Нильрадикал кольца - Nilradical of a ring

В алгебра, то нильрадикал из коммутативное кольцо это идеальный состоящий из нильпотентные элементы кольца,

${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{R}=\lbrace f\in R\mid f^{m}=0{\text{ for some }}m\in \mathbb {Z} _{>0}\rbrace .}$

В случае некоммутативного кольца то же определение не всегда работает. Это привело к появлению нескольких радикалов, по-разному обобщающих коммутативный случай. См. Статью "радикал кольца "подробнее об этом.

В нильрадикал алгебры Ли аналогично определяется для Алгебры Ли.

Коммутативные кольца

Нильрадикалом коммутативного кольца называется множество всех нильпотентные элементы в кольце, или, что то же самое, радикальный нулевого идеала. Это идеал, потому что сумма любых двух нильпотентных элементов нильпотентна (по биномиальная формула ), и произведение любого элемента на нильпотентный элемент нильпотентно (по коммутативности). Его также можно охарактеризовать как пересечение всех главные идеалы кольца (фактически, это пересечение всех минимальные простые идеалы ).

Предложение: Позволять ${\displaystyle R}$ коммутативное кольцо, ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{R}=\bigcap _{{\mathfrak {p}}\varsubsetneq R{\text{ prime}}}{\mathfrak {p}}.}$

Доказательство. Позволять ${\displaystyle r\in {\mathfrak {N}}_{R}}$ и ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ быть первичным идеалом, тогда ${\displaystyle r^{n}=0}$ для некоторых ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} _{>0}}$. Таким образом

${\displaystyle r^{n}=r\cdot r^{n-1}=0\in {\mathfrak {p}},{\text{ since }}{\mathfrak {p}}{\text{ is an ideal,}}}$

что подразумевает ${\displaystyle r\in {\mathfrak {p}}}$ или же ${\displaystyle r^{n-1}\in {\mathfrak {p}}}$. Во втором случае предположим ${\displaystyle r^{m}\in {\mathfrak {p}}}$ для некоторых ${\displaystyle m\leq n-1}$, тогда ${\displaystyle r^{m}=r\cdot r^{m-1}\in {\mathfrak {p}}}$ таким образом ${\displaystyle r\in {\mathfrak {p}}}$ или же ${\displaystyle r^{m-1}\in {\mathfrak {p}}}$ и индукцией по ${\displaystyle m\geq 1}$, мы заключаем ${\displaystyle r^{m}\in {\mathfrak {p}},\,\forall m:0<m\leq n-1}$, особенно ${\displaystyle r\in {\mathfrak {p}}}$. Следовательно ${\displaystyle r}$ содержится в любом простом идеале и ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{R}\subseteq \bigcap _{{\mathfrak {p}}\varsubsetneq R{\text{ prime}}}{\mathfrak {p}}}$.

Наоборот, мы предполагаем ${\displaystyle f\notin {\mathfrak {N}}_{R}}$ и рассмотрим множество

${\displaystyle \Sigma :=\lbrace J\subseteq R\mid J{\text{ is an ideal and }}f^{m}\notin J{\text{ for all }}m\in \mathbb {Z} _{>0}\rbrace }$

который действительно непустой ${\displaystyle (0)\in \Sigma }$. ${\displaystyle \Sigma }$ частично заказан ${\displaystyle \subseteq }$ и любая цепочка ${\displaystyle J_{1}\subseteq J_{2}\subseteq \dots }$ имеет верхнюю границу ${\displaystyle J=\cup _{i\geq 1}J_{i}\in \Sigma }$, в самом деле: ${\displaystyle J}$ это идеал^{[Примечание 1]} и если ${\displaystyle f^{m}\in J}$ для некоторых ${\displaystyle m}$ тогда ${\displaystyle f^{m}\in J_{l}}$ для некоторых ${\displaystyle l}$, что невозможно, поскольку ${\displaystyle J_{l}\in \Sigma }$; таким образом, любая цепочка в ${\displaystyle \Sigma \neq \emptyset }$ имеет верхнюю границу, и мы можем применить Лемма Цорна: существует максимальный элемент ${\displaystyle {\mathfrak {m}}\in \Sigma }$. Нам нужно доказать, что ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ простой идеал: пусть ${\displaystyle g,h\notin {\mathfrak {m}},gh\in {\mathfrak {m}}}$, тогда ${\displaystyle {\mathfrak {m}}\varsubsetneq {\mathfrak {m}}+(g),{\mathfrak {m}}+(h)\notin \Sigma }$ поскольку ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ максимально в ${\displaystyle \Sigma }$, то есть существуют ${\displaystyle r,s\in \mathbb {Z} _{>0}}$ такой, что ${\displaystyle f^{r}\in {\mathfrak {m}}+(g),f^{s}\in {\mathfrak {m}}+(h)}$, но потом ${\displaystyle f^{r}f^{s}=f^{r+s}\in {\mathfrak {m}}+(gh)={\mathfrak {m}}\in \Sigma }$, что абсурдно. Поэтому если ${\displaystyle f\notin {\mathfrak {N}}_{R}}$, ${\displaystyle f}$ не содержится в каком-либо первичном идеале или, что то же самое, ${\displaystyle R\setminus {\mathfrak {N}}_{R}\subseteq \bigcup _{{\mathfrak {p}}\varsubsetneq R{\text{ prime}}}(R\setminus {\mathfrak {p}})}$ и наконец ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{R}\supseteq \bigcap _{{\mathfrak {p}}\varsubsetneq R{\text{ prime}}}{\mathfrak {p}}}$.

Кольцо называется уменьшенный если в нем нет ненулевого нильпотента. Таким образом, кольцо редуцируется тогда и только тогда, когда его нильрадикал равен нулю. Если р - произвольное коммутативное кольцо, то его фактор по нильрадикалу является редуцированным кольцом и обозначается через ${\displaystyle R_{\text{red}}}$.

Поскольку каждый максимальный идеал является простым идеалом, Радикал Якобсона - который является пересечением максимальных идеалов - должен содержать нильрадикал. Кольцо р называется Кольцо Jacobson если нильрадикал и радикал Якобсона р/п совпадают для всех простых идеалов п из р. An Артинианское кольцо является якобсоновским, а его нильрадикал - максимальный нильпотентный идеал кольца. В общем случае, если нильрадикал конечно порожден (например, кольцо нетерово), то он нильпотентный.

Некоммутативные кольца

Дальнейшая информация: Радикал кольца

Для некоммутативных колец существует несколько аналогов нильрадикала. Нижний нильрадикал (или Баер –Радикал Маккойа, или первичный радикал) является аналогом радикала нулевого идеала и определяется как пересечение первичных идеалов кольца. Аналогом множества всех нильпотентных элементов является верхний нильрадикал, который определяется как идеал, порожденный всеми ниль-идеалами кольца, которое само является ниль-идеалом. Само множество всех нильпотентных элементов не обязательно должно быть идеалом (или даже подгруппой), поэтому верхний нильрадикал может быть намного меньше этого множества. Радикал Левицки находится посередине и определяется как наибольший локально нильпотентный идеал. Как и в коммутативном случае, когда кольцо артиново, радикал Левицки нильпотентен и, следовательно, является единственным наибольшим нильпотентным идеалом. В самом деле, если кольцо является просто нётеровым, то нижний, верхний и левицкий радикалы нильпотентны и совпадают, что позволяет определить нильрадикал любого нётерова кольца как единственный наибольший (левый, правый или двусторонний) нильпотентный идеал кольца. кольцо.

Рекомендации

• Эйзенбуд, Дэвид, "Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии", Тексты для выпускников по математике, 150, Springer-Verlag, 1995, ISBN  0-387-94268-8.
• Лам, Цит-Юэн (2001), Первый курс в некоммутативных кольцах (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-95325-0, МИСТЕР  1838439

Примечания

1. См. Пример приложения в Лемма Цорна.