Формула Эйлера – Маклорена - Euler–Maclaurin formula

В математика, то Формула Эйлера – Маклорена формула для разницы между интеграл и тесно связанный сумма. Его можно использовать для приближения интегралов конечными суммами или, наоборот, для вычисления конечных сумм и бесконечная серия используя интегралы и технику исчисление. Например, многие асимптотические разложения выводятся из формулы, и Формула Фаульхабера ибо сумма полномочий - это немедленное следствие.

Формула была открыта независимо Леонард Эйлер и Колин Маклорен около 1735 года. Эйлеру он понадобился для вычисления медленно сходящихся бесконечных рядов, а Маклорен использовал его для вычисления интегралов. Позже это было обобщено на Формула Дарбу.

Формула

Если и находятся натуральные числа и это настоящий или же сложный ценится непрерывная функция за действительные числа в интервал , то интеграл

можно приблизить к сумме (или наоборот)

(видеть метод прямоугольника ). Формула Эйлера – Маклорена дает выражения для разницы между суммой и интегралом в терминах старшей производные оценивается в конечных точках интервала, то есть когда и .

В явном виде для положительный целое число и функция то есть раз непрерывно дифференцируемый на интервале , у нас есть

куда это th Число Бернулли) и является срок ошибки что зависит от , , , и и обычно мала для подходящих значений .

Формула часто записывается с нижним индексом, принимающим только четные значения, поскольку нечетные числа Бернулли равны нулю, за исключением . В этом случае мы имеем[1][2]

или альтернативно

Остающийся срок

Остаточный член возникает потому, что интеграл обычно не в точности равен сумме. Формулу можно получить, применяя повторяющиеся интеграция по частям в последовательные интервалы за . Граничные члены в этих интегрированиях приводят к основным членам формулы, а оставшиеся интегралы образуют остаточный член.

Остаточный член имеет точное выражение в терминах периодизованных функций Бернулли . Многочлены Бернулли могут быть определены рекурсивно следующим образом: и для ,

Периодизированные функции Бернулли определяются как

куда обозначает наибольшее целое число, меньшее или равное (так что всегда лежит в интервале ).

В этих обозначениях остаточный член равно

Когда , можно показать, что

куда обозначает Дзета-функция Римана; один из подходов к доказательству этого неравенства состоит в том, чтобы получить ряд Фурье для многочленов . Оценка достигается даже при когда равно нулю. Период, термин может быть опущено для нечетных но в этом случае доказательство более сложное (см. Lehmer).[3] Используя это неравенство, размер остаточного члена можно оценить как

Случаи низкого порядка

Числа Бернулли из к находятся Следовательно, младшие случаи формулы Эйлера-Маклорена:

Приложения

Базельская проблема

В Базельская проблема это определить сумму

Эйлер вычислил эту сумму с точностью до 20 знаков после запятой, используя всего несколько членов формулы Эйлера – Маклорена в 1735 году. Это, вероятно, убедило его в том, что сумма равна , что он и доказал в том же году.[4]

Суммы с многочленом

Если это многочлен и достаточно велико, то остаточный член обращается в нуль. Например, если , мы можем выбрать чтобы получить после упрощения

Аппроксимация интегралов

Формула обеспечивает средство аппроксимации конечного интеграла. Позволять быть конечными точками интервала интегрирования. Исправить , количество точек, используемых в приближении, и обозначим соответствующий размер шага как . Набор , так что и . Потом:[5]

Это можно рассматривать как продолжение правило трапеции путем включения условий исправления. Обратите внимание, что это асимптотическое разложение обычно не сходится; существует некоторое , в зависимости от и , так что сроки истекли быстро увеличиваются. Таким образом, оставшийся член обычно требует пристального внимания.[5]

Формула Эйлера – Маклорена также используется для детального анализ ошибок в числовая квадратура. Это объясняет превосходную производительность трапеция на гладком периодические функции и используется в некоторых методы экстраполяции. Квадратура Кленшоу – Кертиса по сути, представляет собой замену переменных для приведения произвольного интеграла через интегралы от периодических функций, где подход Эйлера – Маклорена очень точен (в этом частном случае формула Эйлера – Маклорена принимает форму дискретное косинусное преобразование ). Этот прием известен как периодизирующее преобразование.

Асимптотическое разложение сумм

В контексте вычислений асимптотические разложения сумм и серии, обычно наиболее полезной формой формулы Эйлера – Маклорена является

куда и целые числа.[6] Часто расширение остается в силе даже после выхода за пределы или же или оба. Во многих случаях интеграл в правой части можно вычислить как закрытая форма с точки зрения элементарные функции хотя сумма в левой части не может. Тогда все члены асимптотического ряда могут быть выражены через элементарные функции. Например,

Здесь левая часть равна , а именно первого порядка полигамма функция определяется ; то гамма-функция равно если это положительное число. Это приводит к асимптотическому разложению для . Это разложение, в свою очередь, служит отправной точкой для одного из выводов точных оценок погрешности для Приближение Стирлинга из факториал функция.

Примеры

Если s целое число больше 1, мы имеем:

Сбор констант в значение Дзета-функция Римана, мы можем написать асимптотическое разложение:

За s равный 2, это упрощает

или же

Когда s = 1, соответствующий метод дает асимптотическое разложение для гармонические числа:

куда это Константа Эйлера – Маскерони.

Доказательства

Вывод математической индукцией

Обрисовываем аргумент, данный в Апостоле.[1]

В Полиномы Бернулли Bп(Икс) и периодические функции Бернулли пп(Икс) за п = 0, 1, 2, ... были введены выше.

Первые несколько полиномов Бернулли:

Ценности Bп(0) являются Числа Бернулли Bп. Обратите внимание, что для п ≠ 1 у нас есть

и для п = 1,

Функции пп согласуются с полиномами Бернулли на интервале [0, 1] и есть периодический с периодом 1. Кроме того, кроме случаев, когда п = 1, они также непрерывны. Таким образом,

Позволять k - целое число, и рассмотрим интеграл

куда

Интеграция по частям, мы получили

С помощью , , и суммируя вышеизложенное из k = 0 к k = п − 1, мы получили

Добавление (ж(п) − ж(0)) / 2 в обе стороны и переставляя, имеем

Это п = 1 случай формулы суммирования. Чтобы продолжить индукцию, применим интегрирование по частям к члену ошибки:

куда

Результат интегрирования по частям:

Суммируя из k = 0 к k = п − 1 и замена этого члена ошибки более низкого порядка приводит к п = 2 случай формулы,

Этот процесс можно повторять. Таким образом, мы получаем доказательство формулы суммирования Эйлера – Маклорена, которую можно формализовать следующим образом: математическая индукция, в котором шаг индукции основан на интегрировании по частям и тождествах для периодических функций Бернулли.

Смотрите также

Примечания

  1. ^ а б Апостол, Т.М. (1 мая 1999 г.). «Элементарный взгляд на формулу суммирования Эйлера». В Американский математический ежемесячный журнал. Математическая ассоциация Америки. 106 (5): 409–418. Дои:10.2307/2589145. ISSN  0002-9890. JSTOR  2589145.
  2. ^ «Электронная библиотека математических функций: суммы и последовательности». Национальный институт стандартов и технологий.
  3. ^ Лемер, Д. Х. (1940). «О максимумах и минимумах многочленов Бернулли». Американский математический ежемесячник. 47 (8): 533–538. Дои:10.2307/2303833.
  4. ^ Пенгелли, Дэвид Дж. «Танцы между непрерывным и дискретным: формула суммирования Эйлера», в: Роберт Брэдли и Эд Сандифер (редакторы), Материалы конференции Euler 2K + 2 (Рамфорд, Мэн, 2002 г.), Общество Эйлера, 2003.
  5. ^ а б Devries, Paul L .; Хасбрун, Хавьер Э. (2011). Первый курс вычислительной физики (2-е изд.). Джонс и Бартлетт Издательство. п. 156.
  6. ^ Абрамовиц и Стегун (1972), 23.1.30

Рекомендации