\displaystyle {\frac {b-a+1}{(b+2)(b+3)}}z}{1+{\cfrac {\displaystyle {\frac {a+2}{(b+3)(b+4)}}z}{1-\ddots }}}}}}}}}}}$

и что эта цепная дробь равномерно сходится к мероморфная функция из z в любой ограниченной области, не содержащей полюса.

Примечания

1. Кампос, LMBC (2001). «О некоторых решениях расширенного конфлюэнтного гипергеометрического дифференциального уравнения». Журнал вычислительной и прикладной математики. Эльзевир. 137: 177–200. Дои:10.1016 / s0377-0427 (00) 00706-8.
2. Andrews, G.E .; Askey, R .; Рой, Р. (2001). Специальные функции. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0521789882..
3. Это происходит от Абрамовица и Стегуна (см. Ссылку ниже), стр. 508, где дан полный асимптотический ряд. Они меняют знак экспоненты в ехр (iπa) в правой полуплоскости, но это несущественно, так как там можно пренебречь членом, иначе а является целым числом, знак не имеет значения.

Рекомендации

• Абрамовиц, Милтон; Стегун, Ирен Энн, ред. (1983) [июнь 1964]. «Глава 13». Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями, десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое издание). Вашингтон, округ Колумбия.; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. п. 504. ISBN  978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. МИСТЕР  0167642. LCCN  65-12253.
• Чистова, Е.А.(2001) [1994], «Конфлюэнтная гипергеометрическая функция», Энциклопедия математики, EMS Press
• Даалхуис, Адри Б. Олде (2010), «Конфлюэнтная гипергеометрическая функция», в Олвер, Фрэнк В. Дж.; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-19225-5, МИСТЕР  2723248
• Эрдели, Артур; Магнус, Вильгельм; Оберхеттингер, Фриц и Трикоми, Франческо Г. (1953). Высшие трансцендентные функции. Vol. я. Нью-Йорк – Торонто – Лондон: McGraw – Hill Book Company, Inc. МИСТЕР  0058756.
• Куммер, Эрнст Эдуард (1837). "De Integratedibus quibusdam Definitis et seriebus infinitis". Журнал für die reine und angewandte Mathematik (на латыни). 1837 (17): 228–242. Дои:10.1515 / crll.1837.17.228. ISSN  0075-4102. S2CID  121351583.
• Слейтер, Люси Джоан (1960). Конфлюэнтные гипергеометрические функции. Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. МИСТЕР  0107026.
• Трикоми, Франческо Г. (1947). "Sulle funzioni ipergeometriche confluenti". Annali di Matematica Pura ed Applicata. Серия 4 (на итальянском). 26: 141–175. Дои:10.1007 / bf02415375. ISSN  0003-4622. МИСТЕР  0029451. S2CID  119860549.
• Трикоми, Франческо Г. (1954). Funzioni ipergeometriche confluenti. Consiglio Nazionale Delle Ricerche Monografie Matematiche (на итальянском языке). 1. Рим: Edizioni cremonese. ISBN  978-88-7083-449-9. МИСТЕР  0076936.
• Oldham, K.B .; Myland, J .; Спаниер, Дж. (2010). Атлас функций: с Equator, калькулятор функций Атласа. Атлас функций. Springer Нью-Йорк. ISBN  978-0-387-48807-3. Получено 2017-08-23.

внешняя ссылка

• Сливающиеся гипергеометрические функции в электронной библиотеке математических функций NIST
• Гипергеометрическая функция Куммера на сайте Wolfram Functions
• Гипергеометрическая функция Трикоми на сайте Wolfram Functions