Статистическое многообразие - Statistical manifold

В математика, а статистическое многообразие это Риманово многообразие, каждая из точек которого является распределение вероятностей. Статистические коллекторы обеспечивают настройку области информационная геометрия. В Информационная метрика Fisher обеспечивает метрика на этих многообразиях. Следуя этому определению, функция логарифмического правдоподобия это дифференцируемая карта и счет является включение.^[1]

Примеры

Семья всех нормальные распределения,^{[требуется разъяснение ]} параметризованный ожидаемое значение μ и отклонение σ² ≥ 0, с Риманова метрика предоставленный Информация Fisher матрица, является статистическим многообразием. Его геометрия моделируется гиперболическое пространство.

Простым примером статистического многообразия, взятым из физики, может быть канонический ансамбль: это одномерное многообразие с температура Т служащая координатой на многообразии. Для любой фиксированной температуры Т, у каждого есть вероятностное пространство: так, для газа атомов это будет вероятностное распределение скоростей атомов. При изменении температуры Т, распределение вероятностей меняется.

Еще один простой пример, взятый из медицины, - это распределение вероятностей результатов лечения пациентов в зависимости от количества введенного лекарства. То есть при фиксированной дозе у некоторых пациентов улучшается, а у некоторых нет: это базовое вероятностное пространство. Если дозировка варьируется, то вероятность результатов меняется. Таким образом, дозировка - это координата на коллекторе. Быть гладкое многообразие нужно было бы измерять результаты в ответ на сколь угодно малые изменения дозировки; это не реализуемый на практике пример, если только у вас нет заранее существующей математической модели реакции на дозу, где доза может быть произвольно изменена.

Определение

Позволять Икс быть ориентируемое многообразие, и разреши ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ быть мера на Икс. Эквивалентно пусть ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ быть вероятностное пространство на ${\displaystyle \Omega =X}$, с сигма-алгебра ${\displaystyle {\mathcal {F}}=\Sigma }$ и вероятность ${\displaystyle P=\mu }$.

Статистическое многообразие S(Икс) из Икс определяется как пространство всех мер ${\displaystyle \mu }$ на Икс (с сигма-алгеброй ${\displaystyle \Sigma }$ фиксируется). Обратите внимание, что это пространство бесконечномерно; это обычно считается Fréchet space. Пункты S(Икс) - меры.

Вместо того, чтобы иметь дело с бесконечномерным пространством S(Икс) принято работать с конечномерным подмногообразие, определяемый рассмотрением набора распределения вероятностей параметризованный некоторым плавным, непрерывно меняющимся параметром ${\displaystyle \theta }$. То есть учитываются только те меры, которые выбираются параметром. Если параметр ${\displaystyle \theta }$ является п-мерным, то, в общем случае, будет и подмногообразие. Таким образом можно понять все конечномерные статистические многообразия.^{[требуется разъяснение ]}

Рекомендации

1. Мюррей, Майкл К .; Райс, Джон В. (1993). «Определение статистического многообразия». Дифференциальная геометрия и статистика. Чепмен и Холл. С. 76–77. ISBN  0-412-39860-5.