Метод фиктивного домена - Fictitious domain method

В математика, то Метод фиктивного домена это метод нахождения решения уравнения в частных производных на сложном домен ${\displaystyle D}$, подставив заданную задачу в область ${\displaystyle D}$, с новой проблемой, поставленной на простом домене ${\displaystyle \Omega }$ содержащий ${\displaystyle D}$.

Общая формулировка

Предположим в какой-то области ${\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{n}}$ мы хотим найти решение ${\displaystyle u(x)}$ из уравнение:

${\displaystyle Lu=-\phi (x),x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\in D}$

с граничные условия:

${\displaystyle lu=g(x),x\in \partial D}$

Основная идея метода фиктивных доменов состоит в том, чтобы подставить заданную задачу в домен ${\displaystyle D}$, с новой задачей, поставленной на простом сформированный домен ${\displaystyle \Omega }$ содержащий ${\displaystyle D}$ (${\displaystyle D\subset \Omega }$). Например, мы можем выбрать п-мерный параллелоэдр как ${\displaystyle \Omega }$.

Проблема в расширенный домен ${\displaystyle \Omega }$ для нового решения ${\displaystyle u_{\epsilon }(x)}$:

${\displaystyle L_{\epsilon }u_{\epsilon }=-\phi ^{\epsilon }(x),x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\in \Omega }$

${\displaystyle l_{\epsilon }u_{\epsilon }=g^{\epsilon }(x),x\in \partial \Omega }$

Задачу необходимо поставить в расширенной области так, чтобы выполнялось следующее условие:

${\displaystyle u_{\epsilon }(x){\xrightarrow[{\epsilon \rightarrow 0}]{}}u(x),x\in D}$

Простой пример, одномерная задача

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}=-2,\quad 0<x<1\quad (1)}$

${\displaystyle u(0)=0,u(1)=0}$

Продление на ведущие коэффициенты

${\displaystyle u_{\epsilon }(x)}$ решение проблемы:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}k^{\epsilon }(x){\frac {du_{\epsilon }}{dx}}=-\phi ^{\epsilon }(x),0<x<2\quad (2)}$

Прерывистый коэффициент ${\displaystyle k^{\epsilon }(x)}$ и правую часть предыдущего уравнения получаем из выражений:

${\displaystyle k^{\epsilon }(x)={\begin{cases}1,&0<x<1\\{\frac {1}{\epsilon ^{2}}},&1<x<2\end{cases}}}$

${\displaystyle \phi ^{\epsilon }(x)={\begin{cases}2,&0<x<1\\2c_{0},&1<x<2\end{cases}}\quad (3)}$

Граничные условия:

${\displaystyle u_{\epsilon }(0)=0,u_{\epsilon }(2)=0}$

Условия подключения в точке ${\displaystyle x=1}$:

${\displaystyle [u_{\epsilon }]=0,\ \left[k^{\epsilon }(x){\frac {du_{\epsilon }}{dx}}\right]=0}$

куда ${\displaystyle [\cdot ]}$ средства:

${\displaystyle [p(x)]=p(x+0)-p(x-0)}$

Уравнение (1) имеет аналитическое решение поэтому мы можем легко получить ошибку:

${\displaystyle u(x)-u_{\epsilon }(x)=O(\epsilon ^{2}),\quad 0<x<1}$

Продление на младшие коэффициенты

${\displaystyle u_{\epsilon }(x)}$ решение проблемы:

${\displaystyle {\frac {d^{2}u_{\epsilon }}{dx^{2}}}-c^{\epsilon }(x)u_{\epsilon }=-\phi ^{\epsilon }(x),\quad 0<x<2\quad (4)}$

Где ${\displaystyle \phi ^{\epsilon }(x)}$ берем то же, что и в (3), а выражение для ${\displaystyle c^{\epsilon }(x)}$

${\displaystyle c^{\epsilon }(x)={\begin{cases}0,&0<x<1\\{\frac {1}{\epsilon ^{2}}},&1<x<2.\end{cases}}}$

Граничные условия для уравнения (4) такие же, как для (2).

Условия подключения в точке ${\displaystyle x=1}$:

${\displaystyle [u_{\epsilon }(0)]=0,\ \left[{\frac {du_{\epsilon }}{dx}}\right]=0}$

Ошибка:

${\displaystyle u(x)-u_{\epsilon }(x)=O(\epsilon ),\quad 0<x<1}$

Литература

• П.Н. Вабищевич, Метод фиктивных областей в задачах математической физики, Издательство Московского университета, Москва, 1991.
• Смагулов С. Метод фиктивных областей для уравнения Навье – Стокса, Препринт ЦК СА СССР, 68, 1979.
• Бугров А.Н., Смагулов С. Метод фиктивных областей для уравнения Навье – Стокса, Математическая модель течения жидкости, Новосибирск, 1978, с. 79–90