Функция Римана Кси - Riemann Xi function

Кси-функция Римана в комплексная плоскость. Цвет точки кодирует значение функции. Более темные цвета обозначают значения, близкие к нулю, а оттенок кодирует значения аргумент.

В математика, то Функция Римана Кси это вариант Дзета-функция Римана, и определяется так, чтобы иметь особенно простой функциональное уравнение. Функция названа в честь Бернхард Риманн.

Определение

Оригинальная строчная "xi" -функция Римана, был переименован с заглавной буквы (Греческая буква «си» ) к Эдмунд Ландау. Строчные буквы Ландау ("xi") определяется как[1]

за . Здесь обозначает Дзета-функция Римана и это Гамма-функция. Функциональное уравнение (или формула отражения ) для Ландау является

Оригинальная функция Римана, переименованная в верхний регистр Ландау,[1] удовлетворяет

,

и подчиняется функциональному уравнению

Обе функции весь и чисто реально для реальных аргументов.

Значения

Общая форма положительных четных целых чисел:

куда Bп обозначает пЧисло Бернулли. Например:

Представления серий

В функция имеет расширение в ряд

куда

где сумма продолжается по ρ, нетривиальным нулям дзета-функции, в порядке .

Это расширение играет особенно важную роль в Критерий Ли, в котором говорится, что Гипотеза Римана равносильно тому, что λп > 0 для всех положительных п.

Произведение Адамара

Простой бесконечный продукт расширение

где ρ пробегает корни ξ.

Чтобы гарантировать сходимость в разложении, произведение должно быть взято по «совпадающим парам» нулей, т.е. множители для пары нулей вида ρ и 1 − ρ должны быть сгруппированы вместе.

Рекомендации

  1. ^ а б Ландау, Эдмунд (1974) [1909]. Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen [Справочник по изучению распределения простых чисел] (Третье изд.). Нью-Йорк: Челси. §70-71 и стр. 894.

Дальнейшие ссылки

В этой статье использован материал из функции Римана по PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.