Спектральный радиус - Spectral radius

В математика, то спектральный радиус из квадратная матрица или ограниченный линейный оператор является наибольшим абсолютным значением его собственные значения (т.е. супремум среди абсолютные значения элементов в его спектр ). Иногда его обозначают через ρ (·).

Матрицы

Позволять λ1, ..., λп быть (настоящий или же сложный ) собственные значения матрицы АCп×п. Тогда его спектральный радиус ρ(А) определяется как:

В номер условия из можно выразить через спектральный радиус как .

Спектральный радиус - это своего рода точная нижняя грань всех норм матрицы. С одной стороны, для каждого норма натуральной матрицы , а с другой стороны, формула Гельфанда утверждает, что ; оба этих результата показаны ниже. Однако спектральный радиус не обязательно удовлетворяет для произвольных векторов . Чтобы понять почему, позвольте произвольна и рассмотрим матрицу . В характеристический многочлен из является , следовательно, его собственные значения равны , и поэтому . тем не мение , так за быть любым норма на . Что еще позволяет в качестве в том, что , изготовление в качестве .

для всех

делает держись, когда это Эрмитова матрица и это Евклидова норма.

Графики

Спектральный радиус конечного график определяется как спектральный радиус его матрица смежности.

Это определение распространяется на случай бесконечных графов с ограниченными степенями вершин (т.е. существует некоторое действительное число C такая, что степень каждой вершины графа меньше, чем C). В этом случае для графика грамм определять:

Позволять γ быть оператором смежности грамм:

Спектральный радиус грамм определяется как спектральный радиус ограниченного линейного оператора γ.

Верхняя граница

Верхние оценки спектрального радиуса матрицы

Следующее предложение показывает простую, но полезную оценку сверху спектрального радиуса матрицы:

Предложение. Позволять АCп×п со спектральным радиусом ρ(А) и согласованная матричная норма ||⋅||. Тогда для каждого целого числа :

Доказательство

Позволять (v, λ) быть собственный вектор -собственное значение пара для матрицы А. По субмультипликативному свойству матричной нормы мы получаем:

и с тех пор v ≠ 0 у нас есть

и поэтому

Верхние оценки спектрального радиуса графа

Существует множество оценок сверху спектрального радиуса графа с точки зрения его номера п вершин и их количество м краев. Например, если

куда целое число, тогда[1]

Последовательность мощности

Теорема

Спектральный радиус тесно связан с поведением сходимости степенной последовательности матрицы; а именно, справедлива следующая теорема:

Теорема. Позволять АCп×п со спектральным радиусом ρ(А). потом ρ(А) < 1 если и только если
С другой стороны, если ρ(А) > 1, . Утверждение верно при любом выборе матричной нормы на Cп×п.

Доказательство теоремы

Предположим, что рассматриваемый предел равен нулю, мы покажем, что ρ(А) < 1. Позволять (v, λ) быть собственный вектор -собственное значение пара для А. С Аkv = λkv у нас есть:

и, поскольку по гипотезе v ≠ 0, мы должны иметь

откуда следует | λ | <1. Поскольку это должно быть верно для любого собственного значения λ, мы можем заключить, что ρ (А) < 1.

Теперь предположим радиус А меньше чем 1. От Нормальная форма Джордана теорема, мы знаем, что для всех АCп×п, существуют V, JCп×п с V неособое и J диагональ блока такая, что:

с

куда

Легко заметить, что

и с тех пор J блочно-диагональный,

Теперь стандартный результат на k-сила Блок Иордании заявляет, что для :

Таким образом, если тогда для всех я . Следовательно, для всех я у нас есть:

что подразумевает

Следовательно,

С другой стороны, если , есть хотя бы один элемент в J который не остается ограниченным при увеличении k, что доказывает вторую часть утверждения.

Формула Гельфанда

Теорема

Следующая теорема дает спектральный радиус как предел нормы матрицы.

Теорема (формула Гельфанда; 1941). Для любого матричная норма ||⋅||, у нас есть
[2].

Доказательство

Для любого ε > 0, сначала построим следующие две матрицы:

Потом:

Сначала применим предыдущую теорему к А+:

Это означает, что согласно определению предела последовательности существует N+N такой, что для всех k ≥ N+,

так

Применяя предыдущую теорему к А подразумевает не ограничен и существует NN такое, что для всех k ≥ N,

так

Позволять N = max {N+, N}, тогда у нас есть:

который по определению

Следствия Гельфанда

Формула Гельфанда непосредственно приводит к оценке спектрального радиуса произведения конечного числа матриц, а именно, предполагая, что все они коммутируют, получаем

Собственно, если норма последовательный, доказательство показывает больше, чем тезис; фактически, используя предыдущую лемму, мы можем заменить в определении предела левую нижнюю границу самим спектральным радиусом и записать более точно:

который по определению

где + означает приближение к пределу сверху.

Пример

Рассмотрим матрицу

чьи собственные значения 5, 10, 10; по определению, ρ(А) = 10. В следующей таблице значения для четырех наиболее часто используемых норм указаны в сравнении с несколькими возрастающими значениями k (обратите внимание, что из-за особой формы этой матрицы,):

k
11415.36229149610.681145748
212.64911064112.32829434810.595665162
311.93483191911.53245066410.500980846
411.50163316911.15100298610.418165779
511.21604315110.92124223510.351918183
1010.60494442210.45591043010.183690042
1110.54867768010.41370221310.166990229
1210.50192183510.37862093010.153031596
2010.29825439910.22550444710.091577411
3010.19786089210.14977692110.060958900
4010.14803164010.11212368110.045684426
5010.11825103510.08959882010.036530875
10010.05895175210.04469950810.018248786
20010.02943256210.02232483410.009120234
30010.01961209510.01487769010.006079232
40010.01470546910.01115619410.004559078
100010.00587959410.00446098510.001823382
200010.00293936510.00223024410.000911649
300010.00195948110.00148677410.000607757
1000010.00058780410.00044600910.000182323
2000010.00029389810.00022300210.000091161
3000010.00019593110.00014866710.000060774
10000010.00005877910.00004460010.000018232

Ограниченные линейные операторы

Для ограниченный линейный оператор А и норма оператора || · ||, снова имеем

Ограниченный оператор (в комплексном гильбертовом пространстве) называется спектралоидный оператор если его спектральный радиус совпадает с его числовой радиус. Примером такого оператора является нормальный оператор.

Примечания и ссылки

  1. ^ Го, Цзи-Мин; Ван, Чжи-Вэнь; Ли, Синь (2019). «Точные верхние границы спектрального радиуса графа». Дискретная математика. 342 (9): 2559–2563. Дои:10.1016 / j.disc.2019.05.017.
  2. ^ Формула верна для любого Банахова алгебра; см. лемму IX.1.8 в Данфорд и Шварц 1963 и Lax 2002, стр. 195–197

Библиография

  • Данфорд, Нельсон; Шварц, Якоб (1963), Линейные операторы II. Спектральная теория: самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве, Interscience Publishers, Inc.
  • Лакс, Питер Д. (2002), Функциональный анализ, Wiley-Interscience, ISBN  0-471-55604-1

Смотрите также