Список общих преобразований координат - List of common coordinate transformations

Это список некоторых из наиболее часто используемых преобразований координат.

2-х мерный

Пусть (x, y) - стандартный Декартовы координаты, а r и θ - стандартные полярные координаты.

В декартовых координатах

Из полярных координат

${displaystyle {egin{aligned}x&=r,cos heta y&=r,sin heta {frac {partial (x,y)}{partial (r, heta )}}&={egin{pmatrix}cos heta &-r,sin heta sin heta &r,cos heta end{pmatrix}}Jacobian=det {frac {partial (x,y)}{partial (r, heta )}}&=rend{aligned}}}$

Из логополярных координат

Основная статья: лог-полярные координаты

${displaystyle {egin{aligned}x&=e^{ho }cos heta ,y&=e^{ho }sin heta .end{aligned}}}$

Используя комплексные числа ${displaystyle (x,y)=x+iy'}$преобразование можно записать как

${displaystyle x+iy=e^{ho +i heta }}$

То есть он задается комплексной экспоненциальной функцией.

Из биполярных координат

Основная статья: биполярные координаты

${displaystyle {egin{aligned}x&=a{frac {sinh au }{cosh au -cos sigma }}y&=a{frac {sin sigma }{cosh au -cos sigma }}end{aligned}}}$

От двухцентровых биполярных координат

Основная статья: двухцентровые биполярные координаты

${displaystyle {egin{aligned}x&={frac {1}{4c}}left(r_{1}^{2}-r_{2}^{2}ight)y&=pm {frac {1}{4c}}{sqrt {16c^{2}r_{1}^{2}-(r_{1}^{2}-r_{2}^{2}+4c^{2})^{2}}}end{aligned}}}$

Из уравнения Чезаро

Основная статья: Уравнение Чезаро

${displaystyle {egin{aligned}x&=int cos left[int kappa (s),dsight]dsy&=int sin left[int kappa (s),dsight]dsend{aligned}}}$

В полярные координаты

От декартовых координат

${displaystyle {egin{aligned}r&={sqrt {x^{2}+y^{2}}} heta ^{prime }&=arctan left|{frac {y}{x}}ight|end{aligned}}}$

Примечание: решение для ${displaystyle heta ^{prime }}$ возвращает результирующий угол в первом квадранте (${displaystyle 0< heta <{frac {pi }{2}}}$). Найти ${displaystyle heta }$, необходимо обратиться к исходной декартовой координате, определить квадрант, в котором ${displaystyle heta }$ лежит (ex (3, -3) [декартово] лежит в QIV), затем используйте следующее, чтобы найти ${displaystyle heta }$:

• За ${displaystyle heta ^{prime }}$ в QI:

  ${displaystyle heta = heta ^{prime }}$

• За ${displaystyle heta ^{prime }}$ во II квартале:

  ${displaystyle heta =pi - heta ^{prime }}$

• За ${displaystyle heta ^{prime }}$ в III квартале:

  ${displaystyle heta =pi + heta ^{prime }}$

• За ${displaystyle heta ^{prime }}$ в IV квартале:

  ${displaystyle heta =2pi - heta ^{prime }}$

Значение для ${displaystyle heta }$ необходимо решить таким образом, потому что для всех значений ${displaystyle heta }$, ${displaystyle an heta }$ определено только для ${displaystyle -{frac {pi }{2}}< heta <+{frac {pi }{2}}}$, и периодическая (с периодом ${displaystyle pi }$). Это означает, что обратная функция будет давать значения только в области определения функции, но ограничены одним периодом. Следовательно, диапазон обратной функции составляет только половину полного круга.

Обратите внимание, что можно также использовать

${displaystyle {egin{aligned}r&={sqrt {x^{2}+y^{2}}} heta ^{prime }&=2arctan {frac {y}{x+r}}end{aligned}}}$

От двухцентровых биполярных координат

${displaystyle {egin{aligned}r&={sqrt {frac {r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2c^{2}}{2}}} heta &=arctan left[{sqrt {{frac {8c^{2}(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2c^{2})}{r_{1}^{2}-r_{2}^{2}}}-1}}ight]end{aligned}}}$

Где 2c расстояние между полюсами.

В лог-полярные координаты из декартовых координат

${displaystyle {egin{aligned}ho &=log {sqrt {x^{2}+y^{2}}}, heta &=arctan {frac {y}{x}}.end{aligned}}}$

Длина дуги и кривизна

В декартовых координатах

${displaystyle {egin{aligned}kappa &={frac {x'y''-y'x''}{({x'}^{2}+{y'}^{2})^{frac {3}{2}}}}s&=int _{a}^{t}{sqrt {{x'}^{2}+{y'}^{2}}},dtend{aligned}}}$

В полярных координатах

${displaystyle {egin{aligned}kappa &={frac {r^{2}+2{r'}^{2}-rr''}{(r^{2}+{r'}^{2})^{frac {3}{2}}}}s&=int _{a}^{phi }{sqrt {r^{2}+{r'}^{2}}},dphi end{aligned}}}$

3-х мерный

Пусть (x, y, z) - стандартные декартовы координаты, а (ρ, θ, φ) - координаты сферические координаты, где θ - угол, отсчитываемый от оси + Z (как [1] см. условные обозначения в сферические координаты ). Поскольку φ имеет диапазон 360 °, те же соображения, что и в полярных (2-мерных) координатах, применяются всякий раз, когда берется арктангенс. θ имеет диапазон 180 °, от 0 ° до 180 °, и не представляет проблем при вычислении по арккосинусу, но будьте осторожны с арктангенсом.

Если в альтернативном определении θ выбирается для диапазона от -90 ° до + 90 °, в направлении, противоположном предыдущему определению, его можно найти однозначно по арксинусу, но остерегайтесь арккотангенса. В этом случае во всех формулах ниже все аргументы в θ следует поменять местами синус и косинус, а в качестве производной также поменять местами плюс и минус.

Все деления на ноль приводят к частным случаям, когда они являются направлениями вдоль одной из главных осей, и на практике легче всего разрешить наблюдение.

В декартовы координаты

Из сферических координат

Основная статья: сферические координаты

${displaystyle {egin{aligned}x&=ho ,sin heta ,cos varphi y&=ho ,sin heta ,sin varphi z&=ho ,cos heta {frac {partial (x,y,z)}{partial (ho , heta ,varphi )}}&={egin{pmatrix}sin heta cos varphi &ho cos heta cos varphi &-ho sin heta sin varphi sin heta sin varphi &ho cos heta sin varphi &ho sin heta cos varphi cos heta &-ho sin heta &0end{pmatrix}}end{aligned}}}$

Итак, для элемента объема:

${displaystyle dx;dy;dz=det {frac {partial (x,y,z)}{partial (ho , heta ,varphi )}}dho ;d heta ;dvarphi =ho ^{2}sin heta ;dho ;d heta ;dvarphi }$

Из цилиндрических координат

Основная статья: цилиндрические координаты

${displaystyle {egin{aligned}x&=r,cos heta y&=r,sin heta z&=z,{frac {partial (x,y,z)}{partial (r, heta ,z)}}&={egin{pmatrix}cos heta &-rsin heta &0sin heta &rcos heta &0�&0&1end{pmatrix}}end{aligned}}}$

Итак, для элемента объема:

${displaystyle dV=dx;dy;dz=det {frac {partial (x,y,z)}{partial (r, heta ,z)}}dr;d heta ;dz=r;dr;d heta ;dz}$

В сферические координаты

Основная статья: сферические координаты

Из декартовых координат

${displaystyle {egin{aligned}ho &={sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}} heta &=arctan left({frac {sqrt {x^{2}+y^{2}}}{z}}ight)=arccos left({frac {z}{sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}ight)varphi &=arctan left({frac {y}{x}}ight)=arccos left({frac {x}{sqrt {x^{2}+y^{2}}}}ight)=arcsin left({frac {y}{sqrt {x^{2}+y^{2}}}}ight){frac {partial left(ho , heta ,varphi ight)}{partial left(x,y,zight)}}&={egin{pmatrix}{frac {x}{ho }}&{frac {y}{ho }}&{frac {z}{ho }}{frac {xz}{ho ^{2}{sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&{frac {yz}{ho ^{2}{sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&-{frac {sqrt {x^{2}+y^{2}}}{ho ^{2}}}{frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}&{frac {x}{x^{2}+y^{2}}}&0end{pmatrix}}end{aligned}}}$

Также статью о atan2 как элегантно обрабатывать некоторые крайние случаи.

Итак, для элемента:

${displaystyle dho d heta dvarphi =det {frac {partial (ho , heta ,varphi )}{partial (x,y,z)}}dx dy dz={frac {1}{{sqrt {x^{2}+y^{2}}}{sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}}dx dy dz}$

Из цилиндрических координат

Основная статья: цилиндрические координаты

${displaystyle {egin{aligned}ho &={sqrt {r^{2}+h^{2}}} heta &=arctan {frac {r}{h}}phi &=phi {frac {partial (ho , heta ,phi )}{partial (r,h,phi )}}&={egin{pmatrix}{frac {r}{sqrt {r^{2}+h^{2}}}}&{frac {h}{sqrt {r^{2}+h^{2}}}}&0{frac {h}{r^{2}+h^{2}}}&{frac {-r}{r^{2}+h^{2}}}&0�&0&1end{pmatrix}}det {frac {partial (ho , heta ,phi )}{partial (r,h,phi )}}&={frac {1}{sqrt {r^{2}+h^{2}}}}end{aligned}}}$

К цилиндрическим координатам

От декартовых координат

${displaystyle {egin{aligned}r&={sqrt {x^{2}+y^{2}}} heta &=arctan {left({frac {y}{x}}ight)}z&=zquad end{aligned}}}$

${displaystyle {frac {partial (r, heta ,h)}{partial (x,y,z)}}={egin{pmatrix}{frac {x}{sqrt {x^{2}+y^{2}}}}&{frac {y}{sqrt {x^{2}+y^{2}}}}&0{frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}&{frac {x}{x^{2}+y^{2}}}&0�&0&1end{pmatrix}}}$

Из сферических координат

${displaystyle {egin{aligned}r&=ho sin phi h&=ho cos phi heta &= heta {frac {partial (r,h, heta )}{partial (ho ,phi , heta )}}&={egin{pmatrix}sin phi &ho cos phi &0cos phi &-ho sin phi &0�&0&1end{pmatrix}}det {frac {partial (r,h, heta )}{partial (ho ,phi , heta )}}&=-ho end{aligned}}}$

Длина дуги, кривизна и кручение в декартовых координатах

${displaystyle {egin{aligned}s&=int _{0}^{t}{sqrt {{x'}^{2}+{y'}^{2}+{z'}^{2}}},dt[3pt]kappa &={frac {sqrt {(z''y'-y''z')^{2}+(x''z'-z''x')^{2}+(y''x'-x''y')^{2}}}{({x'}^{2}+{y'}^{2}+{z'}^{2})^{frac {3}{2}}}}[3pt] au &={frac {x'''(y'z''-y''z')+y'''(x''z'-x'z'')+z'''(x'y''-x''y')}{{(x'y''-x''y')}^{2}+{(x''z'-x'z'')}^{2}+{(y'z''-y''z')}^{2}}}end{aligned}}}$

Смотрите также

• Преобразование географических координат
• Матрица трансформации

Рекомендации

• Арфкен, Джордж (2013). Математические методы для физиков. Академическая пресса. ISBN  978-0123846549.