Многообразие Лефшеца - Lefschetz manifold

В математика, а Многообразие Лефшеца это особый вид симплектическое многообразие ${displaystyle (M^{2n},omega )}$, обладающих некоторым когомологическим свойством с Кэлеровы многообразия, что об удовлетворении заключения Жесткая теорема Лефшеца. Точнее, сильное свойство Лефшеца просит это для ${displaystyle kin {1,ldots ,n}}$, стаканчик

${displaystyle cup [omega ^{k}]colon H^{n-k}(M,mathbb {R} ) o H^{n+k}(M,mathbb {R} )}$

быть изоморфизмом.

Топология этих симплектических многообразий строго ограничена, например их нечетные Бетти числа четные. Это замечание приводит к многочисленным примерам симплектических многообразий, которые не являются кэлеровыми. Первый исторический пример связан с Уильям Терстон.^[1]

Карты Лефшеца

Позволять ${displaystyle M}$ быть (${displaystyle 2n}$) -мерное гладкое многообразие. Каждый элемент

${displaystyle [omega ]in H_{DR}^{2}(M)}$

второй когомологии де Рама пространство ${displaystyle M}$ индуцирует карту

${displaystyle L_{[omega ]}:H_{DR}(M) o H_{DR}(M),[alpha ]mapsto [omega wedge alpha ]}$

называется Карта Лефшеца из ${displaystyle [omega ]}$. Сдача ${displaystyle L_{[omega ]}^{i}}$ быть ${displaystyle i}$й итерация ${displaystyle L_{[omega ]}}$, у нас для каждого ${displaystyle 0leq ileq n}$ карта

${displaystyle L_{[omega ]}^{i}:H_{DR}^{n-i}(M) o H_{DR}^{n+i}(M).}$

Если ${displaystyle M}$ является компактный и ориентированный, тогда Двойственность Пуанкаре говорит нам, что ${displaystyle H_{DR}^{n-i}(M)}$ и ${displaystyle H_{DR}^{n+i}(M)}$ являются векторными пространствами одной размерности, поэтому в этих случаях естественно спросить, являются ли различные итерации отображений Лефшеца изоморфизмами.

В Жесткая теорема Лефшеца утверждает, что это так для симплектической формы компактного кэлерова многообразия.

Определения

Если

${displaystyle L_{[omega ]}^{n-1}:H_{DR}^{1}(M) o H_{DR}^{2n-1}}$

и

${displaystyle L_{[omega ]}^{n}:H_{DR}^{0}(M) o H_{DR}^{2n}}$

являются изоморфизмами, то ${displaystyle [omega ]}$ это Элемент Лефшеца, или же Класс Лефшеца. Если

${displaystyle L_{[omega ]}^{i}:H_{DR}^{n-i}(M) o H_{DR}^{n+i}(M)}$

является изоморфизмом для всех ${displaystyle 0leq ileq n}$, тогда ${displaystyle [omega ]}$ это сильный элемент Лефшеца, или сильный класс Лефшеца.

Позволять ${displaystyle (M,omega )}$ быть ${displaystyle 2n}$-размерный симплектическое многообразие. Тогда он ориентируется, но может и не компактно. Один говорит, что ${displaystyle (M,omega )}$ это Многообразие Лефшеца если ${displaystyle [omega ]}$ является элементом Лефшеца, а ${displaystyle (M,omega )}$ это сильное многообразие Лефшеца если ${displaystyle [omega ]}$ является сильным элементом Лефшеца.

Где найти многообразия Лефшеца

Реальное многообразие, лежащее в основе любого Кэлерово многообразие является симплектическим многообразием. В сильная теорема Лефшеца говорит нам, что это также сильное многообразие Лефшеца, а значит, и многообразие Лефшеца. Таким образом, мы имеем следующую цепочку включений.

{Кэлеровы многообразия} ${displaystyle subset }$ {сильные многообразия Лефшеца} ${displaystyle subset }${Многообразия Лефшеца} ${displaystyle subset }$ {симплектические многообразия}

Чал Бенсон и Кэролайн С. Гордон доказано в 1988 г.^[2] что если компактный нильмногообразие является многообразием Лефшеца, то оно диффеоморфно тор. Тот факт, что существуют нильмногообразия, не диффеоморфные тору, показывает, что существует некоторое пространство между кэлеровыми и симплектическими многообразиями, но класс нильмногообразий не показывает каких-либо различий между кэлеровыми многообразиями, многообразиями Лефшеца и сильными многообразиями Лефшеца.

Гордан и Бенсон предположили, что если компакт полное солвмногообразие допускает кэлерову структуру, то она диффеоморфна тор. Это было доказано. Более того, было найдено множество примеров солвмногообразий, которые являются сильными лефшецевыми, но не кэлеровыми, и солвмногообразий, которые являются лефшецевыми, но не сильными лефшецами. Такие примеры приводил Такуми Ямада в 2002 году.^[3]

Примечания

1. Терстон, Уильям П. (1976). «Некоторые простые примеры симплектических многообразий». Труды Американского математического общества. 55 (2): 467. Дои:10.2307/2041749. JSTOR  2041749. МИСТЕР  0402764.
2. Бенсон, Чал; Гордон, Кэролайн С. (1988). «Кэлеровы и симплектические структуры на нильмногообразиях». Топология. 27 (4): 513–518. Дои:10.1016/0040-9383(88)90029-8. МИСТЕР  0976592.
3. Ямада, Такуми (2002). «Примеры компактных солвмногообразий Лефшеца». Токийский математический журнал. 25 (2): 261–283. Дои:10.3836 / tjm / 1244208853. МИСТЕР  1948664.