MV-алгебра - MV-algebra

В абстрактная алгебра, ветвь чистой математика, MV-алгебра является алгебраическая структура с бинарная операция ${\displaystyle \oplus }$, а унарная операция ${\displaystyle \neg }$, а постоянная ${\displaystyle 0}$, удовлетворяющие определенным аксиомам. MV-алгебры - это алгебраическая семантика из Логика лукасевича; буквы MV относятся к многозначный логика из Лукасевич. MV-алгебры совпадают с классом ограниченных коммутативных BCK алгебры.

Определения

An MV-алгебра является алгебраическая структура ${\displaystyle \langle A,\oplus ,\lnot ,0\rangle ,}$ состоящий из

• а непустой набор ${\displaystyle A,}$
• а бинарная операция ${\displaystyle \oplus }$ на ${\displaystyle A,}$
• а унарная операция ${\displaystyle \lnot }$ на ${\displaystyle A,}$ и
• постоянный ${\displaystyle 0}$ обозначающий фиксированный элемент из ${\displaystyle A,}$

который удовлетворяет следующему идентичности:

• ${\displaystyle (x\oplus y)\oplus z=x\oplus (y\oplus z),}$
• ${\displaystyle x\oplus 0=x,}$
• ${\displaystyle x\oplus y=y\oplus x,}$
• ${\displaystyle \lnot \lnot x=x,}$
• ${\displaystyle x\oplus \lnot 0=\lnot 0,}$ и
• ${\displaystyle \lnot (\lnot x\oplus y)\oplus y=\lnot (\lnot y\oplus x)\oplus x.}$

В силу первых трех аксиом ${\displaystyle \langle A,\oplus ,0\rangle }$ коммутативный моноид. Определяясь тождествами, MV-алгебры образуют разнообразие алгебр. Многообразие MV-алгебр является подмногообразием многообразия BL -алгебр и содержит все Булевы алгебры.

MV-алгебру эквивалентно можно определить (Hájek, 1998) как предлинейный коммутативный ограниченный интеграл остаточная решетка ${\displaystyle \langle L,\wedge ,\vee ,\otimes ,\rightarrow ,0,1\rangle }$ удовлетворение дополнительной идентичности ${\displaystyle x\vee y=(x\rightarrow y)\rightarrow y.}$

Примеры MV-алгебр

Простой числовой пример: ${\displaystyle A=[0,1],}$ с операциями ${\displaystyle x\oplus y=\min(x+y,1)}$ и ${\displaystyle \lnot x=1-x.}$ В математической нечеткой логике эта MV-алгебра называется стандартная MV-алгебра, поскольку он формирует стандартную вещественную семантику Логика лукасевича.

В банальный MV-алгебра имеет единственный элемент 0 и операции определены единственным возможным способом, ${\displaystyle 0\oplus 0=0}$ и ${\displaystyle \lnot 0=0.}$

В двухэлементный MV-алгебра на самом деле двухэлементная булева алгебра ${\displaystyle \{0,1\},}$ с ${\displaystyle \oplus }$ совпадающая с булевой дизъюнкцией и ${\displaystyle \lnot }$ с логическим отрицанием. Фактически добавляя аксиому ${\displaystyle x\oplus x=x}$ к аксиомам, определяющим MV-алгебру, приводит к аксиоматизации булевых алгебр.

Если вместо этого добавлена ​​аксиома ${\displaystyle x\oplus x\oplus x=x\oplus x}$, то аксиомы определяют MV₃ алгебра, соответствующая трехзначной логике Лукасевича Ł₃^{[нужна цитата ]}. Другие конечные линейно упорядоченные MV-алгебры получаются путем ограничения универсума и операций стандартной MV-алгебры на множество ${\displaystyle n}$ равноудаленные действительные числа от 0 до 1 (оба включены), то есть набор ${\displaystyle \{0,1/(n-1),2/(n-1),\dots ,1\},}$ который закрыт по операциям ${\displaystyle \oplus }$ и ${\displaystyle \lnot }$ стандартной MV-алгебры; эти алгебры обычно обозначают MV_п.

Другой важный пример: MV-алгебра Чанга, состоящий просто из бесконечно малых (с тип заказа ω) и их ко-бесконечно малые.

Чанг также построил MV-алгебру из произвольного полностью упорядоченная абелева группа грамм закрепив положительный элемент ты и определяя отрезок [0, ты] в качестве { Икс ∈ грамм | 0 ≤ Икс ≤ ты }, которая становится MV-алгеброй с Икс ⊕ у = мин (ты, Икс + у) и ¬Икс = ты − Икс. Более того, Чанг показал, что любая линейно упорядоченная MV-алгебра изоморфна MV-алгебре, построенной таким образом из группы.

Д. Мундичи распространил приведенную выше конструкцию на абелеву решеточно-упорядоченные группы. Если грамм такая группа с сильной (порядковой) единицей ты, то "единичный интервал" { Икс ∈ грамм | 0 ≤ Икс ≤ ты } может быть оборудован ¬Икс = ты − Икс, Икс ⊕ у = ты ∧_грамм (x + y) и Икс ⊗ у = 0 ∨_грамм (Икс + у − ты). Эта конструкция устанавливает категориальная эквивалентность между решеточно упорядоченными абелевыми группами с сильной единицей и MV-алгебрами.

An алгебра эффектов который упорядочен на решетке и имеет Свойство разложения Рисса является MV-алгеброй. Наоборот, любая MV-алгебра является решеточно упорядоченной алгеброй эффектов со свойством разложения Рисса.^[1]

Отношение к логике Лукасевича

К. С. Чанг разработал MV-алгебры для изучения многозначная логика, представлен Ян Лукасевич в 1920 г. В частности, MV-алгебры образуют алгебраическая семантика из Логика лукасевича, как описано ниже.

Для MV-алгебры А, А-оценка это гомоморфизм из алгебры пропозициональные формулы (на языке, состоящем из ${\displaystyle \oplus ,\lnot ,}$ и 0) в А. Формулы отображаются в 1 (то есть в ${\displaystyle \lnot }$0) для всех А-оценки называются А-тавтологии. Если используется стандартная MV-алгебра над [0,1], то множество всех [0,1] -таутологий определяет так называемые бесконечнозначные Логика лукасевича.

Теорема Чанга (1958, 1959) о полноте утверждает, что любое уравнение MV-алгебры, выполняемое в стандартной MV-алгебре на интервале [0,1], будет выполняться в любой MV-алгебре. Алгебраически это означает, что стандартная MV-алгебра порождает многообразие всех MV-алгебр. Аналогично, теорема Чанга о полноте утверждает, что MV-алгебры характеризуют бесконечнозначные Логика лукасевича, определяемый как набор [0,1] -таутологий.

То, как [0,1] MV-алгебра характеризует все возможные MV-алгебры, соответствует хорошо известному факту, что тождества, выполняемые в двухэлементная булева алгебра выполняются во всех возможных булевых алгебрах. Более того, MV-алгебры характеризуют бесконечнозначные Логика лукасевича аналогично тому, как Булевы алгебры охарактеризовать классический бивалентная логика (увидеть Алгебра Линденбаума – Тарского ).

В 1984 году Фонт, Родригес и Торренс представили Алгебра Вайсберга как альтернативная модель для бесконечнозначной логики Лукасевича. Алгебры Вайсберга и MV-алгебры термоэквивалентны.^[2]

MV_п-алгебры

В 1940-е годы Григоре Моисил представил свой Алгебры Лукасевича – Мойсила (LM_п-алгебры) в надежде дать алгебраическая семантика для (конечно) п-ценный Логика лукасевича. Однако в 1956 году Алан Роуз обнаружил, что для п ≥ 5, алгебра Лукасевича – Мойсила не модель Лукасевичи п-значная логика. Хотя Ч. Чанг опубликовал свою MV-алгебру в 1958 году, она является точной моделью только для ℵ₀-значный (бесконечно многозначный) Логика Лукасевича – Тарского. Для аксиоматически более сложного (конечно) п-значные логики Лукасевича, подходящие алгебры были опубликованы в 1977 г. Реваз Григолия и назвал MV_п-алгебры.^[3] MV_п-алгебры являются подклассом LM_п-алгебры; включение строгое для п ≥ 5.^[4]

MV_п-алгебры - это MV-алгебры, которые удовлетворяют некоторым дополнительным аксиомам, как и п-значные логики Лукасевича имеют дополнительные аксиомы, добавленные к ℵ₀-значная логика.

В 1982 г. Роберто Чиньоли опубликовал некоторые дополнительные ограничения, добавленные в LM_п-алгебры дают подходящие модели для п-значная логика Лукасевича; Чиньоли назвал свое открытие собственные n-значные алгебры Лукасевича.^[5] LM_п-алгебры, которые также являются MV_п-алгебры в точности принадлежат Чиньоли п-значные алгебры Лукасевича.^[6]

Отношение к функциональному анализу

MV-алгебры были связаны Даниэле Мундичи к приближенно конечномерные C * -алгебры путем установления биективного соответствия между всеми классами изоморфизма приближенно конечномерных C * -алгебр с решеточно упорядоченной группой размерностей и всеми классами изоморфизмов счетных алгебр MV. Некоторые примеры этой корреспонденции включают:

Счетная алгебра М.В.	приближенно конечномерная C * -алгебра
{0, 1}	ℂ
{0, 1/п, ..., 1 }	Mп(ℂ), т.е. п×п комплексные матрицы
конечный	конечномерный
логический	коммутативный

В программном обеспечении

Дальнейшая информация: Многосопряженное логическое программирование

Существует несколько фреймворков, реализующих нечеткую логику (тип II), и большинство из них реализуют то, что называется многосопряженная логика. Это не более чем реализация MV-алгебры.

Рекомендации

1. Фулис, Д. Дж. (2000-10-01). "М.В. и алгебры эффекта Гейтинга". Основы физики. 30 (10): 1687–1706. Дои:10.1023 / А: 1026454318245. ISSN  1572-9516. S2CID  116763476.
2. "со ссылкой на Дж. М. Фонта, А. Дж. Родригеса, А. Торренса," Алгебры Вайсберга ", Стохастика, VIII, 1, 5-31, 1984 " (PDF). Архивировано из оригинал (PDF) на 2014-08-10. Получено 2014-08-21.
3. Лавиния Корина Чунгу (2013). Некоммутативные многозначные логические алгебры. Springer. стр. vii – viii. ISBN  978-3-319-01589-7.
4. Иоргулеску, А .: Связь между МВ_п-алгебры и п-значные алгебры Лукасевича – Мойсила —I. Дискретная математика. 181, 155–177 (1998) Дои:10.1016 / S0012-365X (97) 00052-6
5. Р. Чиньоли, Собственные n-значные алгебры Лукасевича как S-алгебры Лукасевича п-Значенные исчисления высказываний, Studia Logica, 41, 1982, 3-16, Дои:10.1007 / BF00373490
6. «Архивная копия» (PDF). Архивировано из оригинал (PDF) на 2014-08-10. Получено 2014-08-21.

• Чанг, К. С. (1958) "Алгебраический анализ многозначных логик", Труды Американского математического общества 88: 476–490.
• ------ (1959) «Новое доказательство полноты аксиом Лукасевича», Труды Американского математического общества 88: 74–80.
• Чиньоли, Р. Л. О., Д'Отавиано, И. М. Л., Мундичи, Д. (2000) Алгебраические основы многозначного мышления. Kluwer.
• Ди Нола А., Леттьери А. (1993) "Уравнительная характеризация всех многообразий MV-алгебр", Журнал алгебры 221: 463–474 Дои: 10.1006 / jabr.1999.7900.
• Гайек, Петр (1998) Метаматематика нечеткой логики. Kluwer.
• Мундичи, Д .: Интерпретация AF C * -алгебр в сентенциальном исчислении Лукасевича. J. Funct. Анальный. 65, 15–63 (1986) Дои:10.1016/0022-1236(86)90015-7

дальнейшее чтение

• Даниэле Мундичи, MV-АЛГЕБРЫ. Краткое руководство
• Д. Мундичи (2011). Расширенное исчисление Лукасевича и MV-алгебры. Springer. ISBN  978-94-007-0839-6.
• Мундичи, Д. C * -алгебры трехзначной логики. Логический коллоквиум '88, Труды коллоквиума, проведенного в Падуе 61–77 (1989). Дои:10.1016 / s0049-237x (08) 70262-3
• Кабрер, Л. М. и Мундичи, Д. Теорема Стоуна-Вейерштрасса для MV-алгебр и унитальных ℓ-групп. Журнал логики и вычислений (2014). Дои:10.1093 / logcom / exu023
• Оливия Карамелло, Анна Карла Руссо (2014) Морита-эквивалентность между MV-алгебрами и абелевыми ℓ-группами с сильной единицей

внешняя ссылка

• Стэнфордская энциклопедия философии: "Многозначная логика "-к Зигфрид Готвальд.