Интегральное преобразование вероятности - Probability integral transform

В теория вероятности, то интегральное преобразование вероятности (также известный как универсальность униформы) относится к результату, что значения данных, моделируемые как случайные переменные из любого данного непрерывное распространение можно преобразовать в случайные величины, имеющие стандартное равномерное распределение.^[1] Это верно при условии, что используемое распределение является истинным распределением случайных величин; если распределение соответствует данным, результат будет сохраняться приблизительно в больших выборках.

Результат иногда модифицируется или расширяется так, что результатом преобразования является стандартное распределение, отличное от равномерного распределения, например экспоненциальное распределение.

Приложения

Одно использование для интегрального преобразования вероятности в статистической анализ данных состоит в том, чтобы обеспечить основу для проверки того, можно ли разумно смоделировать набор наблюдений как результат определенного распределения. В частности, интегральное преобразование вероятности применяется для построения эквивалентного набора значений, а затем выполняется проверка того, подходит ли равномерное распределение для созданного набора данных. Примеры этого: Графики P-P и Тесты Колмогорова-Смирнова.

Второе использование преобразования - в теории, связанной с связки которые являются средством определения и работы с распределениями для статистически зависимых многомерных данных. Здесь проблема определения или манипулирования совместное распределение вероятностей для набора случайных величин упрощается или уменьшается кажущаяся сложность за счет применения интегрального преобразования вероятности к каждому из компонентов, а затем работы с совместным распределением, для которого маргинальные переменные имеют равномерные распределения.

Третье использование основано на применении обратного интегрального преобразования вероятности для преобразования случайных величин из равномерного распределения в выбранное распределение: это известно как выборка с обратным преобразованием.

Заявление

Предположим, что случайная величина Икс имеет непрерывное распространение для чего кумулятивная функция распределения (CDF) является F_Икс. Тогда случайная величина Y определяется как

${displaystyle Y=F_{X}(X),,}$

имеет стандартное равномерное распределение.^[1]

Доказательство

Для любой случайной непрерывной переменной ${displaystyle X}$, определять ${displaystyle Y=F_{X}(X)}$. Потом:

${displaystyle {egin{aligned}F_{Y}(y)&=operatorname {P} (Yleq y)&=operatorname {P} (F_{X}(X)leq y)&=operatorname {P} (Xleq F_{X}^{-1}(y))&=F_{X}(F_{X}^{-1}(y))&=yend{aligned}}}$

${displaystyle F_{Y}}$ это просто CDF ${displaystyle mathrm {Uniform} (0,1)}$ случайная переменная. Таким образом, ${displaystyle Y}$ имеет равномерное распределение на интервале ${displaystyle [0,1]}$.

Примеры

В качестве наглядного примера пусть Икс случайная величина со стандартным нормальным распределением ${displaystyle {mathcal {N}}(0,1)}$. Тогда его CDF равен

${displaystyle Phi (x)={frac {1}{sqrt {2pi }}}int _{-infty }^{x}e^{-t^{2}/2},dt={frac {1}{2}}{Big [},1+operatorname {erf} {Big (}{frac {x}{sqrt {2}}}{Big )},{Big ]},quad xin mathbb {R} ,,}$

куда ${displaystyle operatorname {erf} (),}$ это функция ошибки. Тогда новая случайная величина Y, определяется Y= 桅 (Икс), распределена равномерно.

Если Икс имеет экспоненциальное распределение с единичным средним, то его CDF равен

${displaystyle F(x)=1-exp(-x),}$

и непосредственным результатом преобразования интеграла вероятностей является то, что

${displaystyle Y=1-exp(-X)}$

имеет равномерное распределение. Затем с помощью симметрии равномерного распределения можно показать, что

${displaystyle Y'=exp(-X)}$

также имеет равномерное распределение.

Смотрите также

• Выборка с обратным преобразованием

Рекомендации

1. Додж, Ю. (2006) Оксфордский словарь статистических терминов, Oxford University Press.