Поле классов Гильберта - Hilbert class field

В алгебраическая теория чисел, то Поле классов Гильберта E из числовое поле K это максимальный абелев неразветвленный расширение K. Его степень выше K равно количеству классов K и Группа Галуа из E над K канонически изоморфна группа идеального класса из K с помощью Элементы Фробениуса за главные идеалы в K.

В этом контексте поле классов Гильберта K не просто неразветвлен в конечные места (классическая теоретико-идеальная интерпретация), но и в бесконечных местах K. То есть каждый реальное вложение из K распространяется на реальное вложение E (а не к сложному встраиванию E).

Примеры

  • Если кольцо целых чисел K это уникальная область факторизации, в частности, если , тогда K - собственное поле гильбертовых классов.
  • Позволять дискриминанта . Поле имеет дискриминант и повсюду неразветвленное расширение K, и это абелева. С использованием Минковский граница, можно показать, что K имеет класс номер 2. Следовательно, его поле классов Гильберта равно . Неосновной идеал K есть (2, (1+−15) / 2), а в L это становится главным идеалом ((1+5)/2).
  • Поле имеет класс номер 3. Его поле классов Гильберта может быть образовано путем присоединения корня из x3 - x - 1, имеющий дискриминант -23.
  • Чтобы понять, почему необходимо учитывать ветвление в простых числах архимеда, рассмотрим настоящий квадратичное поле K полученный присоединением квадратного корня из 3 к Q. Это поле имеет номер класса 1 и дискриминант 12, но расширение K(я)/K дискриминанта 9 = 32 не разветвляется на все основные идеалы в K, так K допускает конечные абелевы расширения степени выше 1, в которых все конечные простые числа K неразветвлены. Это не противоречит полю классов Гильберта K существование K само: каждое собственное конечное абелево расширение K должен разветвляться в каком-то месте, а в расширении K(я)/K в местах архимеда есть разветвление: настоящие вложения K распространяются на сложные (а не реальные) вложения K(я).
  • По теории комплексное умножение, поле классов Гильберта мнимое квадратичное поле генерируется значением эллиптическая модульная функция в образующей для кольца целых чисел (как Z-модуль).

История

Существование (узкого) поля классов Гильберта для данного числового поля K было предположено Дэвид Гильберт  (1902 ) и доказано Филипп Фуртвенглер.[1] Существование поля классов Гильберта является ценным инструментом в изучении структуры группа идеального класса данного поля.

Дополнительные свойства

Поле классов Гильберта E также удовлетворяет следующему:

Фактически, E уникальный поле удовлетворяющие первому, второму и четвертому свойствам.

Явные конструкции

Если K мнимая квадратичная и А является эллиптическая кривая с комплексное умножение посредством кольцо целых чисел из K, затем, примыкая к j-инвариантный из А к K дает поле классов Гильберта.[2]

Обобщения

В теория поля классов, изучается поле класса лучей относительно данного модуль, который является формальным продуктом первичных идеалов (в том числе, возможно, архимедовых). Поле классов лучей - это максимальное абелево расширение, не разветвленное за пределами простых чисел, делящих модуль, и удовлетворяющее определенному условию ветвления на простых числах, делящих модуль. Поле классов Гильберта тогда является полем классов лучей по отношению к тривиальному модулю 1.

В узкое классовое поле - поле классов лучей по модулю, состоящему из всех бесконечных простых чисел. Например, приведенный выше аргумент показывает, что это узкое поле классов .

Примечания

Рекомендации

  • Чайлдресс, Нэнси (2009), Теория поля классов, Нью-Йорк: Springer, Дои:10.1007/978-0-387-72490-4, ISBN  978-0-387-72489-8, МИСТЕР  2462595
  • Фуртвенглер, Филипп (1906), "Allgemeiner Existenzbeweis für den Klassenkörper eines trustbigen algebraischen Zahlkörpers", Mathematische Annalen, 63 (1): 1–37, Дои:10.1007 / BF01448421, JFM  37.0243.02, МИСТЕР  1511392, получено 2009-08-21
  • Гильберт, Давид (1902 г.) [1898 г.], «Über die Theorie der relativ-Abel'schen Zahlkörper», Acta Mathematica, 26 (1): 99–131, Дои:10.1007 / BF02415486
  • Дж. С. Милн, Теория поля классов (заметки к курсу доступны на http://www.jmilne.org/math/ ). См. Главу «Введение» в примечаниях, особенно стр. 4.
  • Сильверман, Джозеф Х. (1994), Дополнительные темы по арифметике эллиптических кривых, Тексты для выпускников по математике, 151, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-94325-1
  • Гра, Жорж (2005), Теория поля классов: от теории к практике, Нью-Йорк: Springer

В этой статье использован материал из книги Существование поля классов Гильберта на PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.