Топологическая геометрия - Topological geometry

Топологическая геометрия имеет дело со структурами инцидентности, состоящими из набора точек ${\displaystyle P}$ и семья ${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$ подмножеств ${\displaystyle P}$ называется линиями или кругами и т. д., так что оба ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$ нести топология и все геометрические операции, такие как соединение точек линией или пересекающимися линиями, являются непрерывными. Как и в случае с топологические группы, многие более глубокие результаты требуют, чтобы точечное пространство было (локально) компактным и связным. Это обобщает наблюдение, что линия, соединяющая две различные точки в Евклидова плоскость непрерывно зависит от пары точек, а точка пересечения двух прямых является непрерывной функцией этих прямых.

Линейные геометрии

Линейные геометрии структуры падения в котором любые две различные точки ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ соединены уникальной линией ${\displaystyle xy}$. Такие геометрии называются топологический если ${\displaystyle xy}$ непрерывно зависит от пары ${\displaystyle (x,y)}$ относительно заданных топологий на множестве точек и наборе линий. В двойной линейной геометрии получается перестановкой ролей точек и линий. Обзор линейных топологических геометрий дан в главе 23 Справочник по геометрии падения.^[1] Наиболее широко исследуются топологические линейные геометрии, которые также являются дуальными топологическими линейными геометриями. Такие геометрии известны как топологические. проективные плоскости.

История

Систематическое изучение этих самолетов началось в 1954 году с работы Скорнякова.^[2] Ранее топологические свойства настоящий самолет был представлен через упорядочивающие отношения на аффинных прямых, см., например, Гильберта,^[3] Coxeter,^[4] и О. Уайлер.^[5] Полнота упорядочивания эквивалентна локальная компактность и означает, что аффинные прямые гомеоморфный к ${\displaystyle \mathbb {R} }$ и что точечное пространство связаны. Обратите внимание, что рациональное число недостаточно для описания наших интуитивных понятий плоской геометрии и того, что необходимо некоторое расширение рационального поля. Фактически, уравнение ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=3}$ для круга нет рационального решения.

Топологические проективные плоскости

Однако подход к топологическим свойствам проективных плоскостей через соотношения упорядочения невозможен для плоскостей, координируемых сложные числа, то кватернионы или октонион алгебра.^[6] Точечные пространства, а также линейные пространства этих классический плоскости (над действительными числами, комплексными числами, кватернионами и октонионами) компактны коллекторы измерения ${\displaystyle 2^{m},\,1\leq m\leq 4}$.

Топологическое измерение

Понятие о измерение топологического пространства играет важную роль в изучении топологических, в частности компактных связных плоскостей. Для нормальное пространство ${\displaystyle X}$, размер ${\displaystyle \dim X}$ можно охарактеризовать следующим образом:

Если ${\displaystyle \mathbb {S} _{n}}$ обозначает ${\displaystyle n}$-сфера, тогда ${\displaystyle \dim X\leq n}$ тогда и только тогда, когда для каждого замкнутого подпространства ${\displaystyle A\subset X}$ каждая непрерывная карта ${\displaystyle \varphi :A\to \mathbb {S} _{n}}$ имеет непрерывное расширение ${\displaystyle \psi :X\to \mathbb {S} _{n}}$.

Подробнее и другие определения размера см. ^[7] и приведенные там ссылки, в частности Engelking^[8] или Федорчук.^[9]

2-х мерные плоскости

Прямые компактной топологической плоскости с двумерным точечным пространством образуют семейство кривых, гомеоморфных окружности, и этот факт характеризует эти плоскости среди топологических проективных плоскостей.^[10] Эквивалентно точечное пространство - это поверхность. Ранние примеры, не изоморфные классической реальной плоскости ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ были даны Гильбертом^[3][11] и Moulton.^[12] Свойства непрерывности этих примеров в то время явно не рассматривались, их можно было принять как должное. Конструкцию Гильберта можно модифицировать, чтобы получить несчетное количество попарно неизоморфных ${\displaystyle 2}$-мерные компактные плоскости. Традиционный способ различать ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ от другого ${\displaystyle 2}$-размерных плоскостей по справедливости Теорема Дезарга или теорема Паппа (см., например, Пикерт^[13] для обсуждения этих двух конфигурационных теорем). Последнее, как известно, подразумевает первое (Hessenberg^[14]). Теорема Дезарга выражает своего рода однородность плоскости. В общем, это верно в проективной плоскости тогда и только тогда, когда плоскость может быть скоординирована (не обязательно коммутативным) полем,^[3][15][13] отсюда следует, что группа автоморфизмы является переходный на множестве четырехугольников (${\displaystyle 4}$ очков нет ${\displaystyle 3}$ из которых коллинеарны). В данной ситуации гораздо более слабое условие однородности характеризует ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$:

Теорема. Если группа автоморфизмов ${\displaystyle \Sigma }$ из ${\displaystyle 2}$-мерная компактная плоскость ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ транзитивен на точечном множестве (или набор строк), тогда ${\displaystyle \Sigma }$ имеет компактную подгруппу ${\displaystyle \Phi }$ которое даже транзитивно на множестве флагов (= падающая точка-линия), и ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ классический.^[10]

Группа автоморфизмов ${\displaystyle \Sigma =\operatorname {Aut} {\mathcal {P}}}$ из ${\displaystyle 2}$-мерная компактная плоскость ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$, взятые с топологией равномерное схождение на точечном пространстве является локально компактной группой размерности не выше ${\displaystyle 8}$, фактически даже Группа Ли. Все ${\displaystyle 2}$-мерные плоскости такие, что ${\displaystyle \dim \Sigma \geq 3}$ можно описать явно;^[10] те, у кого ${\displaystyle \dim \Sigma =4}$ в точности плоскости Моултона, классическая плоскость ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ единственный ${\displaystyle 2}$-мерная плоскость с ${\displaystyle \dim \Sigma >4}$; смотрите также.^[16]

Компактные соединенные плоскости

Результаты на ${\displaystyle 2}$-мерные плоскости были расширены до компактных плоскостей размерности ${\displaystyle >2}$. Это возможно благодаря следующей основной теореме:

Топология компактных плоскостей. Если размерность точечного пространства ${\displaystyle P}$ компактной связной проективной плоскости конечно, то ${\displaystyle \dim P=2^{m}}$ с ${\displaystyle m\in \{1,2,3,4\}}$. Более того, каждая строка представляет собой гомотопическая сфера измерения ${\displaystyle 2^{m-1}}$, видеть ^[17] или же.^[18]

Особенности четырехмерных плоскостей рассматриваются в^[19] более свежие результаты можно найти в.^[20] Линии ${\displaystyle 4}$-мерная компактная плоскость гомеоморфна плоскости ${\displaystyle 2}$-сфера;^[21] в случаях ${\displaystyle m>2}$ прямые не известны как многообразия, но во всех найденных до сих пор примерах прямые являются сферами. Подплан ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ проективной плоскости ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ считается Баер подплан^[22] если каждая точка ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ инцидент с линией ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ и каждая строка ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ содержит точку ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$. Закрытый подплан ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ является подплоскостью Бэра компактной связной плоскости ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ тогда и только тогда, когда точечное пространство ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ и ряд ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ иметь такое же измерение. Следовательно, линии 8-мерной плоскости ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ гомеоморфны сфере ${\displaystyle \mathbb {S} _{4}}$ если ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ имеет закрытый подплан Бэра.^[23]

Однородные плоскости. Если ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ является компактной связной проективной плоскостью и если ${\displaystyle \Sigma =\operatorname {Aut} {\mathcal {P}}}$ транзитивна на точечном множестве ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$, тогда ${\displaystyle \Sigma }$ имеет флаг-транзитивную компактную подгруппу ${\displaystyle \Phi }$ и ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ классический, видеть ^[24] или же.^[25] Фактически, ${\displaystyle \Phi }$ группа эллиптических движений.^[26]

Позволять ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ быть компактной плоскостью размера ${\displaystyle 2^{m},\;m=2,3,4}$, и писать ${\displaystyle \Sigma =\operatorname {Aut} {\mathcal {P}}}$. Если ${\displaystyle \dim \Sigma >8,18,40}$, тогда ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ классический,^[27] и ${\displaystyle \operatorname {Aut} {\mathcal {P}}}$ это простая группа Ли измерения ${\displaystyle 16,35,78}$ соответственно. Все самолеты ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ с ${\displaystyle \dim \Sigma =8,18,40}$ известны явно.^[28] Самолеты с ${\displaystyle \dim \Sigma =40}$ в точности проективные замыкания аффинные плоскости координируется так называемым мутация ${\displaystyle (\mathbb {O} ,+,\circ )}$ алгебры октонионов ${\displaystyle (\mathbb {O} ,+,\ \,)}$, где новое умножение ${\displaystyle \circ }$ определяется следующим образом: выберите действительное число ${\displaystyle t}$ с ${\displaystyle 1/2<t\neq 1}$ и положи ${\displaystyle a\circ b=t\cdot ab+(1-t)\cdot ba}$. Обширные семейства плоскостей с группой большой размерности были обнаружены систематически, исходя из предположений об их группах автоморфизмов, см., Например,^{[20][29][30][31][32]} Многие из них являются проективными замыканиями самолеты перевода (аффинные плоскости, допускающие точно транзитивную группу автоморфизмов, отображающих каждую прямую в параллель), ср .;^[33] смотрите также ^[34] для более свежих результатов в случае ${\displaystyle m=3}$ и ^[30] за ${\displaystyle m=4}$.

Компактные проективные пространства

Подпланы проективные пространства из геометрический размерность не менее 3 обязательно дезаргова, см. ^[35] §1 или ^[4] §16 или.^[36] Следовательно, все компактные связные проективные пространства могут быть согласованы действительными или комплексными числами или полем кватернионов.^[37]

Стабильные самолеты

Классическая неевклидова гиперболическая плоскость могут быть представлены пересечениями прямых на реальной плоскости с открытым круговым диском. В более общем смысле открытые (выпуклые) части классических аффинных плоскостей являются типичными стабильными плоскостями. Обзор этих геометрий можно найти в^[38] для ${\displaystyle 2}$-мерный случай см. также.^[39]

А именно, стабильный самолет ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ топологическая линейная геометрия ${\displaystyle (P,{\mathfrak {L}})}$ такой, что

(1) ${\displaystyle P}$ является локально компактным пространством положительной конечной размерности,

(2) каждая строка ${\displaystyle L\in {\mathfrak {L}}}$ является замкнутым подмножеством ${\displaystyle P}$, и ${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$ хаусдорфово пространство,

(3) множество ${\displaystyle \{(K,L)\mid K\neq L,\;K\cap L\neq \emptyset \}}$ открытое подпространство ${\displaystyle {\mathfrak {O}}\subset {\mathfrak {L}}^{2}}$ ( стабильность),

(4) карта ${\displaystyle (K,L)\mapsto K\cap L:{\mathfrak {O}}\to P}$ непрерывно.

Обратите внимание, что стабильность исключает такие геометрии, как ${\displaystyle 3}$-мерное аффинное пространство над ${\displaystyle \mathbb {R} }$ или же ${\displaystyle \mathbb {C} }$.

Устойчивый самолет ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ является проективной плоскостью тогда и только тогда, когда ${\displaystyle P}$ компактный.^[40]

Как и в случае проективных плоскостей, пучки прямых компактны и гомотопически эквивалентны сфере размерности ${\displaystyle 2^{m-1}}$, и ${\displaystyle \dim P=2^{m}}$ с ${\displaystyle m\in \{1,2,3,4\}}$, видеть ^[17] или же.^[41] Более того, точечное пространство ${\displaystyle P}$ является локально стягиваемым.^[17][42]

Компактные группы (правильный) стабильные самолетыдовольно маленькие. Позволять ${\displaystyle \Phi _{d}}$ обозначим максимальную компактную подгруппу группы автоморфизмов классического ${\displaystyle d}$-мерная проективная плоскость ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{d}}$. Тогда справедлива следующая теорема.
Если ${\displaystyle d}$-мерная устойчивая плоскость ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ допускает компактную группу ${\displaystyle \Gamma }$ автоморфизмов таких, что ${\displaystyle \dim \Gamma >\dim \Phi _{d}-d}$, тогда ${\displaystyle {\mathcal {S}}\cong {\mathcal {P}}_{d}}$, видеть.^[43]

Флаг-однородные устойчивые плоскости. Позволять ${\displaystyle {\mathcal {S}}=(P,{\mathfrak {L}})}$ быть устойчивым самолетом. Если группа автоморфизмов ${\displaystyle \operatorname {Aut} {\mathcal {S}}}$ флаг-транзитивен, то ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ классическая проективная или аффинная плоскость, или ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ изоморфна внутренности абсолютной сферы гиперболического полярность классической плоскости; видеть.^[44][45][46]

В отличие от проективного случая, существует множество точечно-однородных стабильных плоскостей, среди которых обширные классы плоскостей трансляции, см. ^[33] и.^[47]

Симметричные плоскости

Аффинные плоскости трансляции обладают следующим свойством:

${\displaystyle *}$ Существует точечная транзитивная замкнутая подгруппа ${\displaystyle \Delta }$ группы автоморфизмов, содержащей единственное отражение в некоторых и, следовательно, в каждой точке.

В более общем плане симметричная плоскость стабильный самолет ${\displaystyle {\mathcal {S}}=(P,{\mathfrak {L}})}$ удовлетворяющее условию (${\displaystyle *}$); видеть,^[48] ср.^[49] для обзора этих геометрий. К ^[50] Следствие 5.5, группа ${\displaystyle \Delta }$ группа Ли, а точечное пространство ${\displaystyle P}$ является многообразием. Следует, что ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ это симметричное пространство. С помощью теории симметрических пространств Ли все симметричные плоскости с точечным множеством размерностей ${\displaystyle 2}$ или же ${\displaystyle 4}$ были засекречены.^[48][51] Они либо являются плоскостями трансляции, либо определяются Эрмитова форма. Простой пример - реальная гиперболическая плоскость.

Геометрия круга

Классические модели ^[52] задаются плоскими сечениями квадратичной поверхности ${\displaystyle S}$ в реальном проективном ${\displaystyle 3}$-Космос; если ${\displaystyle S}$ сфера, геометрия называется Самолет Мебиуса.^[39] Плоские сечения линейчатой ​​поверхности (однополостный гиперболоид) дают классический Самолет Минковского, ср.^[53] для обобщений. Если ${\displaystyle S}$ эллиптический конус без вершины, геометрия называется Самолет Лагерра. В совокупности эти самолеты иногда называют Самолеты Benz. Топологическая плоскость Бенца считается классической, если каждая точка имеет окрестность, изоморфную некоторому открытому участку соответствующей классической плоскости Бенца..^[54]

Самолеты Мебиуса

Самолеты Мёбиуса состоят из семейства ${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$ окружностей, которые являются топологическими 1-сферами, на ${\displaystyle 2}$-сфера ${\displaystyle S}$ так что для каждой точки ${\displaystyle p}$ то полученный структура ${\displaystyle (S\setminus \{p\},\{C\setminus \{p\}\mid p\in C\in {\mathfrak {C}}\})}$ является топологической аффинной плоскостью.^[55] В частности, любые ${\displaystyle 3}$ отдельные точки соединены уникальным кругом. Пространство круга ${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$ тогда гомеоморфно действительному проективному ${\displaystyle 3}$-пространство с удаленной точкой.^[56] Большой класс примеров дают плоские сечения яйцевидной поверхности в реальных условиях. ${\displaystyle 3}$-Космос.

Однородные плоскости Мебиуса

Если группа автоморфизмов ${\displaystyle \Sigma }$ плоскости Мёбиуса транзитивна на точечном множестве ${\displaystyle S}$ или на съемочной площадке ${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$ кругов, или если ${\displaystyle \dim \Sigma \geq 4}$, тогда ${\displaystyle (S,{\mathfrak {C}})}$ классический и ${\displaystyle \dim \Sigma =6}$, видеть.^[57][58]

В отличие от компактных проективных плоскостей не существует топологических плоскостей Мёбиуса с окружностями размерности ${\displaystyle >1}$, в частности, нет компактных плоскостей Мёбиуса с ${\displaystyle 4}$-мерное точечное пространство.^[59] Все двумерные плоскости Мёбиуса такие, что ${\displaystyle \dim \Sigma \geq 3}$ можно описать явно.^[60][61]

Самолеты Лагерра

Классическая модель плоскости Лагерра состоит из круглой цилиндрической поверхности ${\displaystyle C}$ в действительности ${\displaystyle 3}$-Космос ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ как точечный набор и компактные плоские сечения ${\displaystyle C}$ как круги. Пары точек, не соединенные кругом, называются параллельно. Позволять ${\displaystyle P}$ обозначают класс параллельных точек. потом ${\displaystyle C\smallsetminus P}$ это самолет ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, круги в этой плоскости можно представить параболами вида ${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$.

Аналогичным образом классический ${\displaystyle 4}$-мерная плоскость Лагерра связана с геометрией комплексных квадратичных многочленов. Вообще говоря, аксиомы локально компактной связной плоскости Лагерра требуют, чтобы производные плоскости вкладывались в компактные проективные плоскости конечной размерности. Окружность, не проходящая через точку вывода, индуцирует овал в производной проективной плоскости. К ^[62] или же,^[63] окружности гомеоморфны сферам размерности ${\displaystyle 1}$ или же ${\displaystyle 2}$. Следовательно, точечное пространство локально компактной связной плоскости Лагерра гомеоморфно цилиндру ${\displaystyle C}$ или это ${\displaystyle 4}$-мерное многообразие, ср.^[64] Большой класс ${\displaystyle 2}$-мерные примеры, называемые овоидальными плоскостями Лагерра, даются плоскими сечениями цилиндра в реальном трехмерном пространстве, основанием которого является овал в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$.

Группа автоморфизмов ${\displaystyle 2d}$-мерная плоскость Лагерра (${\displaystyle d=1,2}$) является группой Ли относительно топологии равномерной сходимости на компактных подмножествах точечного пространства; кроме того, эта группа имеет размерность не более ${\displaystyle 7d}$. Все автоморфизмы плоскости Лагерра, фиксирующие каждый параллельный класс, образуют нормальную подгруппу, ядро полной группы автоморфизмов. В ${\displaystyle 2}$-мерные плоскости Лагерра с ${\displaystyle \dim \Sigma =5}$ - это в точности овоидальные плоскости над собственными косыми параболами.^[65] Классический ${\displaystyle 2d}$-мерные плоскости Лагерра - единственные такие, что ${\displaystyle \dim \Sigma >5d}$, видеть,^[66] ср. также.^[67]

Однородные плоскости Лагерра

Если группа автоморфизмов ${\displaystyle \Sigma }$ из ${\displaystyle 2d}$-мерный самолет Лагерра ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ транзитивна на множестве параллельных классов, и если ядро ${\displaystyle T\triangleleft \Sigma }$ транзитивна на множестве окружностей, то ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ классический, видеть ^[68][67] 2.1,2.

Однако транзитивности группы автоморфизмов на множестве окружностей недостаточно для характеристики классической модели среди ${\displaystyle 2d}$-мерные плоскости Лагерра.

Самолеты Минковского

Классическая модель самолета Минковского имеет тор ${\displaystyle \mathbb {S} _{1}\times \mathbb {S} _{1}}$ как точечное пространство кружки представляют собой графики действительных дробно-линейных отображений на ${\displaystyle \mathbb {S} _{1}=\mathbb {R} \cup \{\infty \}}$. Как и в случае плоскостей Лагерра, точечное пространство локально компактной связной плоскости Минковского имеет вид ${\displaystyle 1}$- или же ${\displaystyle 2}$-размерный; точечное пространство гомеоморфно тору или ${\displaystyle \mathbb {S} _{2}\times \mathbb {S} _{2}}$, видеть.^[69]

Однородные плоскости Минковского

Если группа автоморфизмов ${\displaystyle \Sigma }$ самолета Минковского ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ измерения ${\displaystyle 2d}$ флаг-транзитивен, то ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ классический.^[70]

Группа автоморфизмов ${\displaystyle 2d}$-мерная плоскость Минковского является группой Ли размерности не выше ${\displaystyle 6d}$. Все ${\displaystyle 2}$-мерные плоскости Минковского такие, что ${\displaystyle \dim \Sigma \geq 4}$ можно описать явно.^[71] Классический ${\displaystyle 2d}$-мерный самолет Минковского - единственный с ${\displaystyle \dim \Sigma >4d}$, видеть.^[72]

Примечания

1. Grundhöfer & Löwen 1995
2. Скорняков Л.А. Топологические проективные плоскости (1954). Труды Моск. Мат. Общч., 3: 347–373
3. Гильберт 1899
4. Кокстер, H.S.M. (1993), Реальная проективная плоскость, Нью-Йорк: Springer
5. Уайлер,. (1952), «Порядок и топология в проективных плоскостях», Амер. J. Math., 74 (3): 656–666, Дои:10.2307/2372268, JSTOR  2372268
6. Conway, J.H .; Смит, Д.А. (2003), О кватернионах и октонионах: их геометрия, арифметика и симметрия, Натик, Массачусетс: А. К. Питерс
7. Salzmann et al. 1995 г., §92
8. Энгелкинг, Р. (1978), Теория размерностей, Северная Голландия Publ. Co.
9. Федорчук, В. (1990), «Основы теории размерности», Энцикл. Математика. Sci., Берлин: Springer, 17: 91–192
10. Зальцманн 1967
11. Строппель, М. (1998), "Bemerkungen zur ersten nicht desarguesschen ebenen Geometrie bei Hilbert", J. Geom., 63 (1–2): 183–195, Дои:10.1007 / bf01221248, S2CID  120078708
12. Моултон, Ф. (1902), "Простая недезаргова плоская геометрия", Пер. Амер. Математика. Soc., 3 (2): 192–195, Дои:10.1090 / с0002-9947-1902-1500595-3
13. Пикерт 1955
14. Гессенберг, Г. (1905), "Beweis des Desarguesschen Satzes aus dem Pascalschen", Математика. Анна. (на немецком), 61 (2): 161–172, Дои:10.1007 / bf01457558, S2CID  120456855
15. Hughes, D.R .; Пайпер, Ф.С. (1973), Проективные плоскости, Берлин: Springer
16. Salzmann et al. 1995 г., Глава 3
17. Лёвен 1983 ошибка harvnb: несколько целей (2 ×): CITEREFLöwen1983 (помощь)
18. Salzmann et al. 1995 г., 54.11
19. Salzmann et al. 1995 г., Глава 7
20. Беттен, Д. (1997), "О классификации ${\displaystyle 4}$-мерные гибкие проективные плоскости », Lect. Notes Pure. Appl. Математика., 190: 9–33
21. Salzmann et al. 1995 г., 53.15
22. Зальцманн, Х. (2003), "Подпланы Бэра", Иллинойс J. Math., 47 (1–2): 485–513, Дои:10.1215 / ijm / 1258488168
23. Salzmann et al. 1995 г., 55.6
24. Лёвен Р. (1981), "Однородные компактные проективные плоскости", J. Reine Angew. Математика., 321: 217–220
25. Salzmann et al. 1995 г., 63.8
26. Salzmann et al. 1995 г., 13.12
27. Salzmann et al. 1995 г., 72.8,84.28,85.16
28. Salzmann et al. 1995 г., 73.22,84.28,87.7
29. Хэл, Х. (1986), "Achtdimensionale lokalkompakte Translationsebenen mit mindestens ${\displaystyle 17}$-размер Kollineationsgruppe ", Геом. Dedicata (на немецком), 21: 299–340, Дои:10.1007 / bf00181535, S2CID  116969491
30. Хэл, Х. (2011), "Шестнадцатимерные локально компактные плоскости трансляции с группами коллинеаций размерности не менее ${\displaystyle 38}$", Adv. Геом., 11: 371–380, Дои:10.1515 / advgeom.2010.046
31. Хэл, Х. (2000), "Шестнадцатимерные локально компактные плоскости трансляции с большими группами автоморфизмов, не имеющими неподвижных точек", Геом. Dedicata, 83: 105–117, Дои:10.1023 / А: 1005212813861, S2CID  128076685
32. Salzmann et al. 1995 г., §§73,74,82,86
33. Knarr 1995
34. Зальцманн 2014
35. Гильберт 1899, §§22
36. Веблен, О .; Янг, Дж. (1910), Проективная геометрия Vol. я, Бостон: Ginn Comp.
37. Колмогоров А. (1932), "Zur Begründung der projektiven Geometrie", Анна. математики. (на немецком), 33 (1): 175–176, Дои:10.2307/1968111, JSTOR  1968111
38. Salzmann et al. 1995 г., §§3,4
39. Polster & Steiner 2001 Ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFPolsterSteiner2001 (помощь)
40. Salzmann et al. 1995 г., 3.11
41. Salzmann et al. 1995 г., 3.28,29
42. Grundhöfer & Löwen 1995, 3.7
43. Строппель, М. (1994), «Компактные группы автоморфизмов стабильных плоскостей», Forum Math., 6 (6): 339–359, Дои:10.1515 / form.1994.6.339, S2CID  53550190
44. Лёвен, Р. (1983), "Стабильные плоскости с изотропными точками", Математика. Z., 182: 49–61, Дои:10.1007 / BF01162593, S2CID  117081501
45. Salzmann et al. 1995 г., 5.8
46. Зальцманн 2014, 8.11,12
47. Salzmann et al. 1995 г., Главы 7 и 8
48. Лёвен Р. (1979), «Симметричные плоскости», Pacific J. Math., 84 (2): 367–390, Дои:10.2140 / pjm.1979.84.367
49. Grundhöfer & Löwen 1195, 5.26-31 ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFGrundhöferLöwen1195 (помощь)
50. Hofmann, K.H .; Крамер, Л. (2015), "Транзитивные действия локально компактных групп на локально сжимающих пространствах", J. Reine Angew. Математика., 702: 227–243, 245/6
51. Левен, Р. (1979), "Классификация ${\displaystyle 4}$-мерные симметричные плоскости », Математика. Z., 167: 137–159, Дои:10.1007 / BF01215118, S2CID  123564207
52. Steinke 1995 г.
53. Polster & Steinke 2001 г., §4
54. Стейнке, Г. (1983), "Локально классические плоскости Бенца являются классическими", Математика. Z., 183: 217–220, Дои:10.1007 / bf01214821, S2CID  122877328
55. Wölk, D. (1966), "Topologische Möbiusebenen", Математика. Z. (на немецком), 93: 311–333, Дои:10.1007 / BF01111942
56. Löwen, R .; Стейнке, Г.Ф. (2014), «Круговое пространство сферической круговой плоскости», Бык. Бельг. Математика. Soc. Саймон Стевин, 21 (2): 351–364, Дои:10.36045 / bbms / 1400592630
57. Strambach, K. (1970), "Sphärische Kreisebenen", Математика. Z. (на немецком), 113: 266–292, Дои:10.1007 / bf01110328, S2CID  122982956
58. Steinke 1995 г., 3.2
59. Гро, Х. (1973), «Плоскости Мёбиуса с локально евклидовой окружностью плоские», Математика. Анна., 201 (2): 149–156, Дои:10.1007 / bf01359792, S2CID  122256290
60. Strambach, K. (1972), "Sphärische Kreisebenen mit dreidimensionaler nichteinfacher Automorphismengruppe", Математика. Z. (на немецком), 124: 289–314, Дои:10.1007 / bf01113922, S2CID  120716300
61. Strambach, K. (1973), "Sphärische Kreisebenen mit einfacher Automorphismengruppe"'", Геом. Dedicata (на немецком), 1: 182–220, Дои:10.1007 / bf00147520, S2CID  123023992
62. Бьюкенен, Т .; Hähl, H .; Лёвен, Р. (1980), "Topologische Ovale", Геом. Dedicata (на немецком), 9 (4): 401–424, Дои:10.1007 / bf00181558, S2CID  189889834
63. Salzmann et al. 1995 г., 55.14
64. Steibke 1995, 5.7 Ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFSteibke1995 (помощь)
65. Steinke 1995 г., 5.5
66. Steinke 1995 г., 5.4,8
67. Стейнке, Г.Ф. (2002), "${\displaystyle 4}$-мерные плоскости Лагерра эляции, допускающие неразрешимые группы автоморфизмов », Монатш. Математика., 136: 327–354, Дои:10.1007 / s006050200046, S2CID  121391952
68. Стейнке, Г.Ф. (1993), "${\displaystyle 4}$-мерные точечно-транзитивные группы автоморфизмов ${\displaystyle 2}$- размерные плоскости Лагерра », Результаты по математике, 24: 326–341, Дои:10.1007 / bf03322341, S2CID  123334384
69. Штайнке 1991, 4.6 Ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFSteinke1991 (помощь)
70. Стейнке, Г.Ф. (1992), "${\displaystyle 4}$-мерные плоскости Минковского с большой группой автоморфизмов », Forum Math., 4: 593–605, Дои:10.1515 / форма.1992.4.593, S2CID  122970200
71. Polster & Steinke 2001 г., §4.4
72. Steinke 1995 г., 4.5 и 4.8

Рекомендации

• Grundhöfer, T .; Лёвен, Р. (1995), Бюкенхаут, Ф. (ред.), Справочник по геометрии падения: здания и фундаменты, Амстердам: Северная Голландия, стр. 1255–1324.
• Гильберт, Д. (1899), Основы геометрии, перевод Э. Дж. Таунсенда, 1902, Чикаго
• Knarr, Н. (1995), Самолеты перевода. Фундаменты и принципы строительства, Конспект лекций по математике, 1611, Берлин: Springer
• Левен, Р. (1983), "Топология и размерность стабильных плоскостей: по гипотезе Х. Фройденталя", J. Reine Angew. Математика., 343: 108–122
• Пикерт, Г. (1955), Projektive Ebenen (на немецком языке), Берлин: Springer
• Polster, B .; Стейнке, Г.Ф. (2001), Геометрии на поверхностях, Кембридж, UP
• Зальцманн, Х. (1967), "Топологические плоскости", Успехи в математике, 2: 1–60, Дои:10.1016 / с0001-8708 (67) 80002-1
• Зальцманн, Х. (2014), Компактные самолеты, в основном 8-ми мерные. Ретроспективный взгляд, arXiv:1402.0304, Bibcode:2014arXiv1402.0304S
• Salzmann, H .; Betten, D .; Grundhöfer, T .; Hähl, H .; Löwen, R .; Строппель, М. (1995), Компактные проективные плоскости, В. де Грюйтер
• Стейнке, Г. (1995), "Геометрии топологического круга", Справочник по геометрии падения, Амстердам: Северная Голландия: 1325–1354, Дои:10.1016 / B978-044488355-1 / 50026-8, ISBN  9780444883551