Теория представлений SL2 (R) - Representation theory of SL2(R)

В математика, основные результаты о неприводимых унитарные представления из Группа Ли SL (2,р) из за Гельфанд и Наймарк (1946), В. Баргманн (1947), и Хариш-Чандра (1952).

Структура комплексифицированной алгебры Ли

Выбираем основу ЧАС, Икс, Y для комплексификации алгебры Ли SL (2,р) так что iH порождает алгебру Ли компактный Подгруппа Картана K (так, в частности, унитарные представления разбиваются как сумма собственных подпространств ЧАС), и {ЧАС,Икс,Y} является сл₂-тройной, что означает, что они удовлетворяют соотношениям

{displaystyle [H, X] = 2X, quad [H, Y] = - 2Y, quad [X, Y] = H.}

Один из способов сделать это:

{displaystyle H = {egin {pmatrix} 0 & -i i & 0end {pmatrix}}}

соответствующая подгруппе K матриц

{displaystyle {egin {pmatrix} cos (heta) & - sin (heta) sin (heta) & cos (heta) end {pmatrix}}}

{displaystyle X = {1 over 2} {egin {pmatrix} 1 & i i & -1end {pmatrix}}}

{displaystyle Y = {1 over 2} {egin {pmatrix} 1 & -i -i & -1end {pmatrix}}}

В Оператор Казимира Ω определяется как

{displaystyle Omega = H ^ {2} + 1 + 2XY + 2YX.}

Он создает центр универсальная обертывающая алгебра комплексифицированной алгебры Ли SL (2,р). Элемент Казимира действует на любое неприводимое представление как умножение на некоторый комплексный скаляр μ². Таким образом, в случае алгебры Ли sl₂, то бесконечно малый символ неприводимого представления задается одним комплексным числом.

Центр Z группы SL (2,р) - циклическая группа {я,-я} порядка 2, состоящий из единичной матрицы и ее отрицательной. На любом неприводимом представлении центр действует либо тривиально, либо в силу нетривиального характера Z, который представляет собой матрицу -я умножением на -1 в пространстве представления. Соответственно, говорят о тривиальном или нетривиальном центральный персонаж.

Центральный характер и инфинитезимальный характер неприводимого представления любой редуктивной группы Ли являются важными инвариантами представления. В случае неприводимых допустимых представлений SL (2,р), оказывается, что в общем случае существует ровно одно представление с точностью до изоморфизма с указанными центральными и бесконечно малыми символами. В исключительных случаях есть два или три представления с заданными параметрами, все из которых определены.

Конечномерные представления

Для каждого неотрицательного целого числа п, группа SL (2,р) имеет неприводимое представление размерности п+1, единственное с точностью до изоморфизма. Это представление можно построить в пространстве однородных многочленов степени п в двух переменных. Дело п= 0 соответствует тривиальное представление. Неприводимое конечномерное представление некомпактного простая группа Ли размерности больше 1 никогда не бывает унитарным. Таким образом, эта конструкция дает только одно унитарное представление SL (2,р), тривиальное представление.

В конечномерный теория представлений некомпактной группы SL (2,р) эквивалентно теория представлений SU (2), его компактная форма, по существу потому, что их алгебры Ли имеют одинаковую комплексификацию и они «алгебраически односвязны». (Точнее, группа SU (2) односвязна и SL (2,р) не является, но не имеет нетривиальных центральных алгебраических расширений.) Однако в общем случае бесконечномерный В этом случае нет тесного соответствия между представлениями группы и представлениями ее алгебры Ли. Фактически, из Теорема Питера – Вейля что все неприводимые представления компактной группы Ли SU (2) конечномерны и унитарны. Ситуация с SL (2,р) совершенно другое: он обладает бесконечномерными неприводимыми представлениями, некоторые из которых унитарны, а некоторые нет.

Представления основных серий

Основным методом построения представлений редуктивной группы Ли является метод параболическая индукция. В случае группы SL (2,р), с точностью до сопряжения существует только одно собственное параболическая подгруппа, то Подгруппа Бореля верхнетреугольных матриц определителя 1. Индуцирующий параметр индуцированной представление основной серии является (возможно, неединичным) характером мультипликативной группы действительных чисел, который задается выбором ε = ± 1 и комплексного числа μ. Соответствующее представление основной серии обозначается я_{ε, μ}. Оказывается, что ε является центральным персонажем индуцированного представления, а комплексное число μ можно отождествить с бесконечно малый символ через Изоморфизм Хариш-Чандры.

Представление основной серии я_{ε, μ} (или, точнее, его модуль Хариш-Чандры K-конечные элементы) допускает базис, состоящий из элементов ш_j, где индекс j пробегает четные целые числа, если ε = 1, и нечетные целые числа, если ε = -1. Действие Икс, Y, и ЧАС дается формулами

{displaystyle H (w_ {j}) = jw_ {j}}

{displaystyle X (w_ {j}) = {mu + j + 1 over 2} w_ {j + 2}}

{displaystyle Y (w_ {j}) = {mu -j + 1 over 2} w_ {j-2}}

Допустимые представления

Используя тот факт, что он является собственным вектором оператора Казимира и имеет собственный вектор для ЧАС, легко следует, что любое неприводимое допустимое представительство является подпредставлением параболически индуцированного представления. (Это также верно для более общих редуктивных групп Ли и известно как Теорема Кассельмана о подпредставлении.) Таким образом, неприводимые допустимые представления SL (2,р) можно найти, разложив представления основных серий я_{ε, μ} на неприводимые компоненты и определяющие изоморфизмы. Мы резюмируем разложения следующим образом:

я_{ε, μ} приводимо тогда и только тогда, когда μ - целое число и ε = - (- 1)^μ. Если я_{ε, μ} неприводимо, то оно изоморфно я_{ε, −μ}.
я_{−1, 0} разбивается как прямая сумма я_{ε, 0} = D₊₀ + D₋₀ двух неприводимых представлений, называемых пределом представлений дискретной серии. D₊₀ имеет основу ш_j за j≥1, и D₋₀ имеет основу ш_j за j≤−1,
Если я_{ε, μ} приводимо с μ> 0 (поэтому ε = - (- 1)^μ), то он имеет единственный неприводимый фактор конечной размерности μ, а ядро является суммой двух представлений дискретной серии D_{+ μ} + D_−μ. Представление D_μ имеет основу ш_{μ +j} за j≥1, и D_−μ имеет основу ш_−μ−j за j≤−1.
Если я_{ε, μ} приводимо с μ <0 (поэтому ε = - (- 1)^μ), то оно имеет единственное неприводимое подпредставление, которое имеет конечную размерность -μ, а фактор - это сумма двух представлений дискретной серии D_{+ μ} + D_−μ.

Это дает следующий список неприводимых допустимых представлений:

Конечномерное представление размерности μ для каждого натурального числа μ с центральным характером - (- 1)^μ.
Два предела представлений дискретной серии D₊₀, D₋₀, с μ = 0 и нетривиальным центральным характером.
Представления дискретных серий D_μ для μ ненулевое целое число с центральным символом - (- 1)^μ.^{[сомнительный – обсудить]}
Два семейства неприводимых представлений основной серии я_{ε, μ} для ε ≠ - (- 1)^μ (куда я_{ε, μ} изоморфен я_{ε, −μ}).

Связь с классификацией Ленглендса

Согласно Классификация Ленглендса неприводимые допустимые представления параметризуются некоторыми умеренными представлениями подгрупп Леви M параболических подгрупп п=ЧЕЛОВЕК. Это работает следующим образом:

Дискретный ряд, предел дискретного ряда и представления унитарной основной серии я_{ε, μ} с мнимым μ уже закалены, поэтому в этих случаях параболическая подгруппа п SL (2,р) сам.
Конечномерные представления и представления я_{ε, μ} для ℜμ> 0, μ не целое или ε ≠ - (- 1)^μ являются неприводимыми факторами представлений основной серии я_{ε, μ} при μ> 0, индуцированные умеренными представлениями параболической подгруппы п=ЧЕЛОВЕК верхнетреугольных матриц, с А положительные диагональные матрицы и M центр порядка 2. Для положительного целого числа μ и ε = - (- 1)^μ представление основной серии имеет конечномерное представление в качестве неприводимого фактора, иначе оно уже неприводимо.

Унитарные представления

Неприводимые унитарные представления можно найти, проверив, какое из неприводимых допустимых представлений допускает инвариантную положительно определенную эрмитову форму. Это приводит к следующему списку унитарных представлений SL (2,р):

Тривиальное представление (единственное конечномерное представление в этом списке).
Два предел представлений дискретной серии D₊₀, D₋₀.
В представления дискретной серии D_k, индексируется ненулевыми целыми числами k. Все они разные.
Два семейства неприводимых представление основной серии, состоящий из сферической основной серии я_+,яμ индексируется действительными числами μ, а несферический унитарный главный ряд я_−,яμ проиндексированы ненулевыми действительными числами μ. Представление с параметром μ изоморфно представлению с параметром −μ, и между ними нет никаких дальнейших изоморфизмов.
В представления дополнительных серий я_{+, μ} для 0 <| μ | <1. Представление с параметром μ изоморфно представлению с параметром −μ, и между ними нет никаких дальнейших изоморфизмов.

Из них два предела представлений дискретных серий, представления дискретных серий и два семейства представлений основных серий: закаленный, в то время как представления тривиальной и дополнительной серий не закаляются.

Мини-курс

Видео SL (2,р) Летняя школа в Юте в июне 2006 г. представит введение уровня магистра: Домашняя страница Летней школы в Юте 2006 г..