Норма Шаттена - Schatten norm

В математика, конкретно функциональный анализ, то Schatten норма (или же Норма Шаттена-фон-Неймана) возникает как обобщение п-интегрируемость аналогична класс трассировки норма и Гильберта-Шмидта норма.

Определение

Позволять ${displaystyle H_{1}}$, ${displaystyle H_{2}}$ - гильбертовы пространства, а ${displaystyle T}$ (линейный) ограниченный оператор из ${displaystyle H_{1}}$ к ${displaystyle H_{2}}$. За ${displaystyle pin [1,infty )}$, определим p-норму Шаттена ${displaystyle T}$ в качестве

${displaystyle |T|_{p}=mathrm {Tr} (|T|^{p})^{frac {1}{p}}.}$

Если ${displaystyle T}$ компактный и ${displaystyle H_{1},,H_{2}}$ отделимы, то

${displaystyle |T|_{p}:={igg (}sum _{ngeq 1}s_{n}^{p}(T){igg )}^{1/p}}$

за ${displaystyle s_{1}(T)geq s_{2}(T)geq cdots s_{n}(T)geq cdots geq 0}$то сингулярные значения из ${displaystyle T}$, т.е. собственные значения эрмитова оператора ${displaystyle |T|:={sqrt {(T^{*}T)}}}$.

Характеристики

В дальнейшем мы формально расширяем диапазон ${displaystyle p}$ к ${displaystyle [1,infty ]}$ с условием, что ${displaystyle |cdot |_{infty }}$ - операторная норма. Двойной индекс к ${displaystyle p=infty }$ затем ${displaystyle q=1}$.

• Нормы Шаттена унитарно инвариантны: для унитарных операторов ${displaystyle U}$ и ${displaystyle V}$ и ${displaystyle pin [1,infty ]}$,

${displaystyle |UTV|_{p}=|T|_{p}.}$

• Они удовлетворяют Неравенство Гёльдера: для всех ${displaystyle pin [1,infty ]}$ и ${displaystyle q}$ такой, что ${displaystyle {frac {1}{p}}+{frac {1}{q}}=1}$, и операторы ${displaystyle Sin {mathcal {L}}(H_{2},H_{3}),Tin {mathcal {L}}(H_{1},H_{2})}$ определены между гильбертовыми пространствами ${displaystyle H_{1},H_{2},}$ и ${displaystyle H_{3}}$ соответственно,

${displaystyle |ST|_{1}leq |S|_{p}|T|_{q}.}$

(Для матриц это можно обобщить на ${displaystyle |ST|_{r}leq |S|_{p}|T|_{q}}$ за ${displaystyle { frac {1}{r}}={ frac {1}{p}}+{ frac {1}{q}}}$.^[1])

• Субмультипликативность: для всех ${displaystyle pin [1,infty ]}$ и операторы ${displaystyle Sin {mathcal {L}}(H_{2},H_{3}),Tin {mathcal {L}}(H_{1},H_{2})}$ определены между гильбертовыми пространствами ${displaystyle H_{1},H_{2},}$ и ${displaystyle H_{3}}$ соответственно,

${displaystyle |ST|_{p}leq |S|_{p}|T|_{p}.}$

• Монотонность: Для ${displaystyle 1leq pleq p'leq infty }$,

${displaystyle |T|_{1}geq |T|_{p}geq |T|_{p'}geq |T|_{infty }.}$

• Двойственность: Пусть ${displaystyle H_{1},H_{2}}$ - конечномерные гильбертовы пространства, ${displaystyle pin [1,infty ]}$ и ${displaystyle q}$ такой, что ${displaystyle {frac {1}{p}}+{frac {1}{q}}=1}$, тогда

${displaystyle |S|_{p}=sup lbrace |langle S,Tangle |mid |T|_{q}=1brace ,}$

куда ${displaystyle langle S,Tangle =mathrm {tr} (S^{*}T)}$ обозначает Внутреннее произведение Гильберта – Шмидта.

Замечания

Заметь ${displaystyle |cdot |_{2}}$ - норма Гильберта – Шмидта (см. Оператор Гильберта – Шмидта ), ${displaystyle |cdot |_{1}}$ - норма класса следов (см. класс трассировки ), и ${displaystyle |cdot |_{infty }}$ - операторная норма (см. норма оператора ).

За ${displaystyle pin (0,1)}$ функция ${displaystyle |cdot |_{p}}$ является примером квазинорма.

Оператор, имеющий конечную норму Шаттена, называется Оператор класса Шаттена а пространство таких операторов обозначается через ${displaystyle S_{p}(H_{1},H_{2})}$. При этой норме ${displaystyle S_{p}(H_{1},H_{2})}$ является банаховым пространством, а гильбертово пространство для п = 2.

Заметьте, что ${displaystyle S_{p}(H_{1},H_{2})subseteq {mathcal {K}}(H_{1},H_{2})}$, алгебра компактные операторы. Это следует из того факта, что если сумма конечна, спектр будет конечным или счетным с началом координат в качестве предельной точки и, следовательно, компактным оператором (см. компактный оператор в гильбертовом пространстве ).

Дело п = 1 часто называют ядерная норма (также известный как норма следа, или Кай Фан 'н'-норма^[2])

Смотрите также

Матричные нормы

Рекомендации

1. Болл, Кейт; Карлен, Эрик А .; Либ, Эллиотт Х. (1994). «Точные равномерные неравенства выпуклости и гладкости для норм следов». Inventiones Mathematicae. 115: 463–482. Дои:10.1007 / BF01231769.
2. Фан, Кай (1951). «Максимальные свойства и неравенства для собственных значений вполне непрерывных операторов». Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки. 37 (11): 760–766. Bibcode:1951ПНАС ... 37..760Ф. Дои:10.1073 / pnas.37.11.760. ЧВК  1063464. PMID  16578416.

• Раджендра Бхатия, Матричный анализ, Vol. 169. Springer Science & Business Media, 1997.
• Джон Уотроус, Теория квантовой информации, 2.3 Нормы операторов, конспект лекций, Университет Ватерлоо, 2011 г.
• Иоахим Вайдман, Линейные операторы в гильбертовых пространствах, Vol. 20. Спрингер, Нью-Йорк, 1980.