Двойственность Лефшеца - Lefschetz duality

В математика, Двойственность Лефшеца это версия Двойственность Пуанкаре в геометрическая топология, обращаясь к многообразие с краем. Такая формулировка была введена Лефшец  (1926 ), одновременно вводя относительная гомология, для применения в Теорема Лефшеца о неподвижной точке.^[1] В настоящее время существует множество формулировок двойственности Лефшеца или Двойственность Пуанкаре-Лефшеца, или же Двойственность Александра-Лефшеца.

Составы

Позволять M быть ориентируемый компактный многообразие измерения п, с границей N, и разреши z быть фундаментальный класс из M. потом крышка продукта с z индуцирует спаривание (со)группы гомологии из M и относительные (ко) гомологии пары (M, N); и это приводит к изоморфизму ЧАС^k(M, N) с ЧАС_{п - к}(M), и из ЧАС_k(M, N) с ЧАС^{п - к}(M).^[2]

Здесь N на самом деле может быть пустым, поэтому двойственность Пуанкаре появляется как частный случай двойственности Лефшеца.

Есть версия для троек. Позволять N разложить на подпространства А и B, сами компактные ориентируемые многообразия с общим краем Z, который является пересечением А и B. Тогда существует изоморфизм^{[нужна цитата ][3]}

${\displaystyle D_{M}:H^{p}(M,A;\mathbb {Z} )\to H_{n-p}(M,B;\mathbb {Z} ).}$

Примечания

1. Биографические воспоминания сотрудников Национального исследовательского совета (1992), стр. 297.
2. Джеймс В. Вик, Теория гомологий: введение в алгебраическую топологию (1994), стр. 171.
3. Аллен Хэтчер, "Алгебраическая топология" (2002), стр. 254.

Рекомендации

• "Lefschetz_duality", Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Лефшец, Соломон (1926), "Преобразования многообразий с границей", Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки, Национальная академия наук, 12 (12): 737–739, Дои:10.1073 / pnas.12.12.737, ISSN  0027-8424, JSTOR  84764, ЧВК  1084792, PMID  16587146