Модель экспоненциальной дисперсии - Exponential dispersion model

В вероятность и статистика, класс модели экспоненциальной дисперсии (EDM) представляет собой набор распределения вероятностей что представляет собой обобщение естественная экспоненциальная семья.^[1][2][3]Модели экспоненциальной дисперсии играют важную роль в статистическая теория, в частности в обобщенные линейные модели потому что они имеют особую структуру, которая позволяет делать выводы о соответствующих статистические выводы.

Определение

Одномерный случай

Есть две версии формулировки модели экспоненциальной дисперсии.

Аддитивная экспоненциальная модель дисперсии

В одномерном случае случайная величина с действительным знаком ${\displaystyle X}$ принадлежит к аддитивная модель экспоненциальной дисперсии с каноническим параметром ${\displaystyle \theta }$ и параметр индекса ${\displaystyle \lambda }$, ${\displaystyle X\sim \mathrm {ED} ^{*}(\theta ,\lambda )}$, если это функция плотности вероятности можно записать как

${\displaystyle f_{X}(x|\theta ,\lambda )=h^{*}(\lambda ,x)\exp \left(\theta x-\lambda A(\theta )\right)\,\!.}$

Репродуктивная модель экспоненциальной дисперсии

Распределение преобразованной случайной величины ${\displaystyle Y={\frac {X}{\lambda }}}$ называется репродуктивная модель экспоненциальной дисперсии, ${\displaystyle Y\sim \mathrm {ED} (\mu ,\sigma ^{2})}$, и задается

${\displaystyle f_{Y}(y|\mu ,\sigma ^{2})=h(\sigma ^{2},y)\exp \left({\frac {\theta y-A(\theta )}{\sigma ^{2}}}\right)\,\!,}$

с ${\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {1}{\lambda }}}$ и ${\displaystyle \mu =A'(\theta )}$, подразумевая ${\displaystyle \theta =(A')^{-1}(\mu )}$.Терминология модель дисперсии проистекает из интерпретации ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ в качестве параметр дисперсии. Для фиксированного параметра ${\displaystyle \sigma ^{2}}$, то ${\displaystyle \mathrm {ED} (\mu ,\sigma ^{2})}$ это естественная экспоненциальная семья.

Многомерный случай

В многомерном случае n-мерная случайная величина ${\displaystyle \mathbf {X} }$ имеет функцию плотности вероятности следующего вида^[1]

${\displaystyle f_{\mathbf {X} }(\mathbf {x} |{\boldsymbol {\theta }},\lambda )=h(\lambda ,\mathbf {x} )\exp \left(\lambda ({\boldsymbol {\theta }}^{\top }\mathbf {x} -A({\boldsymbol {\theta }}))\right)\,\!,}$

где параметр ${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}}$ имеет тот же размер, что и ${\displaystyle \mathbf {X} }$.

Характеристики

Кумулянт-производящая функция

В кумулянт-производящая функция из ${\displaystyle Y\sim \mathrm {ED} (\mu ,\sigma ^{2})}$ дан кем-то

${\displaystyle K(t;\mu ,\sigma ^{2})=\log \operatorname {E} [e^{tY}]={\frac {A(\theta +\sigma ^{2}t)-A(\theta )}{\sigma ^{2}}}\,\!,}$

с ${\displaystyle \theta =(A')^{-1}(\mu )}$

Среднее и дисперсия

Среднее и дисперсия ${\displaystyle Y\sim \mathrm {ED} (\mu ,\sigma ^{2})}$ даны

${\displaystyle \operatorname {E} [Y]=\mu =A'(\theta )\,,\quad \operatorname {Var} [Y]=\sigma ^{2}A''(\theta )=\sigma ^{2}V(\mu )\,\!,}$

с функцией отклонения от единицы ${\displaystyle V(\mu )=A''((A')^{-1}(\mu ))}$.

Репродуктивный

Если ${\displaystyle Y_{1},\ldots ,Y_{n}}$ находятся i.i.d. с ${\displaystyle Y_{i}\sim \mathrm {ED} \left(\mu ,{\frac {\sigma ^{2}}{w_{i}}}\right)}$, т.е. такое же среднее ${\displaystyle \mu }$ и разный вес ${\displaystyle w_{i}}$, средневзвешенное значение снова ${\displaystyle \mathrm {ED} }$ с

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}Y_{i}}{w_{\bullet }}}\sim \mathrm {ED} \left(\mu ,{\frac {\sigma ^{2}}{w_{\bullet }}}\right)\,\!,}$

с ${\displaystyle w_{\bullet }=\sum _{i=1}^{n}w_{i}}$. Следовательно ${\displaystyle Y_{i}}$ называются репродуктивный.

Отклонение от единицы

В функция плотности вероятности из ${\displaystyle \mathrm {ED} (\mu ,\sigma ^{2})}$ можно также выразить через единица измерения отклонение ${\displaystyle d(y,\mu )}$ в качестве

${\displaystyle f_{Y}(y|\mu ,\sigma ^{2})={\tilde {h}}(\sigma ^{2},y)\exp \left(-{\frac {d(y,\mu )}{2\sigma ^{2}}}\right)\,\!,}$

где единичное отклонение принимает специальный вид ${\displaystyle d(y,\mu )=yf(\mu )+g(\mu )+h(y)}$ или в терминах функции единичной дисперсии как ${\displaystyle d(y,\mu )=2\int _{\mu }^{y}\!{\frac {y-t}{V(t)}}\,dt}$.

Примеры

К классу EDM относятся многие очень распространенные вероятностные распределения, среди которых: нормальное распределение, Биномиальное распределение, распределение Пуассона, Отрицательное биномиальное распределение, Гамма-распределение, Обратное гауссово распределение, и Распределение твиди.

Рекомендации

1. Йоргенсен, Б. (1987). Модели экспоненциальной дисперсии (с обсуждением). Журнал Королевского статистического общества, Series B, 49 (2), 127–162.
2. Йоргенсен, Б. (1992). Теория моделей экспоненциальной дисперсии и анализ отклонений. Monografias de matemática, no. 51.
3. Марриотт, П. (2005) "Локальные смеси и экспоненциальные модели дисперсии" pdf