Эта функция Дирихле - Dirichlet eta function

Для модульной формы см. Функция Дедекинда эта.

Цветовое представление эта-функции Дирихле. Он генерируется как Матплотлиб сюжет с использованием версии Раскраска домена метод.^[1]

В математика, в районе аналитическая теория чисел, то Эта функция Дирихле определяется следующим Серия Дирихле, сходящийся при любом комплексное число имеющая действительную часть> 0:

${\displaystyle \eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n-1} \over n^{s}}={\frac {1}{1^{s}}}-{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}-{\frac {1}{4^{s}}}+\cdots }$

Этот ряд Дирихле представляет собой знакопеременную сумму, соответствующую разложению в ряд Дирихле Дзета-функция Римана, ζ(s) - и по этой причине эта функция Дирихле также известна как переменная дзета-функция, также обозначается ζ* (s). Имеет место следующее соотношение:

${\displaystyle \eta (s)=\left(1-2^{1-s}\right)\zeta (s)}$

И эта-функция Дирихле, и дзета-функция Римана являются частными случаями Полилогарифм.

В то время как разложение в ряд Дирихле для эта-функции сходится только при любых комплексное число s с действительной частью> 0, это Абель суммируемый для любого комплексного числа. Это служит для определения функции eta как вся функция (и приведенное выше соотношение показывает, что дзета-функция равна мероморфный с простым столб в s = 1, и, возможно, полюса в остальных нулях множителя ${\displaystyle 1-2^{1-s}}$).

Точно так же мы можем начать с определения

${\displaystyle \eta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{e^{x}+1}}{dx}}$

которая также определяется в области положительной действительной части (${\displaystyle \Gamma (s)}$ представляет Гамма-функция ). Это дает функцию eta как Преобразование Меллина.

Харди дал простое доказательство функциональное уравнение для функции эта, которая

${\displaystyle \eta (-s)=2{\frac {1-2^{-s-1}}{1-2^{-s}}}\pi ^{-s-1}s\sin \left({\pi s \over 2}\right)\Gamma (s)\eta (s+1).}$

Отсюда сразу же получается и функциональное уравнение дзета-функции, а также другое средство для расширения определения эта на всю комплексную плоскость.

Нули

В нули функции эта включают все нули функции дзета: отрицательные четные целые числа (действительные эквидистантные простые нули); нули вдоль критической линии, ни одно из которых, как известно, не кратно, и более 40% из которых оказались простыми, и гипотетические нули в критической полосе, но не на критической линии, которые, если они действительно существуют, должны иметь место в вершинах прямоугольников, симметричных относительно Икс-ось и критическая линия, кратность которой неизвестна.^{[нужна цитата ]} Кроме того, фактор ${\displaystyle 1-2^{1-s}}$ добавляет бесконечное количество сложных простых нулей, расположенных в равноотстоящих точках на линии ${\displaystyle \Re (s)=1}$, в ${\displaystyle s_{n}=1+2n\pi i/\ln(2)}$ куда п - любое ненулевое целое число.

Под Гипотеза Римана, нули эта-функции были бы расположены симметрично относительно действительной оси на двух параллельных прямых ${\displaystyle \Re (s)=1/2,\Re (s)=1}$, и на перпендикулярной полупрямой, образованной отрицательной действительной осью.

Проблема Ландау с ζ(s) = η(s) / 0 и решения

В уравнении η(s) = (1−2^1−s) ζ (s), "полюс ζ (s) при s = 1 компенсируется нулем другого фактора »(Titchmarsh, 1986, p. 17), и в результате η(1) не является ни бесконечным, ни нулевым (см. § Особые ценности ). Однако в уравнении

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {\eta (s)}{1-2^{1-s}}},}$

η должен быть равен нулю во всех точках ${\displaystyle s_{n}=1+n{\frac {2\pi }{\ln {2}}}i,n\neq 0,n\in \mathbb {Z} }$, где знаменатель равен нулю, если дзета-функция Римана аналитична и конечна. Проблема доказательства этого без предварительного определения дзета-функции была обозначена и оставлена ​​открытой. Э. Ландау в своем трактате по теории чисел 1909 года: "Отличен ли ряд эта от нуля или нет в точках ${\displaystyle s_{n}\neq 1}$, т.е. являются ли это полюсами дзеты или нет, здесь не совсем очевидно ".

Первое решение проблемы Ландау было опубликовано почти 40 лет спустя. Д. В. Виддер в своей книге «Преобразование Лапласа». Он использует следующее простое число 3 вместо 2 для определения ряда Дирихле, аналогичного функции эта, которую мы будем называть ${\displaystyle \lambda }$ функция, определенная для ${\displaystyle \Re (s)>0}$ и с некоторыми нулями также на ${\displaystyle \Re (s)=1}$, но не равны таковым в eta.

Косвенное доказательство η(s_п) = 0 после Widder

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda (s)=\left(1-{\frac {3}{3^{s}}}\right)\zeta (s)=\left(1+{\frac {1}{2^{s}}}\right)-{\frac {2}{3^{s}}}+\left({\frac {1}{4^{s}}}+{\frac {1}{5^{s}}}\right)-{\frac {2}{6^{s}}}+\ldots \end{aligned}}}$

Если ${\displaystyle s}$ является действительным и строго положительным, ряд сходится, поскольку перегруппированные члены меняют знак и уменьшаются по модулю до нуля. Согласно теореме о равномерной сходимости рядов Дирихле, впервые доказанной Каэном в 1894 г., ${\displaystyle \lambda (s)}$ функция тогда аналитическая для ${\displaystyle \Re (s)>0}$, регион, в который входит линия ${\displaystyle \Re (s)=1}$. Теперь мы можем правильно определить, где знаменатели не равны нулю,

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {\eta (s)}{1-{\frac {2}{2^{s}}}}}}$

или же

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {\lambda (s)}{1-{\frac {3}{3^{s}}}}}}$

С ${\displaystyle {\frac {\log 3}{\log 2}}}$ иррационально, знаменатели в двух определениях не равны нулю одновременно, за исключением ${\displaystyle s=1}$, а ${\displaystyle \zeta (s)\,}$ Таким образом, функция корректно определена и аналитична для ${\displaystyle \Re (s)>0}$ кроме ${\displaystyle s=1}$. В итоге косвенно получаем, что ${\displaystyle \eta (s_{n})=0}$ когда ${\displaystyle s_{n}\neq 1}$:

${\displaystyle \eta (s_{n})=\left(1-{\frac {2}{2^{s_{n}}}}\right)\zeta (s_{n})={\frac {1-{\frac {2}{2^{s_{n}}}}}{1-{\frac {3}{3^{s_{n}}}}}}\lambda (s_{n})=0.}$

Элементарный прямой и ${\displaystyle \zeta \,}$-независимое доказательство обращения в нуль эта-функции при ${\displaystyle s_{n}\neq 1}$ был опубликован Дж. Сондоу в 2003 году. Он выражает значение функции эта как предел специальных сумм Римана, связанных с интегралом, заведомо равным нулю, с использованием соотношения между частичными суммами ряда Дирихле, определяющего функции эта и дзета. за ${\displaystyle \Re (s)>1}$.

Прямое доказательство η(s_п) = 0 по Сондоу

Выполнив простую алгебру с конечными суммами, мы можем написать для любого сложного s

${\displaystyle \eta _{2n}(s)=\sum _{k=1}^{2n}{\frac {(-1)^{k-1}}{k^{s}}}=1-{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}-{\frac {1}{4^{s}}}+\ldots +{\frac {(-1)^{2n-1}}{{(2n)}^{s}}}=1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+\ldots +{\frac {1}{{(2n)}^{s}}}-2\left({\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+\ldots +{\frac {1}{{(2n)}^{s}}}\right)}$

${\displaystyle =\left(1-{\frac {2}{2^{s}}}\right)\zeta _{2n}(s)+{\frac {2}{2^{s}}}\left({\frac {1}{{(n+1)}^{s}}}+\ldots +{\frac {1}{{(2n)}^{s}}}\right)=\left(1-{\frac {2}{2^{s}}}\right)\zeta _{2n}(s)+{\frac {2n}{{(2n)}^{s}}}\,{\frac {1}{n}}\,\left({\frac {1}{{(1+1/n)}^{s}}}+\ldots +{\frac {1}{{(1+n/n)}^{s}}}\right).}$

Сейчас если ${\displaystyle s=1+it}$ и ${\displaystyle 2^{s}=2}$, множитель, умножающий ${\displaystyle \zeta _{2n}(s)\,}$ равен нулю, и

${\displaystyle \eta _{2n}(s)={\frac {1}{n^{it}}}R_{n}\left({\frac {1}{{(1+x)}^{s}}},0,1\right),}$

где Rn (ж(Икс),а,б) обозначает специальную сумму Римана, аппроксимирующую интеграл от ж(Икс) над [а,б].За т = 0 т.е. s = 1, получаем

${\displaystyle \eta (1)=\lim _{n\to \infty }\eta _{2n}(1)=\lim _{n\to \infty }R_{n}\left({\frac {1}{1+x}},0,1\right)=\int _{0}^{1}{\frac {dx}{1+x}}=\log 2\neq 0.}$

В противном случае, если ${\displaystyle t\neq 0}$, тогда ${\displaystyle |n^{1-s}|=|n^{-it}|=1}$, что дает

${\displaystyle |\eta (s)|=\lim _{n\to \infty }|\eta _{2n}(s)|=\lim _{n\to \infty }\left|R_{n}\left({\frac {1}{{(1+x)}^{s}}},0,1\right)\right|=\left|\int _{0}^{1}{\frac {dx}{{(1+x)}^{s}}}\right|=\left|{\frac {2^{1-s}-1}{1-s}}\right|=\left|{\frac {1-1}{-it}}\right|=0.}$

Предполагая ${\displaystyle \eta (s_{n})=0}$, для каждой точки ${\displaystyle s_{n}\neq 1}$ куда ${\displaystyle 2^{s_{n}}=2}$, теперь мы можем определить ${\displaystyle \zeta (s_{n})\,}$ по непрерывности следующим образом,

${\displaystyle \zeta (s_{n})=\lim _{s\to s_{n}}{\frac {\eta (s)}{1-{\frac {2}{2^{s}}}}}=\lim _{s\to s_{n}}{\frac {\eta (s)-\eta (s_{n})}{{\frac {2}{2^{s_{n}}}}-{\frac {2}{2^{s}}}}}=\lim _{s\to s_{n}}{\frac {\eta (s)-\eta (s_{n})}{s-s_{n}}}\,{\frac {s-s_{n}}{{\frac {2}{2^{s_{n}}}}-{\frac {2}{2^{s}}}}}={\frac {\eta '(s_{n})}{\log(2)}}.}$

Кажущаяся особенность дзета в ${\displaystyle s_{n}\neq 1}$ теперь удален, и доказано, что дзета-функция аналитична всюду в ${\displaystyle \Re {s}>0}$, кроме ${\displaystyle s=1}$ куда

${\displaystyle \lim _{s\to 1}(s-1)\zeta (s)=\lim _{s\to 1}{\frac {\eta (s)}{\frac {1-2^{1-s}}{s-1}}}={\frac {\eta (1)}{\log 2}}=1.}$

Интегральные представления

Можно перечислить ряд интегральных формул, включающих функцию эта. Первое следует из замены переменной интегрального представления гамма-функции (Abel, 1823), что дает Преобразование Меллина который можно по-разному выразить в виде двойного интеграла (Sondow, 2005). Это действительно для ${\displaystyle \Re s>0.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (s)\eta (s)&=\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{e^{x}+1}}\,dx=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{x}{\frac {x^{s-2}}{e^{x}+1}}\,dy\,dx\\[8pt]&=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }{\frac {(t+r)^{s-2}}{e^{t+r}+1}}{dr}\,dt=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {(-\log(xy))^{s-2}}{1+xy}}\,dx\,dy.\end{aligned}}}$

Преобразование Коши – Шлемильха (Amdeberhan, Moll et al., 2010) можно использовать для доказательства этого другого представления, справедливого для ${\displaystyle \Re s>-1}$. Интегрирование по частям первого интеграла выше в этом разделе дает другой вывод.

${\displaystyle 2^{1-s}\,\Gamma (s+1)\,\eta (s)=2\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{2s+1}}{\cosh ^{2}(x^{2})}}\,dx=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{s}}{\cosh ^{2}(t)}}\,dt.}$

Следующая формула, предложенная Линделёфом (1905), действительна для всей комплексной плоскости, когда главное значение берется за логарифм, неявный в экспоненте.

${\displaystyle \eta (s)=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {(1/2+it)^{-s}}{e^{\pi t}+e^{-\pi t}}}\,dt.}$

Это соответствует формуле Йенсена (1895) для всей функции ${\displaystyle (s-1)\,\zeta (s)}$, справедливое для всей комплексной плоскости и также доказанное Линделёфом.

${\displaystyle (s-1)\zeta (s)=2\pi \,\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {(1/2+it)^{1-s}}{(e^{\pi t}+e^{-\pi t})^{2}}}\,dt.}$

«Эту формулу, превосходную своей простотой, легко доказать с помощью теоремы Коши, столь важной для суммирования рядов», - писал Йенсен (1895). Аналогичным образом, преобразовывая пути интегрирования в контурные интегралы, можно получить другие формулы для функции эта, такие как это обобщение (Milgram, 2013), действительное для ${\displaystyle 0<c<1}$ и все ${\displaystyle s}$ :

${\displaystyle \eta (s)={\frac {1}{2}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {(c+it)^{-s}}{\sin {(\pi (c+it))}}}\,dt.}$

Нули на отрицательной действительной оси аккуратно разложены, сделав ${\displaystyle c\to 0^{+}}$ (Milgram, 2013), чтобы получить формулу, действительную для ${\displaystyle \Re s<0}$ :

${\displaystyle \eta (s)=-\sin \left({\frac {s\pi }{2}}\right)\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{-s}}{\sinh {(\pi t)}}}\,dt.}$

Численные алгоритмы

Большинство из серийное ускорение методы, разработанные для чередующийся ряд может быть с успехом применен к оценке функции эта. Один особенно простой, но разумный метод - применить Преобразование Эйлера знакопеременных рядов, чтобы получить

${\displaystyle \eta (s)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{n+1}}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}{\frac {1}{(k+1)^{s}}}.}$

Обратите внимание, что второе внутреннее суммирование представляет собой форвардная разница.

Метод Борвейна

Питер Борвейн использовали приближения с участием Полиномы Чебышева создать метод для эффективного вычисления функции эта.^[2] Если

${\displaystyle d_{k}=n\sum _{\ell =0}^{k}{\frac {(n+\ell -1)!4^{\ell }}{(n-\ell )!(2\ell )!}}}$

тогда

${\displaystyle \eta (s)=-{\frac {1}{d_{n}}}\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(-1)^{k}(d_{k}-d_{n})}{(k+1)^{s}}}+\gamma _{n}(s),}$

где для ${\displaystyle \Re (s)\geq {\frac {1}{2}}}$ член ошибки γ_п ограничен

${\displaystyle |\gamma _{n}(s)|\leq {\frac {3}{(3+{\sqrt {8}})^{n}}}(1+2|\Im (s)|)\exp({\frac {\pi }{2}}|\Im (s)|).}$

Фактор ${\displaystyle 3+{\sqrt {8}}\approx 5.8}$ в границе ошибки указывает на то, что ряд Борвейна довольно быстро сходится при п увеличивается.

Особые ценности

Дальнейшая информация: Дзета-константа

• η(0) = ¹⁄₂, то Абель Сум из Серия Гранди 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·.
• η(−1) = ¹⁄₄, сумма Абеля 1 − 2 + 3 − 4 + · · ·.
• За k целое число> 1, если B_k это k-й Число Бернулли тогда

  ${\displaystyle \eta (1-k)={\frac {2^{k}-1}{k}}B_{k}.}$

Также:

${\displaystyle \!\ \eta (1)=\ln 2}$, это переменный гармонический ряд

${\displaystyle \eta (2)={\pi ^{2} \over 12}}$ OEIS: A072691

${\displaystyle \eta (4)={{7\pi ^{4}} \over 720}\approx 0.94703283}$

${\displaystyle \eta (6)={{31\pi ^{6}} \over 30240}\approx 0.98555109}$

${\displaystyle \eta (8)={{127\pi ^{8}} \over 1209600}\approx 0.99623300}$

${\displaystyle \eta (10)={{73\pi ^{10}} \over 6842880}\approx 0.99903951}$

${\displaystyle \eta (12)={{1414477\pi ^{12}} \over {1307674368000}}\approx 0.99975769}$

Общая форма для четных положительных целых чисел:

${\displaystyle \eta (2n)=(-1)^{n+1}{{B_{2n}\pi ^{2n}(2^{2n-1}-1)} \over {(2n)!}}.}$

Принимая предел ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$, получается ${\displaystyle \eta (\infty )=1}$.

Производные

Производная по параметру s это для ${\displaystyle s\neq 1}$

${\displaystyle \eta '(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\ln n}{n^{s}}}=2^{1-s}\ln(2)\,\zeta (s)+(1-2^{1-s})\,\zeta '(s)}$.

${\displaystyle \eta '(1)=\ln(2)\,\gamma -\ln(2)^{2}\,2^{-1}}$

Рекомендации

1. http://nbviewer.ipython.org/github/empet/Math/blob/master/DomainColoring.ipynb
2. Борвейн, Питер (2000). «Эффективный алгоритм для дзета-функции Римана». В Тере, Мишель А. (ред.). Конструктивный, экспериментальный и нелинейный анализ (PDF). Материалы конференции, Канадское математическое общество. 27. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, от имени Канадское математическое общество. С. 29–34. ISBN  978-0-8218-2167-1.

• Дженсен, Дж. Л. В. В. (1895). "Ремарка родственников по отзывам ММ. Franel et Kluyver". L'Intermédiaire des Mathématiciens. II: 346].
• Линделёф, Эрнст (1905). Le Calcul des Résidus et ses Applications à la théorie des fonctions. Готье-Виллар. п.103.
• Виддер, Дэвид Вернон (1946). Преобразование Лапласа. Издательство Принстонского университета. п.230.
• Ландау, Эдмунд, Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, Erster Band, Берлин, 1909, стр. 160. (Второе издание Chelsea, New York, 1953, p. 160, 933).
• Титчмарш, Э. С. (1986). Теория дзета-функции Римана, второе исправленное (Хит-Браун) издание. Издательство Оксфордского университета.
• Конри, Дж. Б. (1989). «Более двух пятых нулей дзета-функции Римана находятся на критической линии». Journal für die Reine und Angewandte Mathematik. 399: 1–26. Дои:10.1515 / crll.1989.399.1.
• Кнопп, Конрад (1990) [1922]. Теория и применение бесконечных рядов. Дувр. ISBN  0-486-66165-2.
• Борвейн, П., Эффективный алгоритм для дзета-функции Римана, Конструктивный экспериментальный и нелинейный анализ, CMS Conference Proc. 27 (2000), 29–34.
• Сондоу, Джонатан (2002). «Двойные интегралы для постоянной Эйлера и ln 4 / π и аналог формулы Хаджикостаса». arXiv:math.CO/0211148. Амер. Математика. Ежемесячно 112 (2005) 61–65, формула 18.
• Сондоу, Джонатан. «Нули переменной дзета-функции на линии R (s) = 1». arXiv:математика / 0209393. Амер. Математика. Ежемесячно, 110 (2003) 435–437.
• Гурдон, Ксавье; Себах, Паскаль (2003). «Численная оценка дзета-функции Римана» (PDF).
• Amdeberhan, T .; Glasser, M. L .; Джонс, М. С; Moll, V. H .; Posey, R .; Варела, Д. (2010). «Преобразование Коши – Шломильха». arXiv:1004.2445. п. 12.
• Милграм, Майкл С. (2012). «Интегральное и серийное представление дзета-функции Римана, эта-функции Дирихле и ряд связанных результатов». Журнал математики. 2013: 1–17. arXiv:1208.3429. Дои:10.1155/2013/181724..