Эквивариантная топология - Equivariant topology

В математика, эквивариантная топология это изучение топологические пространства обладающие определенной симметрией. При изучении топологических пространств часто учитывают непрерывные карты ${\displaystyle f:X\to Y}$, и хотя эквивариантная топология также рассматривает такие карты, существует дополнительное ограничение, заключающееся в том, что каждая карта "соблюдает симметрию" в обоих своих домен и цель Космос.

Понятие симметрии обычно улавливается рассмотрением групповое действие из группа ${\displaystyle G}$ на ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ и требуя, чтобы ${\displaystyle f}$ является эквивариантный под этим действием, так что ${\displaystyle f(g\cdot x)=g\cdot f(x)}$ для всех ${\displaystyle x\in X}$, свойство, обычно обозначаемое ${\displaystyle f:X\to _{G}Y}$. Эвристически говоря, стандартный топология рассматривает два пространства как эквивалентные «с точностью до деформации», в то время как эквивариантная топология рассматривает пространства эквивалентными с точностью до деформации, пока она обращает внимание на любую симметрию, которой обладают оба пространства. Известная теорема эквивариантной топологии - это Теорема Борсука – Улама., который утверждает, что каждый ${\displaystyle \mathbf {Z} _{2}}$-эквивариантное отображение ${\displaystyle f:S^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ обязательно пропадает.

Индуцированный грамм-бандлы

Важная конструкция, использованная в эквивариантные когомологии и другие приложения включают в себя естественное групповое расслоение (см. основной пакет подробнее).

Рассмотрим сначала случай, когда ${\displaystyle G}$ действует свободно на ${\displaystyle X}$. Тогда, учитывая ${\displaystyle G}$-эквивариантное отображение ${\displaystyle f:X\to _{G}Y}$, получаем сечения ${\displaystyle s_{f}:X/G\to (X\times Y)/G}$ данный ${\displaystyle [x]\mapsto [x,f(x)]}$, куда ${\displaystyle X\times Y}$ получает диагональное действие ${\displaystyle g(x,y)=(gx,gy)}$, а пучок ${\displaystyle p:(X\times Y)/G\to X/G}$, с волокном ${\displaystyle Y}$ и прогноз, данный ${\displaystyle p([x,y])=[x]}$. Часто общее пространство пишется ${\displaystyle X\times _{G}Y}$.

В более общем смысле, задание ${\displaystyle s_{f}}$ на самом деле не соответствует ${\displaystyle (X\times Y)/G}$ в общем. С ${\displaystyle f}$ эквивариантно, если ${\displaystyle g\in G_{x}}$ (подгруппа изотропии), то по эквивариантности имеем ${\displaystyle g\cdot f(x)=f(g\cdot x)=f(x)}$, так что на самом деле ${\displaystyle f}$ будет отображаться в коллекцию ${\displaystyle \{[x,y]\in (X\times Y)/G\mid G_{x}\subset G_{y}\}}$. В этом случае можно заменить связку на гомотопический фактор куда ${\displaystyle G}$ действует свободно и является расслоением, гомотопным индуцированному расслоению на ${\displaystyle X}$ к ${\displaystyle f}$.

Приложения к дискретной геометрии

Таким же образом, как можно вывести теорема о сэндвиче с ветчиной из теоремы Борсука-Улама можно найти множество приложений эквивариантной топологии к проблемам дискретная геометрия.^[1][2] Это достигается с помощью парадигмы тестовой карты пространства конфигурации:

Учитывая геометрическую задачу ${\displaystyle P}$, мы определяем конфигурационное пространство, ${\displaystyle X}$, который параметризует все связанные решения проблемы (например, точки, линии или дуги). Кроме того, мы рассматриваем тестовое пространство ${\displaystyle Z\subset V}$ и карта ${\displaystyle f:X\to V}$ куда ${\displaystyle p\in X}$ является решением проблемы тогда и только тогда, когда ${\displaystyle f(p)\in Z}$. Наконец, в дискретной задаче естественные симметрии обычно рассматриваются некоторой группой ${\displaystyle G}$ что действует на ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle V}$ так что ${\displaystyle f}$ эквивариантна относительно этих действий. Проблема решена, если мы можем показать отсутствие эквивариантного отображения ${\displaystyle f:X\to V\setminus Z}$.

Препятствия к существованию таких карт часто формулируются алгебраически по топологическим данным ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle V\setminus Z}$.^[3] Типичный пример такого препятствия можно получить, имея ${\displaystyle V}$ а векторное пространство и ${\displaystyle Z=\{0\}}$. В этом случае ненулевое отображение также вызовет ненулевое сечение ${\displaystyle s_{f}:x\mapsto [x,f(x)]}$ из обсуждения выше, поэтому ${\displaystyle \omega _{n}(X\times _{G}Y)}$, вершина Класс Штифеля – Уитни нужно будет исчезнуть.

Примеры

• Карта идентичности ${\displaystyle i:X\to X}$ всегда будет эквивариантным.
• Если мы позволим ${\displaystyle \mathbf {Z} _{2}}$ действовать антиподально на единичной окружности, затем ${\displaystyle z\mapsto z^{3}}$эквивариантно, так как это нечетная функция.
• Любая карта ${\displaystyle h:X\to X/G}$ эквивариантен, когда ${\displaystyle G}$ действует на фактор тривиально, так как ${\displaystyle h(g\cdot x)=h(x)}$ для всех ${\displaystyle x}$.

Смотрите также

• Эквивариантные когомологии
• Эквивариантная стабильная теория гомотопий
• G-спектр

Рекомендации

1. Матушек, Иржи (2003). Использование теоремы Борсука-Улама: лекции по топологическим методам комбинаторики и геометрии. Universitext. Springer.
2. Гудман, Джейкоб Э .; О'Рурк, Джозеф, ред. (2004-04-15). Справочник по дискретной и вычислительной геометрии, второе издание (2-е изд.). Бока-Ратон: Чепмен и Холл / CRC. ISBN  9781584883012.
3. Матчке, Бенджамин. «Методы эквивариантной топологии в дискретной геометрии» (PDF).