Производная экспоненциального отображения - Derivative of the exponential map

В 1899 г. Анри Пуанкаре Исследования группового умножения в терминах алгебры Ли привели его к формулировке универсальная обертывающая алгебра.^[1]

В теории Группы Ли, то экспоненциальная карта это карта из Алгебра Ли грамм группы Ли грамм в грамм. В случае грамм это матричная группа Ли экспоненциальное отображение сводится к матричная экспонента. Экспоненциальное отображение, обозначенное опыт:грамм → грамм, является аналитический и как таковой производная d/dtехр (Икс(т)): Tграмм → Тграмм, куда Икс(т) это C¹ дорожка в алгебре Ли, и тесно связанный дифференциал dexp: Tграмм → Тграмм.^[2]

Формула для dexp был впервые доказан Фридрих Шур (1891).^[3] Позже он был разработан Анри Пуанкаре (1899) в контексте проблемы выражения умножения групп Ли с помощью алгебраических терминов.^[4] Его также иногда называют Формула Дюамеля.

Формула важна как в чистой, так и в прикладной математике. Он входит в доказательства теорем, таких как Формула Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа, и он часто используется в физике^[5] например в квантовая теория поля, как в Расширение Магнуса в теория возмущений, И в решеточная калибровочная теория.

На всем протяжении обозначения ехр (Икс) и е^Икс будет использоваться взаимозаменяемо для обозначения экспоненты с заданным аргументом, Кроме когда, где, как отмечено, обозначения посвящены отчетливый смыслы. Обозначения в стиле исчисления предпочтительнее здесь для лучшей читаемости в уравнениях. С другой стороны, exp-стиль иногда более удобен для встроенных уравнений и необходим в тех редких случаях, когда необходимо провести реальное различие.

Заявление

Производная экспоненциального отображения дается выражением^[6]

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}e^{X(t)}=e^{X(t)}{\frac {1-e^{-\mathrm {ad} _{X}}}{\mathrm {ad} _{X}}}{\frac {dX(t)}{dt}}.}$               (1)

Объяснение

• Икс = Икс(т) это C¹ (непрерывно дифференцируемый) путь в алгебре Ли с производной Икс ´(т) = dX(т)/dt. Аргумент т опускается там, где он не нужен.
• объявление_Икс - линейное преобразование алгебры Ли, задаваемое формулой объявление_Икс(Y) = [Икс, Y]. Это сопряженное действие алгебры Ли на самой себе.
• Фракция 1 - exp (−ad_Икс)/объявление_Икс дается степенным рядом

${\displaystyle {\frac {1-e^{-\mathrm {ad} _{X}}}{\mathrm {ad} _{X}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(k+1)!}}(\mathrm {ad} _{X})^{k}.}$

(2)

полученный из степенного ряда экспоненциального отображения линейного эндоморфизма, как в матричном возведении в степень^[6]

• Когда грамм матричная группа Ли, все вхождения экспоненты задаются разложением в степенной ряд.
• Когда грамм является нет матричная группа Ли, 1 - exp (−ad_Икс)/объявление_Икс по-прежнему дается его степенным рядом (2), а два других вхождения exp в формуле, которые теперь экспоненциальное отображение в теории Ли, обратитесь к раз-один поток из левый инвариант векторное поле Икс, т.е. элемент алгебры Ли, как определено в общем случае, на группе Ли грамм рассматривается как аналитическое многообразие. Это по-прежнему составляет точно такую ​​же формулу, что и в матричном случае.
• Формула применима к случаю, когда exp рассматривается как отображение на матричном пространстве над ℝ или же ℂ, видеть матричная экспонента. Когда грамм = GL (п, ℂ) или же GL (п, ℝ), понятия точно совпадают.

Чтобы вычислить дифференциал dexp из exp в Икс, dexp_Икс: Тграмм_Икс → Тграмм_{ехр (Икс)}, стандартный рецепт^[2]

${\displaystyle d\exp _{X}Y=\left.{\frac {d}{dt}}e^{Z(t)}\right|_{t=0},Z(0)=X,Z'(0)=Y}$

Используется. С Z(т) = Икс + tY результат^[6]

${\displaystyle d\exp _{X}Y=e^{X}{\frac {1-e^{-\mathrm {ad} _{X}}}{\mathrm {ad} _{X}}}Y}$

(3)

следует сразу из (1). Особенно, dexp₀: Тграмм₀ → Тграмм_{ехр (0)} = Tграмм_е это личность, потому что Тграмм_Икс ≃ грамм (поскольку грамм - векторное пространство) и Тграмм_е ≃ грамм.

Доказательство

В приведенном ниже доказательстве предполагается матричная группа Ли. Это означает, что экспоненциальное отображение из алгебры Ли в матричную группу Ли задается обычным степенным рядом, то есть матричным возведением в степень. Заключение доказательства остается в силе в общем случае, если каждое вхождение exp правильно интерпретируется. См. Комментарии к общему случаю ниже.

Схема доказательства использует технику дифференцирования по s параметризованного выражения

${\displaystyle \Gamma (s,t)=e^{-sX(t)}{\frac {\partial }{\partial t}}e^{sX(t)}}$

получить дифференциальное уравнение первого порядка для Γ которое затем может быть решено прямым интегрированием в s. Тогда решение е^Икс Γ (1, t).

Лемма
Позволять Объявление обозначить сопряженное действие группы на ее алгебре Ли. Действие дано Объявление_АИкс = AXA⁻¹ за А ∈ грамм, Икс ∈ грамм. Часто полезные отношения между Объявление и объявление дан кем-то^{[7][nb 1]}

${\displaystyle \mathrm {Ad} _{e^{X}}=e^{\mathrm {ad} _{X}},~~X\in {\mathfrak {g}}~.}$               (4)

Доказательство
Используя правило продукта дважды, можно найти,

${\displaystyle {\frac {\partial \Gamma }{\partial s}}=e^{-sX}(-X){\frac {\partial }{\partial t}}e^{sX(t)}+e^{-sX}{\frac {\partial }{\partial t}}[X(t)e^{sX(t)}]=e^{-sX}{\frac {dX}{dt}}e^{sX}.}$

Тогда можно заметить, что

${\displaystyle {\frac {\partial \Gamma }{\partial s}}=\mathrm {Ad} _{e^{-sX}}X'=e^{-\mathrm {ad} _{sX}}X',}$

к (4) над. Интеграция дает

${\displaystyle \Gamma (1,t)=e^{-X(t)}{\frac {\partial }{\partial t}}e^{X(t)}=\int _{0}^{1}{\frac {\partial \Gamma }{\partial s}}ds=\int _{0}^{1}e^{-\mathrm {ad} _{sX}}X'ds.}$

Использование формального степенного ряда для расширения экспоненты, интегрирование по члену и, наконец, признание (2),

${\displaystyle \Gamma (1,t)=\int _{0}^{1}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}s^{k}}{k!}}(\mathrm {ad} _{X})^{k}{\frac {dX}{dt}}ds=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(k+1)!}}(\mathrm {ad} _{X})^{k}{\frac {dX}{dt}}={\frac {1-e^{-\mathrm {ad} _{X}}}{\mathrm {ad} _{X}}}{\frac {dX}{dt}},}$

и результат следует. Доказательство, представленное здесь, по существу, приведено в Россманн (2002). Доказательство с более алгебраическим подходом можно найти в Холл (2015).^[8]

Комментарии к общему делу

Формула в общем случае имеет вид^[9]

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathrm {exp} (C(t))=\mathrm {exp} (C)\phi (-\mathrm {ad} (C))C~',}$

куда^{[nb 2]}

${\displaystyle \phi (z)={\frac {e^{z}-1}{z}}=1+{\frac {1}{2!}}z+{\frac {1}{3!}}z^{2}+\cdots ,}$

что формально сводится к

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathrm {exp} (C(t))=\mathrm {exp} (C){\frac {1-e^{-\mathrm {ad} _{C}}}{\mathrm {ad} _{C}}}{\frac {dC(t)}{dt}}.}$

Здесь expНотация используется для экспоненциального отображения алгебры Ли, а нотация в стиле исчисления в дроби указывает на обычное расширение формального ряда. Дополнительную информацию и два полных доказательства в общем случае см. В свободно доступном Штернберг (2004) ссылка.

Прямой формальный аргумент

Мгновенный способ узнать ответ должен be, при его наличии, следующее. Существование необходимо доказывать отдельно в каждом случае. Путем прямого дифференцирования стандартного предельного определения экспоненты и замены порядка дифференцирования и предела

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}e^{X(t)}&=\lim _{N\to \infty }{\frac {d}{dt}}\left(1+{\frac {X(t)}{N}}\right)^{N}\\&=\lim _{N\to \infty }\sum _{k=1}^{N}\left(1+{\frac {X(t)}{N}}\right)^{N-k}{\frac {1}{N}}{\frac {dX(t)}{dt}}\left(1+{\frac {X(t)}{N}}\right)^{k-1}~~~,\end{aligned}}}$

где каждый фактор обязан своим местом некоммутативности Икс(т) и Икс ´(т).

Разделив единичный интервал на N разделы Δs = Δk/N (Δk = 1 поскольку индексы суммы являются целыми числами) и позволяя N → ∞, Δk → dk, k/N → s, Σ → ∫ дает

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}e^{X(t)}&=\int _{0}^{1}e^{(1-s)X}X'e^{sX}ds=e^{X}\int _{0}^{1}\mathrm {Ad} _{e^{-sX}}X'ds\\&=e^{X}\int _{0}^{1}e^{-\mathrm {ad} _{sX}}dsX'=e^{X}{\frac {1-e^{-ad_{X}}}{ad_{X}}}{\frac {dX}{dt}}~.\end{aligned}}}$

Приложения

Локальное поведение экспоненциальной карты

В теорема об обратной функции вместе с производной экспоненциального отображения предоставляет информацию о локальном поведении exp. Любой C^k, 0 ≤ k ≤ ∞, ω карта ж между векторными пространствами (здесь сначала рассматриваются матричные группы Ли) имеет C^k обратный такой, что ж это C^k биекция в открытом наборе вокруг точки Икс в предоставленном домене df_Икс обратимо. Из (3) отсюда следует, что это произойдет именно тогда, когда

${\displaystyle {\frac {1-e^{\mathrm {ad_{X}} }}{\mathrm {ad} _{X}}}}$

обратимо. Это, в свою очередь, происходит, когда все собственные значения этого оператора ненулевые. Собственные значения 1 - exp (−ad_Икс)/объявление_Икс связаны с теми из объявление_Икс следующее. Если грамм аналитическая функция комплексной переменной, выраженная в степенном ряду, такая что грамм(U) для матрицы U сходится, то собственные значения грамм(U) будет грамм(λ_ij), куда λ_ij являются собственными значениями U, двойной нижний индекс поясняется ниже.^{[№ 3]} В данном случае с грамм(U) = 1 - exp (-U)/U и U = ad_Икс, собственные значения 1 - exp (−ad_Икс)/объявление_Икс находятся

${\displaystyle {\frac {1-e^{-\lambda _{ij}}}{\lambda _{ij}}},}$

где λ_ij являются собственными значениями объявление_Икс. Положив 1 - exp (-λ_ij)/λ_ij = 0 видно, что dexp обратима именно тогда, когда

${\displaystyle \lambda _{ij}\neq k2\pi i,k=\pm 1,\pm 2,\ldots .}$

Собственные значения объявление_Икс в свою очередь связаны с таковыми из Икс. Пусть собственные значения Икс быть λ_я. Закрепить заказанную основу е_я лежащего в основе векторного пространства V такой, что Икс нижнетреугольная. потом

${\displaystyle Xe_{i}=\lambda _{i}e_{i}+\cdots ,}$

с остальными условиями, кратными е_п с п > я. Позволять E_ij - соответствующий базис для матричного пространства, т.е. (E_ij)_kl = δ_ikδ_jl. Закажите эту основу так, чтобы E_ij < E_нм если я − j < п − м. Проверяется, что действие объявление_Икс дан кем-то

${\displaystyle \mathrm {ad} _{X}E_{ij}=(\lambda _{i}-\lambda _{j})E_{ij}+\cdots \equiv \lambda _{ij}E_{ij}+\cdots ,}$

с остальными условиями, кратными E_млн > E_ij. Это означает, что объявление_Икс является нижним треугольником со своими собственными значениями λ_ij = λ_я − λ_j по диагонали. Вывод таков: dexp_Икс обратима, поэтому exp это местная бианалитическая биекция вокруг Икс, когда собственные значения Икс удовлетворить^{[10][№ 4]}

${\displaystyle \lambda _{i}-\lambda _{j}\neq k2\pi i,\quad k=\pm 1,\pm 2,\ldots ,\quad 1\leq i,j\leq n=\mathrm {dim} V.}$

В частности, в случае матричных групп Ли отсюда следует, что dexp₀ обратима, по теорема об обратной функции который exp бианалитическая биекция в окрестности 0 ∈ грамм в матричном пространстве. Более того, exp, является бианалитической биекцией из окрестности 0 ∈ грамм в грамм в район е ∈ грамм.^[11] Тот же вывод верен для общих групп Ли, использующих многообразный вариант теоремы об обратной функции.

Это также следует из теорема о неявной функции который dexp_ξ сам обратим для ξ достаточно маленький.^[12]

Вывод формулы Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа.

Основная статья: Формула Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа

Если Z (т) определяется так, что

${\displaystyle e^{Z(t)}=e^{X}e^{tY},}$

выражение для Z(1) = журнал (expИкс expY ), то Формула Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа, может быть получено из приведенной выше формулы,

${\displaystyle \exp(-Z(t)){\frac {d}{dt}}\mathrm {exp} (Z(t))={\frac {1-e^{-\mathrm {ad} _{Z}}}{\mathrm {ad} _{Z}}}Z'(t).}$

Его левая часть, как легко видеть, равна Y. Таким образом,

${\displaystyle Y={\frac {1-e^{-\mathrm {ad} _{Z}}}{\mathrm {ad} _{Z}}}Z'(t),}$

а значит, формально^[13][14]

${\displaystyle Z'(t)={\frac {\mathrm {ad} _{Z}}{1-e^{-\mathrm {ad} _{Z}}}}Y\equiv \psi (e^{\mathrm {ad} _{Z}})Y,\quad \psi (w)={\frac {w\log w}{w-1}}=1+\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}}{m(m+1)}}(w-1)^{m},||w||<1.}$

Однако, используя связь между Объявление и объявление данный (4), легко увидеть, что

${\displaystyle e^{\mathrm {ad} _{Z}}=e^{\mathrm {ad} _{X}}e^{t\mathrm {ad} _{Y}}}$

и поэтому

${\displaystyle Z'(t)=\psi (e^{\mathrm {ad} _{X}}e^{t\mathrm {ad} _{Y}})Y.}$

Представляя это в виде интеграла в т от 0 до 1 дает,

${\displaystyle Z(1)=\log(\exp X\exp Y)=X+\left(\int _{0}^{1}\psi \left(e^{\operatorname {ad} _{X}}~e^{t\,{\text{ad}}_{Y}}\right)\,dt\right)\,Y,}$

ан интегральная формула за Z(1) это более сговорчиво на практике, чем явное Формула ряда Дынкина за счет простоты разложения в ряд ψ. Обратите внимание, это выражение состоит из X + Y и их вложенные коммутаторы с Икс или же Y. Подтверждение этого из учебников можно найти в Холл (2015) и Миллер (1972).

Вывод формулы ряда Дынкина

Евгений Дынкин дома в 2003 году. В 1947 году Дынкин доказал явную формулу ряда БЧХ.^[15] Пуанкаре, Бейкер, Кэмпбелл и Хаусдорф были в основном озабочены существование скобочного ряда, которого достаточно для многих приложений, например, для доказательства центральных результатов в Ложная переписка.^[16][17] Фото из коллекции Дынкина.

Указанная формула Дынкина также может быть получена аналогично, исходя из параметрического расширения

${\displaystyle e^{Z(t)}=e^{tX}e^{tY},}$

откуда

${\displaystyle e^{-Z(t)}{\frac {de^{Z(t)}}{dt}}=e^{-t\,\mathrm {ad} _{Y}}X+Y~,}$

так что, используя приведенную выше общую формулу,

${\displaystyle Z'={\frac {\mathrm {ad} _{Z}}{1-e^{-\mathrm {ad} _{Z}}}}~(e^{-t\,\mathrm {ad} _{Y}}X+Y)={\frac {\mathrm {ad} _{Z}}{e^{\mathrm {ad} _{Z}}-1}}~(X+e^{t\,\mathrm {ad} _{X}}Y)~.}$

Однако поскольку

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {ad_{Z}} &=\mathrm {log} (\mathrm {exp(\mathrm {ad} _{Z})} )=\mathrm {log} (1+(\mathrm {exp(\mathrm {ad} _{Z})-1)} )\\&=\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {(-)^{n+1}}{n}}(\exp(\mathrm {ad} _{Z})-1)^{n}~,\quad ||\mathrm {ad} _{Z}||<\log 2~~,\end{aligned}}}$

последний шаг в силу Серия Меркатор расширения, следует, что

${\displaystyle Z'=\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {(-)^{n-1}}{n}}(e^{\mathrm {ad} _{Z}}-1)^{n-1}~(X+e^{t\,\mathrm {ad} _{X}}Y)~,}$

(5)

и, таким образом, интегрируя,

${\displaystyle Z(1)=\int _{0}^{1}dt~{\frac {dZ(t)}{dt}}=\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {(-)^{n-1}}{n}}\int _{0}^{1}dt~(e^{t\,\mathrm {ad} _{X}}e^{t\mathrm {ad} _{Y}}-1)^{n-1}~(X+e^{t\,\mathrm {ad} _{X}}Y)~.}$

Здесь очевидно, что выполняется качественное утверждение формулы БЧХ, а именно: Z лежит в алгебре Ли, порожденной Икс, Y и выражается как серия в повторяющихся скобках (А). Для каждого k, члены для каждого их разбиения организованы внутри целого ∫dt т^{к − 1}. В результате получается формула Дынкина

${\displaystyle Z=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}\sum _{s\in S_{k}}{\frac {1}{i_{1}+j_{1}+\cdots +i_{k}+j_{k}}}{\frac {[X^{(i_{1})}Y^{(j_{1})}\cdots X^{(i_{k})}Y^{(j_{k})}]}{i_{1}!j_{1}!\cdots i_{k}!j_{k}!}},\quad i_{r},j_{r}\geq 0,\quad i_{r}+j_{r}>0,\quad 1\leq r\leq k.}$

По поводу аналогичного доказательства с подробным разложением в ряд см. Россманн (2002).

Комбинаторные детали

Измените индекс суммирования в (5) к k = п − 1 и расширить

${\displaystyle {\frac {dZ}{dt}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k+1}}\left\{(e^{\mathrm {ad} _{tX}}e^{\mathrm {ad} _{tY}}-1)^{k}X+(e^{\mathrm {ad} _{tX}}e^{\mathrm {ad} _{tY}}-1)^{k}e^{\mathrm {ad} _{tX}}Y\right\}}$

(97)

в степенном ряду. Чтобы просто справиться с расширениями серии, сначала рассмотримZ = журнал (е^Иксе^Y). В бревно-серии и exp-серии даны

${\displaystyle \log(A)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}{(A-I)}^{k},\quad {\text{and}}\quad e^{X}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {X^{k}}{k!}}}$

соответственно. Комбинируя эти, получаем

${\displaystyle \log(e^{X}e^{Y})=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}{(e^{X}e^{Y}-I)}^{k}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}\left({\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {X^{i}}{i!}}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {Y^{j}}{j!}}-I}\right)^{k}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}\left(\sum _{i,j\geq 0,i+j>1}^{\infty }{\frac {X^{i}Y^{j}}{i!j!}}\right)^{k}.}$

(98)

Это становится

${\displaystyle Z=\log(e^{X}e^{Y})=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}\sum _{s\in S_{k}}{\frac {X^{i_{1}}Y^{j_{1}}\cdots X^{i_{k}}Y^{j_{k}}}{i_{1}!j_{1}!\cdots i_{k}!j_{k}!}},\quad i_{r},j_{r}\geq 0,\quad i_{r}+j_{r}>0,\quad 1\leq r\leq k,}$        (99)

куда S_k это множество всех последовательностей s = (я₁, j₁, …, я_k, j_k) длины 2k при соблюдении условий в (99).

Теперь замените (е^Иксе^Y − 1) за (е^{объявление_tX}е^{объявление_tY} − 1) в LHS из (98). Уравнение (99) затем дает

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dZ}{dt}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k+1}}\sum _{s\in S_{k},i_{k+1}\geq 0}&t^{i_{1}+j_{1}+\cdots +i_{k}+j_{k}}{\frac {{\mathrm {ad} _{X}}^{i_{1}}{\mathrm {ad} _{Y}}^{j_{1}}\cdots {\mathrm {ad} _{X}}^{i_{k}}{\mathrm {ad} _{Y}}^{j_{k}}}{i_{1}!j_{1}!\cdots i_{k}!j_{k}!}}X\\+&t^{i_{1}+j_{1}+\cdots +i_{k}+j_{k}+i_{k+1}}{\frac {{\mathrm {ad} _{X}}^{i_{1}}{\mathrm {ad} _{Y}}^{j_{1}}\cdots {\mathrm {ad} _{X}}^{i_{k}}{\mathrm {ad} _{Y}}^{j_{k}}X^{i_{k+1}}}{i_{1}!j_{1}!\cdots i_{k}!j_{k}!i_{k+1}!}}Y,\quad i_{r},j_{r}\geq 0,\quad i_{r}+j_{r}>0,\quad 1\leq r\leq k,\end{aligned}}}$

или, с изменением обозначений, см. Явная формула Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа,:${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dZ}{dt}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k+1}}\sum _{s\in S_{k},i_{k+1}\geq 0}&t^{i_{1}+j_{1}+\cdots +i_{k}+j_{k}}{\frac {[X^{(i_{1})}Y^{(j_{1})}\cdots X^{(i_{k})}Y^{(j_{k})}X]}{i_{1}!j_{1}!\cdots i_{k}!j_{k}!}}\\+&t^{i_{1}+j_{1}+\cdots +i_{k}+j_{k}+i_{k+1}}{\frac {[X^{(i_{1})}Y^{(j_{1})}\cdots X^{(i_{k})}Y^{(j_{k})}X^{(i_{k+1})}Y]}{i_{1}!j_{1}!\cdots i_{k}!j_{k}!i_{k+1}!}},\quad i_{r},j_{r}\geq 0,\quad i_{r}+j_{r}>0,\quad 1\leq r\leq k\end{aligned}}.}$

Обратите внимание, что индекс суммирования для самого правого е^{объявление_tX} во второй срок в (97) обозначается я_{k + 1}, но это нет элемент последовательности s ∈ S_k. Теперь интегрируйте Z = Z(1) = ∫dZ/dtdt, с помощью Z(0) = 0,

${\displaystyle {\begin{aligned}Z=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k+1}}\sum _{s\in S_{k},i_{k+1}\geq 0}&{\frac {1}{i_{1}+j_{1}+\cdots +i_{k}+j_{k}+1}}{\frac {[X^{(i_{1})}Y^{(j_{1})}\cdots X^{(i_{k})}Y^{(j_{k})}X]}{i_{1}!j_{1}!\cdots i_{k}!j_{k}!}}\\+&{\frac {1}{i_{1}+j_{1}+\cdots +i_{k}+j_{k}+i_{k+1}+1}}{\frac {[X^{(i_{1})}Y^{(j_{1})}\cdots X^{(i_{k})}Y^{(j_{k})}X^{(i_{k+1})}Y]}{i_{1}!j_{1}!\cdots i_{k}!j_{k}!i_{k+1}!}},\quad i_{r},j_{r}\geq 0,\quad i_{r}+j_{r}>0,\quad 1\leq r\leq k\end{aligned}}.}$

Напишите это как

${\displaystyle {\begin{aligned}Z=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k+1}}\sum _{s\in S_{k},i_{k+1}\geq 0}&{\frac {1}{i_{1}+j_{1}+\cdots +i_{k}+j_{k}+(i_{k+1}=1)+(j_{k+1}=0)}}{\frac {[X^{(i_{1})}Y^{(j_{1})}\cdots X^{(i_{k})}Y^{(j_{k})}X^{(i_{k+1}=1)}Y^{(j_{k+1}=0)}]}{i_{1}!j_{1}!\cdots i_{k}!j_{k}!(i_{k+1}=1)!(j_{k+1}=0)!}}\\+&{\frac {1}{i_{1}+j_{1}+\cdots +i_{k}+j_{k}+i_{k+1}+(j_{k+1}=1)}}{\frac {[X^{(i_{1})}Y^{(j_{1})}\cdots X^{(i_{k})}Y^{(j_{k})}X^{(i_{k+1})}Y^{(j_{k+1}=1)}]}{i_{1}!j_{1}!\cdots i_{k}!j_{k}!i_{k+1}!(j_{k+1}=1)!}},\quad i_{r},j_{r}\geq 0,\quad i_{r}+j_{r}>0,\quad 1\leq r\leq k\end{aligned}}.}$

Это составляет

${\displaystyle Z=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k+1}}\sum _{s\in S_{k+1}}{\frac {1}{i_{1}+j_{1}+\cdots +i_{k}+j_{k}+i_{k+1}+j_{k+1}}}{\frac {[X^{(i_{1})}Y^{(j_{1})}\cdots X^{(i_{k})}Y^{(j_{k})}X^{(i_{k+1})}Y^{(j_{k+1})}]}{i_{1}!j_{1}!\cdots i_{k}!j_{k}!i_{k+1}!j_{k+1}!}},\quad i_{r},j_{r}\geq 0,\quad i_{r}+j_{r}>0,\quad 1\leq r\leq k+1,}$

(100)

используя простое наблюдение, что [Т, Т] = 0 для всех Т. То есть в (100), главный член исчезает, если j_{k + 1} равно 0 или же 1, соответствующие первому и второму слагаемым в уравнении перед ним. В случае j_{k + 1} = 0, я_{k + 1} должен равняться 1, иначе член обращается в нуль по той же причине (я_{k + 1} = 0 не допускается). Наконец, сдвиньте индекс, k → k − 1,

${\displaystyle Z=\log e^{X}e^{Y}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}\sum _{s\in S_{k}}{\frac {1}{i_{1}+j_{1}+\cdots +i_{k}+j_{k}}}{\frac {[X^{(i_{1})}Y^{(j_{1})}\cdots X^{(i_{k})}Y^{(j_{k})}]}{i_{1}!j_{1}!\cdots i_{k}!j_{k}!}},~i_{r},j_{r}\geq 0,~i_{r}+j_{r}>0,~1\leq r\leq k.}$

Это формула Дынкина. Поразительное сходство с (99) не случайно: оно отражает Отображение Дынкина – Шпехта – Вевера, лежащая в основе первоначального, другого вывода формулы.^[15] А именно, если

${\displaystyle X^{i_{1}}Y^{j_{1}}\cdots X^{i_{k}}Y^{j_{k}}}$

выражается в виде скобочного ряда, то обязательно^[18]

${\displaystyle X^{i_{1}}Y^{j_{1}}\cdots X^{i_{k}}Y^{j_{k}}={\frac {[X^{(i_{1})}Y^{(j_{1})}\cdots X^{(i_{k})}Y^{(j_{k})}]}{i_{1}+j_{1}+\cdots +i_{k}+j_{k}}}.}$

(B)

Установка наблюдения (А) и теорема (В) вместе дает краткое доказательство явной формулы BCH.

Смотрите также

• Присоединенное представительство (объявление)
• Присоединенное представительство (Ad)
• Формула Бейкера-Кэмпбелла-Хаусдорфа
• Экспоненциальная карта
• Матрица экспоненциальная
• Матричный логарифм
• Расширение Магнуса

Замечания

1. Подтверждение личности можно найти в здесь. Это просто связь между представлением группы Ли и представлением ее алгебры Ли согласно Ложная переписка, поскольку оба Объявление и объявление представления с ad = dОбъявление.
2. Он считает, что
   ${\displaystyle \tau (\log z)\phi (-\log z)=1}$
   для | z - 1 | <1 где
   ${\displaystyle \tau (w)={\frac {w}{1-e^{-w}}}.}$
   Здесь, τ - экспоненциальная производящая функция
   ${\displaystyle (-1)^{k}b_{k},}$
   куда б_k являются Числа Бернулли.
3. Это видно, если выбрать базис для лежащего в основе векторного пространства так, чтобы U является треугольный, собственные значения - диагональные элементы. потом U^k треугольная с диагональными элементами λ_я^k. Отсюда следует, что собственные значения U находятся ж(λ_я). Видеть Россманн 2002, Лемма 6 из п. 1.2.
4. Матрицы, собственные значения которых λ удовлетворить | Im λ| < π под экспонентой находятся в биекции с матрицами, собственные значения которых μ не находятся на отрицательной действительной линии или нуле. В λ и μ связаны комплексной экспонентой. Видеть Россманн (2002) Замечание 2c, раздел 1.2.

Примечания

1. Шмид 1982
2. Россманн 2002 Приложение об аналитических функциях.
3. Шур 1891
4. Пуанкаре 1899
5. Сузуки 1985 Ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFSuzuki1985 (помощь)
6. Россманн 2002 Теорема 5 Раздел 1.2
7. Зал 2015 Предложение 3.35.
8. Смотрите также Туйнман 1995 г. из которого взято доказательство Холла.
9. Штернберг 2004 Это уравнение (1.11).
10. Россман 2002 Ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFRossman2002 (помощь) Предложение 7, раздел 1.2.
11. Зал 2015 Следствие 3.44.
12. Штернберг 2004 Раздел 1.6.
13. Зал 2015 Раздел 5.5.
14. Штернберг 2004 Раздел 1.2.
15. Дынкин 1947
16. Россманн 2002 Глава 2.
17. Зал 2015 Глава 5.
18. Штернберг 2004 Глава 1.12.2.

Рекомендации

• Дынкин Евгений Борисович (1947), «Вычисление коэффициентов в формуле Кэмпбелла – Хаусдорфа» [Вычисление коэффициентов в формуле Кэмпбелла – Хаусдорфа], Доклады Академии Наук СССР (на русском), 57: 323–326 ; перевод с Книги Google.
• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение, Тексты для выпускников по математике, 222 (2-е изд.), Springer, ISBN  978-3319134666
• Миллер, Уиллард (1972), Группы симметрии и их приложения, Academic Press, ISBN  0-12-497460-0
• Пуанкаре, Х. (1899), "Sur les groupes continus", Cambridge Philos. Пер., 18: 220–55
• Россманн, Вульф (2002), Группы Ли - введение через линейные группы, Оксфордские выпускные программы по математике, Oxford Science Publications, ISBN  0 19 859683 9
• Шур, Ф. (1891), "Zur Theorie der endlichen Transformationsgruppen", Abh. Математика. Сем. Univ. Гамбург, 4: 15–32
• Сузуки, Масуо (1985). «Формулы разложения экспоненциальных операторов и экспонент Ли с некоторыми приложениями к квантовой механике и статистической физике». Журнал математической физики. 26 (4): 601. Bibcode:1985JMP .... 26..601S. Дои:10.1063/1.526596.
• Туйнман (1995), "Вывод экспоненциального отображения матриц", Амер. Математика. Ежемесячно, 102 (9): 818–819, Дои:10.2307/2974511, JSTOR  2974511
• Вельтман, М, 'т Хофт, G & де Вит, B (2007). "Группы Ли в физике", онлайн-лекции.
• Уилкокс, Р. М. (1967). «Экспоненциальные операторы и дифференцирование параметров в квантовой физике». Журнал математической физики. 8 (4): 962–982. Bibcode:1967JMP ..... 8..962 Вт. Дои:10.1063/1.1705306.

внешняя ссылка

• Штернберг, Шломо (2004), Алгебры Ли (PDF)
• Шмид, Вильфрид (1982), "Группы Пуанкаре и Ли" (PDF), Бык. Амер. Математика. Soc., 6 (2): 175–186, Дои:10.1090 / s0273-0979-1982-14972-2