Обобщенная относительная энтропия - Generalized relative entropy

Обобщенная относительная энтропия (${\displaystyle \epsilon }$-относительная энтропия) - это мера различия между двумя квантовые состояния. Это «одноразовый» аналог квантовая относительная энтропия и обладает многими свойствами последней величины.

При изучении квантовая теория информации, мы обычно предполагаем, что задачи обработки информации повторяются несколько раз независимо. Следовательно, соответствующие теоретико-информационные понятия определены в асимптотическом пределе. Квинтэссенция меры энтропии, энтропия фон Неймана, является одним из таких понятий. Напротив, изучение одноразовой квантовой теории информации связано с обработкой информации, когда задача выполняется только один раз. В этом сценарии появляются новые энтропийные меры, так как традиционные понятия перестают давать точную характеристику потребностей в ресурсах. ${\displaystyle \epsilon }$-относительная энтропия - одна из таких особенно интересных мер.

В асимптотическом сценарии относительная энтропия действует как родительская величина для других мер, помимо того, что сама является важной мерой. По аналогии, ${\displaystyle \epsilon }$-относительная энтропия выступает в роли родительской величины для других показателей в одноразовом сценарии.

Определение

Чтобы мотивировать определение ${\displaystyle \epsilon }$-относительная энтропия ${\displaystyle D^{\epsilon }(\rho ||\sigma )}$, рассмотрим задачу обработки информации проверка гипотезы. При проверке гипотез мы хотим разработать стратегию различения двух операторов плотности. ${\displaystyle \rho }$ и ${\displaystyle \sigma }$. Стратегия - это POVM с элементами ${\displaystyle Q}$ и ${\displaystyle I-Q}$. Вероятность того, что стратегия дает правильное предположение при вводе ${\displaystyle \rho }$ дан кем-то ${\displaystyle \operatorname {Tr} (\rho Q)}$ и вероятность того, что это дает неправильное предположение, дается ${\displaystyle \operatorname {Tr} (\sigma Q)}$. ${\displaystyle \epsilon }$-относительная энтропия фиксирует минимальную вероятность ошибки, когда состояние ${\displaystyle \sigma }$, учитывая, что вероятность успеха для ${\displaystyle \rho }$ по крайней мере ${\displaystyle \epsilon }$.

За ${\displaystyle \epsilon \in (0,1)}$, то ${\displaystyle \epsilon }$-относительная энтропия между двумя квантовыми состояниями${\displaystyle \rho }$ и ${\displaystyle \sigma }$ определяется как

${\displaystyle D^{\epsilon }(\rho ||\sigma )=-\log {\frac {1}{\epsilon }}\min\{\langle Q,\sigma \rangle |0\leq Q\leq I{\text{ and }}\langle Q,\rho \rangle \geq \epsilon \}~.}$

Из определения ясно, что ${\displaystyle D^{\epsilon }(\rho ||\sigma )\geq 0}$. Это неравенство насыщается тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \rho =\sigma }$, как показано ниже.

Связь с расстоянием следа

Предположим, что расстояние трассировки между двумя операторами плотности ${\displaystyle \rho }$ и ${\displaystyle \sigma }$ является

${\displaystyle ||\rho -\sigma ||_{1}=\delta ~.}$

За ${\displaystyle 0<\epsilon <1}$, считается, что

а) ${\displaystyle \log {\frac {\epsilon }{\epsilon -(1-\epsilon )\delta }}\quad \leq \quad D^{\epsilon }(\rho ||\sigma )\quad \leq \quad \log {\frac {\epsilon }{\epsilon -\delta }}~.}$

В частности, отсюда следует следующий аналог неравенства Пинскера^[1]

б) ${\displaystyle {\frac {1-\epsilon }{\epsilon }}||\rho -\sigma ||_{1}\quad \leq \quad D^{\epsilon }(\rho ||\sigma )~.}$

Кроме того, из предложения следует, что для любого ${\displaystyle \epsilon \in (0,1)}$, ${\displaystyle D^{\epsilon }(\rho ||\sigma )=0}$ если и только если ${\displaystyle \rho =\sigma }$, наследуя это свойство от расстояния трассировки. Этот результат и его доказательство можно найти в Dupuis et al.^[2]

Доказательство неравенства а)

Верхняя граница: Расстояние трассировки можно записать как

${\displaystyle ||\rho -\sigma ||_{1}=\max _{0\leq Q\leq 1}\operatorname {Tr} (Q(\rho -\sigma ))~.}$

Этот максимум достигается, когда ${\displaystyle Q}$ ортогональный проектор на собственное положительное подпространство ${\displaystyle \rho -\sigma }$. Для любого POVM элемент ${\displaystyle Q}$ у нас есть

${\displaystyle \operatorname {Tr} (Q(\rho -\sigma ))\leq \delta }$

так что если ${\displaystyle \operatorname {Tr} (Q\rho )\geq \epsilon }$, у нас есть

${\displaystyle \operatorname {Tr} (Q\sigma )~\geq ~\operatorname {Tr} (Q\rho )-\delta ~\geq ~\epsilon -\delta ~.}$

Из определения ${\displaystyle \epsilon }$-относительная энтропия, получаем

${\displaystyle 2^{-D^{\epsilon }(\rho ||\sigma )}\geq {\frac {\epsilon -\delta }{\epsilon }}~.}$

Нижняя граница: Позволять ${\displaystyle Q}$ - ортогональная проекция на собственное положительное подпространство ${\displaystyle \rho -\sigma }$, и разреши ${\displaystyle {\bar {Q}}}$ - следующая выпуклая комбинация ${\displaystyle I}$ и ${\displaystyle Q}$:

${\displaystyle {\bar {Q}}=(\epsilon -\mu )I+(1-\epsilon +\mu )Q}$

куда ${\displaystyle \mu ={\frac {(1-\epsilon )\operatorname {Tr} (Q\rho )}{1-\operatorname {Tr} (Q\rho )}}~.}$

Это означает

${\displaystyle \mu =(1-\epsilon +\mu )\operatorname {Tr} (Q\rho )}$

и поэтому

${\displaystyle \operatorname {Tr} ({\bar {Q}}\rho )~=~(\epsilon -\mu )+(1-\epsilon +\mu )\operatorname {Tr} (Q\rho )~=~\epsilon ~.}$

Более того,

${\displaystyle \operatorname {Tr} ({\bar {Q}}\sigma )~=~\epsilon -\mu +(1-\epsilon +\mu )\operatorname {Tr} (Q\sigma )~.}$

С помощью ${\displaystyle \mu =(1-\epsilon +\mu )\operatorname {Tr} (Q\rho )}$наш выбор ${\displaystyle Q}$, и, наконец, определение ${\displaystyle \mu }$, мы можем переписать это как

${\displaystyle \operatorname {Tr} ({\bar {Q}}\sigma )~=~\epsilon -(1-\epsilon +\mu )\operatorname {Tr} (Q\rho )+(1-\epsilon +\mu )\operatorname {Tr} (Q\sigma )}$

${\displaystyle ~=~\epsilon -{\frac {(1-\epsilon )\delta }{1-\operatorname {Tr} (Q\rho )}}~\leq ~\epsilon -(1-\epsilon )\delta ~.}$

Следовательно

${\displaystyle D^{\epsilon }(\rho ||\sigma )\geq \log {\frac {\epsilon }{\epsilon -(1-\epsilon )\delta }}~.}$

Доказательство неравенства б)

Чтобы вывести это Пинскеровское неравенство, обратите внимание, что

${\displaystyle \log {\frac {\epsilon }{\epsilon -(1-\epsilon )\delta }}~=~-\log \left(1-{\frac {(1-\epsilon )\delta }{\epsilon }}\right)~\geq ~\delta {\frac {1-\epsilon }{\epsilon }}~.}$

Альтернативное доказательство неравенства в обработке данных

Основным свойством энтропии фон Неймана является сильная субаддитивность. Позволять ${\displaystyle S(\sigma )}$ обозначают энтропию фон Неймана квантового состояния ${\displaystyle \sigma }$, и разреши ${\displaystyle \rho _{ABC}}$ - квантовое состояние на тензорном произведении Гильбертово пространство ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{A}\otimes {\mathcal {H}}_{B}\otimes {\mathcal {H}}_{C}}$. Сильная субаддитивность утверждает, что

${\displaystyle S(\rho _{ABC})+S(\rho _{B})\leq S(\rho _{AB})+S(\rho _{BC})}$

куда ${\displaystyle \rho _{AB},\rho _{BC},\rho _{B}}$ обратитесь к уменьшенные матрицы плотности на пробелах, обозначенных нижними индексами. При переписывании через взаимная информация, это неравенство имеет интуитивную интерпретацию; в нем говорится, что информационное содержание системы не может увеличиваться под действием местного квантовая операция в этой системе. В этой форме он более известен как неравенство обработки данных, и эквивалентно монотонности относительной энтропии при квантовых операциях:^[3]

${\displaystyle S(\rho ||\sigma )-S({\mathcal {E}}(\rho )||{\mathcal {E}}(\sigma ))\geq 0}$

для каждого Карта CPTP ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$, куда ${\displaystyle S(\omega ||\tau )}$ обозначает относительную энтропию квантовых состояний ${\displaystyle \omega ,\tau }$.

Нетрудно заметить, что ${\displaystyle \epsilon }$-относительная энтропия также подчиняется монотонности относительно квантовых операций:^[4]

${\displaystyle D^{\epsilon }(\rho ||\sigma )\geq D^{\epsilon }({\mathcal {E}}(\rho )||{\mathcal {E}}(\sigma ))}$,

для любой карты CPTP ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$. Чтобы в этом убедиться, предположим, что у нас есть POVM. ${\displaystyle (R,I-R)}$ различать ${\displaystyle {\mathcal {E}}(\rho )}$ и ${\displaystyle {\mathcal {E}}(\sigma )}$ такой, что ${\displaystyle \langle R,{\mathcal {E}}(\rho )\rangle =\langle {\mathcal {E}}^{\dagger }(R),\rho \rangle \geq \epsilon }$. Строим новый POVM ${\displaystyle ({\mathcal {E}}^{\dagger }(R),I-{\mathcal {E}}^{\dagger }(R))}$ различать ${\displaystyle \rho }$ и ${\displaystyle \sigma }$. Поскольку сопряженный к любому отображению CPTP также положительный и унитальный, это действительный POVM. Обратите внимание, что ${\displaystyle \langle R,{\mathcal {E}}(\sigma )\rangle =\langle {\mathcal {E}}^{\dagger }(R),\sigma \rangle \geq \langle Q,\sigma \rangle }$, куда ${\displaystyle (Q,I-Q)}$ это POVM, который достигает ${\displaystyle D^{\epsilon }(\rho ||\sigma )}$Это не только интересно само по себе, но также дает нам следующий альтернативный метод доказательства неравенства обработки данных.^[2]

По квантовому аналогу леммы Стейна^[5]

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{n}}D^{\epsilon }(\rho ^{\otimes n}||\sigma ^{\otimes n})=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {-1}{n}}\log \min {\frac {1}{\epsilon }}\operatorname {Tr} (\sigma ^{\otimes n}Q)}$

${\displaystyle =D(\rho ||\sigma )-\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{n}}\left(\log {\frac {1}{\epsilon }}\right)}$

${\displaystyle =D(\rho ||\sigma )~,}$

где минимум берется за ${\displaystyle 0\leq Q\leq 1}$ такой, что ${\displaystyle \operatorname {Tr} (Q\rho ^{\otimes n})\geq \epsilon ~.}$

Применение неравенства обработки данных к состояниям ${\displaystyle \rho ^{\otimes n}}$ и ${\displaystyle \sigma ^{\otimes n}}$ с картой CPTP ${\displaystyle {\mathcal {E}}^{\otimes n}}$, мы получили

${\displaystyle D^{\epsilon }(\rho ^{\otimes n}||\sigma ^{\otimes n})~\geq ~D^{\epsilon }({\mathcal {E}}(\rho )^{\otimes n}||{\mathcal {E}}(\sigma )^{\otimes n})~.}$

Деление на ${\displaystyle n}$ по обе стороны и принимая предел как ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$, получаем желаемый результат.

Смотрите также

• Энтропийная ценность под угрозой
• Квантовая относительная энтропия
• Сильная субаддитивность
• Классическая теория информации
• Мин-энтропия

Рекомендации

1. Уотроус, Дж. Теория квантовой информации, осень 2013 г. Гл. 5, стр. 194 https://cs.uwaterloo.ca/~watrous/CS766/DraftChapters/5.QuantumEntropy.pdf^{[постоянная мертвая ссылка ]}
2. Dupuis, F .; Krämer, L .; Faist, P .; Renes, J.M .; Реннер, Р. (2013). «Обобщенные энтропии». XVII Международный конгресс по математической физике. МИРОВАЯ НАУЧНАЯ. С. 134–153. arXiv:1211.3141. Дои:10.1142/9789814449243_0008. ISBN  978-981-4449-23-6.
3. Рускай, Мэри Бет (2002). «Неравенства для квантовой энтропии: обзор с условиями равенства». Журнал математической физики. Издательство AIP. 43 (9): 4358–4375. arXiv:Quant-ph / 0205064. Дои:10.1063/1.1497701. ISSN  0022-2488.
4. Ван, Лигун; Реннер, Ренато (15 мая 2012 г.). «Одноразовая классическая квантовая емкость и проверка гипотез». Письма с физическими проверками. Американское физическое общество (APS). 108 (20): 200501. arXiv:1007.5456. Дои:10.1103 / Physrevlett.108.200501. ISSN  0031-9007.
5. Денез Петц (2008). «8». Квантовая теория информации и квантовая статистика. Теоретическая и математическая физика. Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg. Дои:10.1007/978-3-540-74636-2. ISBN  978-3-540-74634-8.