Мазурский коллектор - Mazur manifold

В дифференциальная топология, раздел математики, Мазурский коллектор договорная, компактный, гладкая четырехмерная многообразие (с границей), который не диффеоморфный к стандарту 4 мяча. Край многообразия Мазура обязательно является гомология 3-сфера.

Часто термин Мазурский коллектор ограничивается специальным классом приведенного выше определения: 4-многообразиями, имеющими обрабатывать разложение содержит ровно три ручки: одну 0-ручку, одну 1-ручку и одну 2-ручку. Это эквивалентно тому, что многообразие должно иметь вид ${\displaystyle S^{1}\times D^{3}}$ штуцер с двумя ручками. Наблюдение Мазура показывает, что двойной таких многообразий есть диффеоморфный к ${\displaystyle S^{4}}$ со стандартной гладкой структурой.

История

Барри Мазур^[1] и Валентин Поэнару^[2] открыли эти многообразия одновременно. Акбулут и Кирби показали, что Гомологические сферы Брискорна ${\displaystyle \Sigma (2,5,7)}$, ${\displaystyle \Sigma (3,4,5)}$ и ${\displaystyle \Sigma (2,3,13)}$ являются границами многообразий Мазура.^[3] Позднее эти результаты были обобщены на другие стягиваемые многообразия Кассоном, Харером и Стерном.^[4][5][6] Одно из многообразий Мазура также является примером Акбулут пробка которые можно использовать для построения экзотических 4-многообразий.^[7]

Многообразия Мазура использовались Финтушелем и Штерном.^[8] построить экзотические действия группы порядка 2 на 4-сфера.

Открытие Мазура было неожиданным по нескольким причинам:

• Каждая гладкая гомологическая сфера в размерности ${\displaystyle n\geq 5}$ гомеоморфно краю компактного стягиваемого гладкого многообразия. Это следует из работы Кервера.^[9] и h-кобордизм теорема. Чуть сильнее всякая гладкая гомологическая 4-сфера диффеоморфна границе компактного стягиваемого гладкого 5-многообразия (также по работе Кервера). Но не всякая гомологическая 3-сфера диффеоморфна краю стягиваемого компактного гладкого 4-многообразия. Например, Сфера гомологии Пуанкаре не ограничивает такое 4-многообразие, поскольку Инвариант Рохлина создает препятствие.

• В Теорема о h-кобордизме означает, что, по крайней мере, в размерах ${\displaystyle n\geq 6}$ есть уникальный контрактный ${\displaystyle n}$-многообразие с односвязным краем, единственность которого с точностью до диффеоморфизма. Это многообразие - единичный шар ${\displaystyle D^{n}}$. Остается открытым вопрос, действительно ли ${\displaystyle D^{5}}$ допускает экзотическую гладкую структуру, но по теореме о h-кобордизме такая экзотическая гладкая структура, если она существует, должна ограничиваться экзотической гладкой структурой на ${\displaystyle S^{4}}$. Так или иначе ${\displaystyle S^{4}}$ допускает экзотическую гладкую структуру, эквивалентную другой открытой проблеме, гладкой Гипотеза Пуанкаре в размерности четыре. Так или иначе ${\displaystyle D^{4}}$ признает, что экзотическая гладкая структура - еще одна открытая проблема, тесно связанная с Проблема Шенфлиса в четвертом измерении.

Наблюдение Мазура

Позволять ${\displaystyle M}$ - многообразие Мазура, построенное как ${\displaystyle S^{1}\times D^{3}}$ штуцер с двумя ручками. Вот набросок аргумента Мазура о том, что двойной такого многообразия Мазура является ${\displaystyle S^{4}}$. ${\displaystyle M\times [0,1]}$ стягиваемое 5-многообразие, построенное как ${\displaystyle S^{1}\times D^{4}}$ штуцер с двумя ручками. 2-ручку можно не завязать, так как присоединяющая карта представляет собой оснащенный узел в 4-многообразии ${\displaystyle S^{1}\times S^{3}}$. Так ${\displaystyle S^{1}\times D^{4}}$ объединение 2-ручки диффеоморфно ${\displaystyle D^{5}}$. Граница ${\displaystyle D^{5}}$ является ${\displaystyle S^{4}}$. Но граница ${\displaystyle M\times [0,1]}$ это двойной из ${\displaystyle M}$.

Рекомендации

1. Мазур, Барри (1961). «Замечание о некоторых стягиваемых 4-многообразиях». Анна. математики. 73 (1): 221–228. Дои:10.2307/1970288. JSTOR  1970288. МИСТЕР  0125574.
2. Поэнару, Валентин (1960). "Разложение гиперкуба в топологии продукта". Бык. Soc. Математика. Франция. 88: 113–129. Дои:10.24033 / bsmf.1546. МИСТЕР  0125572.
3. Акбулут, Сельман; Кирби, Робион (1979). «Мазурские многообразия». Michigan Math. J. 26 (3): 259–284. Дои:10,1307 / мм / 1029002261. МИСТЕР  0544597.
4. Кассон, Эндрю; Харер, Джон Л. (1981). «Некоторые гомологические линзовые пространства, ограничивающие шары рациональных гомологий». Pacific J. Math. 96 (1): 23–36. Дои:10.2140 / pjm.1981.96.23. МИСТЕР  0634760.
5. Непостоянный, Генри Клей (1984). «Узлы, Z-гомологии 3-сферы и стягиваемые 4-многообразия». Хьюстон Дж. Математика. 10 (4): 467–493. МИСТЕР  0774711.
6. Р. Стерн (1978). «Некоторые сферы Брискорна, ограничивающие стягиваемые многообразия». Замечает амер. Математика. Soc. 25.
7. Акбулут, Сельман (1991). «Поддельный компактный стягиваемый 4-х многообразие». J. Differential Geom. 33 (2): 335–356. Дои:10.4310 / jdg / 1214446320. МИСТЕР  1094459.
8. Финтушел, Рональд; Стерн, Рональд Дж. (1981). "Экзотическая свободная инволюция на ${\displaystyle S^{4}}$". Анна. математики. 113 (2): 357–365. Дои:10.2307/2006987. JSTOR  2006987. МИСТЕР  0607896.
9. Кервер, Мишель А. (1969). «Гладкие гомологические сферы и их фундаментальные группы». Пер. Амер. Математика. Soc. 144: 67–72. Дои:10.1090 / S0002-9947-1969-0253347-3. МИСТЕР  0253347.

• Рольфсен, Дейл (1990), Узлы и ссылки. Исправленное перепечатание оригинала 1976 года., Серия лекций по математике, 7, Хьюстон, Техас: Publish or Perish, Inc., стр. 355–357, глава 11E, ISBN  0-914098-16-0, МИСТЕР  1277811