Теорема Фютера – Полиа - Fueter–Pólya theorem

В Теорема Фютера – Полиа, впервые доказано Рудольф Фютер и Георгий Полиа, утверждает, что единственный квадратичный функции сопряжения Кантор многочлены.

Вступление

В 1873 г. Георг Кантор показал, что так называемый многочлен Кантора[1]

это биективный отображение из к . Полином, полученный перестановкой переменных, также является парной функцией.

Фютер исследовал, существуют ли другие квадратичные многочлены с этим свойством, и пришел к выводу, что это не тот случай, предполагая, что . Затем он написал Полиа, который показал, что теорема не требует этого условия.[2]

Заявление

Если - вещественный квадратичный многочлен от двух переменных, ограничение которого на это биекция от к тогда это

или же

Доказательство

Первоначальное доказательство на удивление сложно, если использовать Теорема Линдеманна – Вейерштрасса доказать трансцендентность для ненулевого алгебраического числа .[3]В 2002 г. М. А. Всемирнов опубликовал элементарное доказательство этого результата.[4]

Гипотеза Фютера – Полиа

Теорема утверждает, что многочлен Кантора является единственным квадратичным многочленом разделения и . Многочлен Кантора может быть обобщен до более высокой степени как биекция ℕk с ℕ для k > 2. Гипотеза состоит в том, что это единственные такие полиномы спаривания.

Высшие измерения

Обобщение полинома Кантора в высших измерениях выглядит следующим образом:[5]

Сумма этих биномиальные коэффициенты дает многочлен степени в переменные. Вопрос о том, каждая ли степень многочлен, который является биекцией возникает как перестановка переменных многочлена .[6]

Рекомендации

  1. ^ Г. Кантор: Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre, J. Reine Angew. Math., Band 84 (1878), страницы 242–258
  2. ^ Рудольф Фуэтер, Георг Полиа: Обоснование Abzählung der Gitterpunkte, Vierteljschr. Naturforsch. Ges. Цюрих 58 (1923), страницы 280–386
  3. ^ Крейг Сморински: Теория логических чисел I, Springer-Verlag 1991, ISBN  3-540-52236-0, Главы I.4 и I.5: Теорема Фютера – Полиа I / II.
  4. ^ ВСЕМИРНОВ М. А. Два элементарных доказательства теоремы Фютера – Полиа о спаривании многочленов. Петербургская математика. J. 13 (2002), нет. 5. С. 705–715. Исправление: там же. 14 (2003), нет. 5, стр. 887.
  5. ^ П. Чоула: О некоторых полиномах, представляющих каждое натуральное число ровно один раз, Norske Vid. Сельск. Для ч. Тронхейм (1961), том 34, страницы 8–9
  6. ^ Крейг Сморински: Теория логических чисел I, Springer-Verlag 1991, ISBN  3-540-52236-0, Глава I.4, Гипотеза 4.3