Идеальное частное - Ideal quotient

В абстрактная алгебра, если я и J находятся идеалы коммутативного звенеть р, их идеальное частное (я : J) - множество

${\displaystyle (I:J)=\{r\in R\mid rJ\subseteq I\}}$

Потом (я : J) сам по себе является идеалом в р. Идеальное частное рассматривается как частное, потому что ${\displaystyle KJ\subseteq I}$ если и только если ${\displaystyle K\subseteq I:J}$. Идеальное частное полезно для расчета первичные разложения. Это также возникает в описании установить разницу в алгебраическая геометрия (Смотри ниже).

(я : J) иногда называют идеальная толстая кишка из-за обозначений. В контексте фракционные идеалы, есть родственное понятие обратного дробного идеала.

Характеристики

Идеальное частное удовлетворяет следующим свойствам:

• ${\displaystyle (I:J)=\mathrm {Ann} _{R}((J+I)/I)}$ в качестве ${\displaystyle R}$-модули, где ${\displaystyle \mathrm {Ann} _{R}(M)}$ обозначает аннигилятор из ${\displaystyle M}$ как ${\displaystyle R}$-модуль.
• ${\displaystyle J\subseteq I\Rightarrow (I:J)=R}$
• ${\displaystyle (I:R)=I}$
• ${\displaystyle (R:I)=R}$
• ${\displaystyle (I:(J+K))=(I:J)\cap (I:K)}$
• ${\displaystyle (I:(r))={\frac {1}{r}}(I\cap (r))}$ (так долго как р является областью целостности)

Расчет частного

Вышеупомянутые свойства могут быть использованы для вычисления частного идеалов в кольце многочленов по их образующим. Например, если я = (ж₁, ж₂, ж₃) и J = (грамм₁, грамм₂) идеалы в k[Икс₁, ..., Икс_п], тогда

${\displaystyle I:J=(I:(g_{1}))\cap (I:(g_{2}))=\left({\frac {1}{g_{1}}}(I\cap (g_{1}))\right)\cap \left({\frac {1}{g_{2}}}(I\cap (g_{2}))\right)}$

потом теория исключения можно использовать для вычисления пересечения я с (грамм₁) и (грамм₂):

${\displaystyle I\cap (g_{1})=tI+(1-t)(g_{1})\cap k[x_{1},\dots ,x_{n}],\quad I\cap (g_{2})=tI+(1-t)(g_{2})\cap k[x_{1},\dots ,x_{n}]}$

Рассчитать Основа Грёбнера за tI + (1-т)(грамм₁) относительно лексикографического порядка. Тогда базисные функции, не имеющие т в них порождают ${\displaystyle I\cap (g_{1})}$.

Геометрическая интерпретация

Идеальное частное соответствует установить разницу в алгебраическая геометрия.^[1] Точнее,

• Если W аффинное разнообразие и V является подмножеством аффинного пространства (не обязательно многообразием), то

${\displaystyle I(V):I(W)=I(V\setminus W)}$

куда ${\displaystyle I(\bullet )}$ обозначает взятие идеала, ассоциированного с подмножеством.

• Если я и J идеалы в k[Икс₁, ..., Икс_п], с k алгебраически замкнутый и я радикальный тогда

${\displaystyle Z(I:J)=\mathrm {cl} (Z(I)\setminus Z(J))}$

куда ${\displaystyle \mathrm {cl} (\bullet )}$ обозначает Зарисский закрытие, и ${\displaystyle Z(\bullet )}$ обозначает взятие многообразия, определяемого идеалом. я не радикальна, то то же свойство имеет место, если мы насыщать идеал J:

${\displaystyle Z(I:J^{\infty })=\mathrm {cl} (Z(I)\setminus Z(J))}$

куда ${\displaystyle (I:J^{\infty })=\cup _{n\geq 1}(I:J^{n})}$.

Примеры

• В ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, ${\displaystyle ((6):(2))=(3)}$
• Одно из геометрических применений идеального частного - это удаление неприводимой компоненты аффинной схемы. Например, пусть ${\displaystyle I=(xyz),{\text{ }}J=(xy)}$ в ${\displaystyle \mathbb {C} [x,y,z]}$ - идеалы, соответствующие объединению плоскостей x, y, z и плоскостей x и y в ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{3}}$. Тогда идеальное частное ${\displaystyle (I:J)=(z)}$ идеал z-плоскости в ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{3}}$. Это показывает, как можно использовать идеальное частное для «удаления» неприводимых подсхем.
• Полезный теоретико-схемный пример - идеальное частное приводимого идеала. Например, идеальное частное ${\displaystyle ((x^{4}y^{3}):(x^{2}y^{2}))=(x^{2}y)}$, показывая, что идеальное частное подсхемы некоторой нередуцированной схемы, где обе имеют одну и ту же редуцированную подсхему, уничтожает часть нередуцированной структуры.
• Мы можем использовать предыдущий пример, чтобы найти насыщенность идеала, соответствующего проективной схеме. Учитывая однородный идеал ${\displaystyle I\subset R[x_{0},\ldots ,x_{n}]}$ то насыщенность из ${\displaystyle I}$ определяется как идеальное частное ${\displaystyle (I:{\mathfrak {m}}^{\infty })=\cup _{i\geq 1}(I:{\mathfrak {m}}^{i})}$ куда ${\displaystyle {\mathfrak {m}}=(x_{0},\ldots ,x_{n})\subset R[x_{0},\ldots ,x_{n}]}$. Это теорема, что множество насыщенных идеалов ${\displaystyle R[x_{0},\ldots ,x_{n}]}$ содержалась в ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ находится в биекции с множеством проективных подсхем в ${\displaystyle \mathbb {P} _{R}^{n}}$.^[2] Это показывает нам, что ${\displaystyle (x^{4}+y^{4}+z^{4}){\mathfrak {m}}^{k}}$ определяет то же самое проективная кривая в качестве ${\displaystyle (x^{4}+y^{4}+z^{4})}$ в ${\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{2}}$.

Рекомендации

1. Дэвид Кокс; Джон Литтл; Донал О'Ши (1997). Идеалы, многообразия и алгоритмы: введение в вычислительную алгебраическую геометрию и коммутативную алгебру. Springer. ISBN  0-387-94680-2., стр.195
2. Грёэль, Герт-Мартин; Пфистер, Герхард (2008). Особое введение в коммутативную алгебру (2-е изд.). Springer-Verlag. п.485. ISBN  9783642442544.

• Вивиана Эне, Юрген Херцог: «Основы Грёбнера в коммутативной алгебре», AMS Аспирантура по математике, Том 130 (AMS 2012)

• М. Ф. Атья, И. Г. Макдональд: `` Введение в коммутативную алгебру '', Addison-Wesley, 1969.