Список отчетов, независимых от ZFC - List of statements independent of ZFC

В математический утверждения, обсуждаемые ниже, являются доказуемыми независимый из ZFC (канонический аксиоматическая теория множеств современной математики, состоящей из Аксиомы Цермело – Френкеля плюс аксиома выбора ), предполагая, что ZFC последовательный. Утверждение не зависит от ZFC (иногда его называют «неразрешимым в ZFC»), если оно не может быть ни доказано, ни опровергнуто с помощью аксиом ZFC.

Аксиоматическая теория множеств

Дальнейшая информация: Аксиоматическая теория множеств

В 1931 г. Курт Гёдель доказал первый результат независимости ZFC, а именно, что согласованность самого ZFC не зависит от ZFC (Вторая теорема Гёделя о неполноте ).

Следующие утверждения, помимо прочего, не зависят от ZFC:

• согласованность ZFC;
• то гипотеза континуума или CH (Гёдель создал модель ZFC, в которой CH истинно, показывая, что CH не может быть опровергнут в ZFC; Пол Коэн позже изобрел метод принуждение показать модель ZFC, в которой CH не работает, показывая, что CH не может быть доказан в ZFC. Следующие четыре результата о независимости также принадлежат Гёделю / Коэну.);
• то гипотеза обобщенного континуума (GCH);
• связанное независимое утверждение состоит в том, что если набор Икс имеет меньше элементов, чем y, тогда Икс также имеет меньше подмножества чем y. В частности, это утверждение неверно, когда мощности множеств Икс и y совпадают;
• то аксиома конструктивности (V = L);
• то алмазный принцип (◊);
• Аксиома мартина (MA);
• MA + ¬CH (независимость показана Соловей и Тенненбаум )^[1].

Диаграмма, показывающая цепочки следствий

У нас есть следующие цепочки следствий:

V = L → ◊ → CH,

V = L → GCH → CH,

CH → MA,

и (см. раздел по теории порядка):

◊ → ¬SH,

MA + ¬CH → ЕСТЬ → Ш.

Несколько заявлений, связанных с существованием большие кардиналы не может быть доказано в ZFC (при условии, что ZFC согласован). Они не зависят от ZFC при условии, что они совместимы с ZFC, что, по мнению большинства теоретиков рабочих множеств, так. Эти утверждения достаточно сильны, чтобы подразумевать согласованность ZFC. Это имеет последствия (через Вторая теорема Гёделя о неполноте ), что их совместимость с ZFC не может быть доказана в ZFC (при условии, что ZFC согласован). К этому классу принадлежат следующие операторы:

• Существование недоступные кардиналы
• Существование Мало кардиналов
• Существование измеримые кардиналы (первое предположение Улам )
• Существование суперкомпактные кардиналы

Следующие утверждения могут быть доказаны как независимые от ZFC при условии согласованности подходящего большого кардинала:

• Правильная аксиома принуждения
• Открытая аксиома раскраски
• Максимум Мартина
• Существование 0^#
• Гипотеза сингулярных кардиналов
• Проективная определенность (и даже полный аксиома детерминированности если аксиома выбора не предполагается)

Теория множеств реальной линии

Дальнейшая информация: Теория множеств реальной линии

Есть много кардинальные инварианты реальной линии, связанной с теория меры и заявления, касающиеся Теорема Бэра о категории, точные значения которых не зависят от ZFC. Хотя между ними можно доказать нетривиальные отношения, большинство кардинальных инвариантов могут быть любыми. обычный кардинал между ℵ₁ и 2^ℵ₀. Это основная область исследования теории множеств действительной прямой (см. Диаграмма Цишона ). МА имеет тенденцию устанавливать наиболее интересные кардинальные инварианты равными 2^ℵ₀.

Подмножество Икс реальной линии нулевой набор строгой меры если каждой последовательности (ε_п) положительных вещественных чисел существует последовательность интервалов (я_п) который охватывает Икс и такой, что я_п имеет длину не больше ε_п. Гипотеза Бореля о том, что любое множество нулей сильной меры счетно, не зависит от ZFC.

Подмножество Икс реальной линии ${\displaystyle \aleph _{1}}$-плотно, если каждый открытый интервал содержит ${\displaystyle \aleph _{1}}$-многие элементы Икс. Все ли ${\displaystyle \aleph _{1}}$-плотные множества порядко-изоморфны не зависят от ZFC.^[2]

Теория порядка

Дальнейшая информация: Теория порядка

Проблема суслина спрашивает, характеризует ли конкретный короткий список свойств упорядоченный набор действительных чисел р. В ZFC это неразрешимо.^[3] А Линия Суслина - это упорядоченный набор, который удовлетворяет этому конкретному списку свойств, но не изоморфен по порядку р. В алмазный принцип ◊ доказывает существование линии Суслина, а MA + ¬CH влечет EATS (каждое дерево Ароншайн особенное ),^[4] что, в свою очередь, подразумевает (но не эквивалентно)^[5] отсутствие суслинских линий. Рональд Дженсен доказал, что CH не влечет существования линии Суслина.^[6]

Существование Курепа деревья не зависит от ZFC, при условии согласованности недоступный кардинал.^[7]

Наличие перегородки порядковый номер ${\displaystyle \omega _{2}}$ на два цвета без монохроматических несчетных последовательно замкнутых подмножеств, не зависящих от ZFC, ZFC + CH и ZFC + ¬CH, при условии согласованности Мало кардинал.^[8][9][10] Эта теорема Шела отвечает на вопрос Х. Фридман.

Абстрактная алгебра

Дальнейшая информация: Абстрактная алгебра

В 1973 г. Сахарон Шелах показал, что Проблема Уайтхеда ("каждый абелева группа А с участием Ext¹(А, Z) = 0 а свободная абелева группа ? ") не зависит от ZFC.^[11] Абелева группа с Ext¹(А, Z) = 0 называется группой Уайтхеда; MA + ¬CH доказывает существование несвободной группы Уайтхеда, а V = L доказывает, что все группы Уайтхеда свободны. в одном из первых приложений правильного принуждение, Шелах построил модель ZFC + CH, в которой есть несвободная группа Уайтхеда.^[12][13]

Рассмотрим кольцо А = р[Икс,y,z] многочленов от трех переменных над действительными числами и его поле дробей M = р(Икс,y,z). В проективное измерение из M так как А-module равен 2 или 3, но не зависит от ZFC, равен ли он 2; он равен 2 тогда и только тогда, когда выполняется CH.^[14]

А прямой продукт бесчисленного множества поля имеет глобальное измерение 2 тогда и только тогда, когда верна гипотеза континуума.^[15]

Теория чисел

Дальнейшая информация: Теория чисел

Можно записать конкретный многочлен п ∈ Z[Икс₁, ..., Икс₉] такое, что утверждение "есть целые числа м₁, ..., м₉ с участием п(м₁, ..., м₉) = 0 "не может быть ни доказано, ни опровергнуто в ZFC (при условии, что ZFC непротиворечива). Это следует из Юрий Матиясевич решение Десятая проблема Гильберта; многочлен построен так, что он имеет целочисленный корень тогда и только тогда, когда ZFC несовместим.^[16]

Теория меры

Дальнейшая информация: Теория меры

Более сильная версия Теорема Фубини для положительных функций, где функция больше не считается измеримый но просто то, что два повторных интеграла правильно определены и существуют, не зависит от ZFC. С одной стороны, CH подразумевает, что существует функция на единичном квадрате, повторенные интегралы которой не равны - функция просто индикаторная функция порядка [0, 1], эквивалентного хорошо заказывая кардинала ω₁. Аналогичный пример можно построить, используя MA. С другой стороны, непротиворечивость сильной теоремы Фубини впервые была показана Фридман.^[17] Это также можно вывести из варианта Аксиома симметрии Фрейлинга.^[18]

Топология

Дальнейшая информация: Топология

Гипотеза нормального пространства Мура, а именно, что каждое нормальный Пространство Мура является метризуемый, может быть опровергнуто, если принять CH или MA + ¬CH, и может быть доказано, если принять определенную аксиому, которая подразумевает существование больших кардиналов. Таким образом, с учетом больших кардиналов гипотеза о нормальном пространстве Мура не зависит от ZFC.

Различные утверждения о ${\displaystyle P(\omega )/}$конечные, P-точки, Q-точки, ...

S- и L-пространства

Функциональный анализ

Дальнейшая информация: Функциональный анализ

Garth Dales и Роберт М. Соловей доказал в 1976 г., что Гипотеза Капланского, а именно, что каждый гомоморфизм алгебр от Банахова алгебра С (Х) (где Икс есть некоторые компактный Пространство Хаусдорфа ) в любую другую банахову алгебру должна быть непрерывной, не зависящей от ZFC. CH означает, что для любого бесконечного Икс существует разрывный гомоморфизм в любую банахову алгебру.^[19]

Рассмотрим алгебру B(ЧАС) из ограниченные линейные операторы на бесконечномерных отделяемый Гильбертово пространство ЧАС. В компактные операторы сформировать двусторонний идеал в B(ЧАС). Вопрос о том, является ли этот идеал суммой двух более мелких идеалов, не зависит от ZFC, как было доказано Андреас Бласс и Сахарон Шелах в 1987 г.^[20]

Чарльз Акеманн и Ник Уивер показал в 2003 г., что утверждение "существует контрпример к Проблема Наймарка который порождается ℵ₁, elements "не зависит от ZFC.

Мирослав Бачак и Петр Гайек в 2008 г. доказал, что утверждение "каждый Пространство Асплунда плотностного характера ω₁ имеет ренорминг с Мазурский перекресток собственности "не зависит от ZFC. Результат отображается с помощью Максимум Мартина аксиома, тогда как Мар Хименес и Хосе Педро Морено (1997) представили контрпример, предполагая, что CH.

Как показано Илияс Фарах^[21] и Н. Кристофер Филлипс и Ник Уивер,^[22] существование внешних автоморфизмов Калкина алгебра зависит от теоретико-множественных предположений за пределами ZFC.

Теория моделей

Дальнейшая информация: Теория моделей

Гипотеза Чанга не зависит от ZFC при условии согласованности Кардинал Эрдёша.

Теория вычислимости

Дальнейшая информация: Теория вычислимости

Марсия Грошек и Теодор Сламан привел примеры независимых от ZFC утверждений относительно структуры степеней Тьюринга. В частности, существует ли максимально независимый набор степеней размера меньше континуума.^[23]

использованная литература

1. Кунен, Кеннет (1980). Теория множеств: введение в доказательства независимости. Эльзевир. ISBN  0-444-86839-9.
2. Баумгартнер, Дж., Все ${\displaystyle \aleph _{1}}$-плотные множества вещественных чисел могут быть изоморфными, Fund. Математика. 79, стр.101 - 106, 1973.
3. Solovay, R.M .; Тенненбаум, С. (1971). «Итерированные расширения Коэна и проблема Суслина». Анналы математики. Вторая серия. 94 (2): 201–245. Дои:10.2307/1970860. JSTOR  1970860.
4. Баумгартнер, Дж., Дж. Малиц и В. Рейхарт, Вложение деревьев в рациональные числа, Proc. Natl. Акад. Sci. США, 67, стр. 1746 - 1753, 1970.
5. Шелах, С., Свободные ограничения принуждения и многое другое для деревьев Ароншайн, Израильский математический журнал, 40, стр. 1 - 32, 1971
6. Девлин К. и Х. Джонсбратен, Проблема Суслина, Лекционные заметки по математике 405, Springer, 1974
7. Сильвер Дж. Независимость гипотезы Курепы и двух кардинальных гипотез в теории моделей // Аксиоматическая теория множеств, Proc. Symp, in Pure Mathematics (13), стр. 383 - 390, 1967.
8. Шелах, С., Правильное и неправильное принуждение, Springer 1992
9. Schlindwein, Chaz, Shelah's work on non-seproper iterations I, Archive for Mathematical Logic (47) 2008 pp. 579-606
10. Schlindwein, Chaz, Shelah's work on non-semiroper iterations II, Journal of Symbolic Logic (66) 2001, стр. 1865 - 1883
11. Шелах, С. (1974). «Бесконечные абелевы группы, проблема Уайтхеда и некоторые конструкции». Израильский математический журнал. 18 (3): 243–256. Дои:10.1007 / BF02757281. Г-Н  0357114.
12. Шелах, С., Группы Уайтхеда могут оказаться несвободными, даже если предположить, что CH I, Израильский журнал математики (28) 1972 г.
13. Шелах, С., Группы Уайтхеда могут оказаться несвободными, даже если предположить, что CH II, Израильский журнал математики (350, 1980)
14. Барбара Л. Ософски (1968). «Гомологическое измерение и гипотеза континуума» (PDF). Труды Американского математического общества. 132: 217–230. Дои:10.1090 / с0002-9947-1968-0224606-4.
15. Барбара Л. Ософски (1973). Гомологические размерности модулей. American Mathematical Soc. п. 60. ISBN  9780821816622.
16. См. Например:
    • Джеймс П. Джонс (1980). «Неразрешимые диофантовы уравнения». Бык. Амер. Математика. Soc. 3 (2): 859–862. Дои:10.1090 / s0273-0979-1980-14832-6.
    • Carl, M .; Мороз, Б. (2014). «О диофантовом представлении предиката доказуемости». Журнал математических наук. 199 (199): 36–52. Дои:10.1007 / s10958-014-1830-2. HDL:21.11116 / 0000-0004-1E89-1.
    Краткое изложение аргументов см. Десятая проблема Гильберта § Приложения.
17. Фридман, Харви (1980). «Согласованная теорема Фубини-Тонелли для неизмеримых функций». Иллинойс Дж. Математика. 24 (3): 390–395. Дои:10.1215 / ijm / 1256047607. Г-Н  0573474.
18. Фрайлинг, Крис (1986). «Аксиомы симметрии: метание дротиков по прямой». Журнал символической логики. 51 (1): 190–200. Дои:10.2307/2273955. JSTOR  2273955. Г-Н  0830085.
19. Х. Г. Дейлз, В. Х. Вудин (1987). Введение в независимость для аналитиков.
20. Джудит Ройтман (1992). «Использование теории множеств». Математический интеллигент. 14 (1).
21. Фарах, Илияс (2007). «Все автоморфизмы алгебры Калкина внутренние». arXiv:0705.3085 [math.OA ].
22. Phillips, N.C .; Уивер, Н. (2007). «Алгебра Калкина имеет внешние автоморфизмы». Математический журнал герцога. 139 (1): 185–202. arXiv:математика / 0606594. Дои:10.1215 / S0012-7094-07-13915-2.
23. Грошек, Марсия Дж.; Сламан, Т. (1983). «Независимость результатов от глобальной структуры степеней Тьюринга». Труды Американского математического общества. 277 (2): 579. Дои:10.2307/1999225. JSTOR  1999225.

внешние ссылки

• Какие разумно звучащие утверждения не зависят от ZFC?, mathoverflow.net