Закон взаимности Артина - Artin reciprocity law

В Закон взаимности Артина, который был установлен Эмиль Артин в серии статей (1924; 1927; 1930) - общая теорема в теория чисел который составляет центральную часть глобальной теория поля классов.^[1] Период, термин "закон взаимности "относится к длинному ряду более конкретных теоретико-числовых утверждений, которые он обобщил, из квадратичный закон взаимности и законы взаимности Эйзенштейн и Куммер к Гильберта формула продукта для символ нормы. Результат Артина дал частичное решение Девятая проблема Гильберта.

Заявление

Позволять L⁄K быть Расширение Галуа из глобальные поля и C_L стоять за группа idèle class из L. Одно из заявлений Закон взаимности Артина в том, что существует канонический изоморфизм, называемый глобальная карта символов ^[2][3]

${\displaystyle \theta :C_{K}/{N_{L/K}(C_{L})}\to \operatorname {Gal} (L/K)^{\text{ab}},}$

где ab обозначает абелианизацию группы. Карта ${\displaystyle \theta }$ определяется путем сборки карт, называемых местный символ Артина, то местная карта взаимности или символ нормального остатка^[4][5]

${\displaystyle \theta _{v}:K_{v}^{\times }/N_{L_{v}/K_{v}}(L_{v}^{\times })\to G^{\text{ab}},}$

для разных мест v из K. Точнее, ${\displaystyle \theta }$ задается локальными картами ${\displaystyle \theta _{v}}$ на v-компонент идельского класса. Карты ${\displaystyle \theta _{v}}$ являются изоморфизмами. Это содержание местный закон взаимности, основная теорема теория поля локальных классов.

Доказательство

Когомологическое доказательство глобального закона взаимности может быть достигнуто, если сначала установить, что

${\displaystyle (\operatorname {Gal} (K^{sep}/K),\varinjlim C_{L})}$

представляет собой формирование класса в смысле Артина и Тейта.^[6] Тогда доказывается, что

${\displaystyle {\hat {H}}^{0}(\operatorname {Gal} (L/K),C_{L})\simeq {\hat {H}}^{-2}(\operatorname {Gal} (L/K),\mathbb {Z} ),}$

куда ${\displaystyle {\hat {H}}^{i}}$ обозначить Группы когомологий Тейта. Вычисление групп когомологий устанавливает, что θ является изоморфизмом.

Значимость

Смотрите также: Квадратичная взаимность и Эйзенштейновская взаимность

Закон взаимности Артина подразумевает описание абелианизация абсолютного Группа Галуа из глобальное поле K который основан на Локально-глобальный принцип Хассе и использование Элементы Фробениуса. Вместе с Теорема существования Такаги, он используется для описания абелевы расширения из K с точки зрения арифметики K и понять поведение неархимедовые места в них. Таким образом, закон взаимности Артина можно интерпретировать как одну из основных теорем глобальной теории полей классов. Его можно использовать для доказательства того, что Артина L-функции находятся мероморфный и для доказательства Теорема плотности Чеботарева.^[7]

Через два года после публикации своего общего закона о взаимности в 1927 году Артин заново открыл гомоморфизм переноса И. Шура и применил закон взаимности для перевода проблема принципализации идеальных классов полей алгебраических чисел в теоретико-групповую задачу определения ядер трансферов конечных неабелевых групп.^[8]

Конечные расширения глобальных полей

Определение отображения Артина для конечный абелево расширение L/K из глобальные поля (например, конечное абелево расширение ${\displaystyle \mathbb {Q} }$) имеет конкретное описание с точки зрения главные идеалы и Элементы Фробениуса.

Если ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ является лучшим из K затем группы разложения простых чисел ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$ над ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ равны в Gal (L/K), поскольку последняя группа абелевский. Если ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ является неразветвленный в L, то группа разложения ${\displaystyle D_{\mathfrak {p}}}$ канонически изоморфна группе Галуа расширения полей вычетов ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L,{\mathfrak {P}}}/{\mathfrak {P}}}$ над ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K,{\mathfrak {p}}}/{\mathfrak {p}}}$. Следовательно, существует канонически определенный элемент Фробениуса в Gal (L/K) обозначается ${\displaystyle \mathrm {Frob} _{\mathfrak {p}}}$ или же ${\displaystyle \left({\frac {L/K}{\mathfrak {p}}}\right)}$. Если Δ обозначает относительный дискриминант из L/K, то Символ Артина (или же Карта Артина, или же (глобальная) карта взаимности) из L/K определяется на группа дробных идеалов, простых с Δ, ${\displaystyle I_{K}^{\Delta }}$, по линейности:

${\displaystyle {\begin{cases}\left({\frac {L/K}{\cdot }}\right):I_{K}^{\Delta }\longrightarrow \operatorname {Gal} (L/K)\\\prod _{i=1}^{m}{\mathfrak {p}}_{i}^{n_{i}}\longmapsto \prod _{i=1}^{m}\left({\frac {L/K}{{\mathfrak {p}}_{i}}}\right)^{n_{i}}\end{cases}}}$

В Закон взаимности Артина (или же глобальный закон взаимности) утверждает, что существует модуль c из K такое, что отображение Артина индуцирует изоморфизм

${\displaystyle I_{K}^{\mathbf {c} }/i(K_{\mathbf {c} ,1})\mathrm {N} _{L/K}(I_{L}^{\mathbf {c} }){\overset {\sim }{\longrightarrow }}\mathrm {Gal} (L/K)}$

куда K_c,1 это луч по модулю c, N_L/K карта нормы, связанная с L/K и ${\displaystyle I_{L}^{\mathbf {c} }}$ это дробные идеалы L премьер к c. Такой модуль c называется определяющий модуль для L/K. Наименьший определяющий модуль называется дирижер L/K и обычно обозначается ${\displaystyle {\mathfrak {f}}(L/K).}$

Примеры

Квадратичные поля

Если ${\displaystyle d\neq 1}$ это бесквадратное целое, ${\displaystyle K=\mathbb {Q} ,}$ и ${\displaystyle L=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$, тогда ${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/\mathbb {Q} )}$ можно отождествить с {± 1}. Дискриминант Δ L над ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ является d или 4d в зависимости от того, d ≡ 1 (мод 4) или нет. Затем определяется отображение Артина на простых числах п которые не делят Δ на

${\displaystyle p\mapsto \left({\frac {\Delta }{p}}\right)}$

куда ${\displaystyle \left({\frac {\Delta }{p}}\right)}$ это Символ Кронекера.^[9] Точнее, дирижер ${\displaystyle L/\mathbb {Q} }$ является главным идеалом (Δ) или (Δ) ∞ в зависимости от того, является ли Δ положительным или отрицательным,^[10] и отображение Артина на простом идеале (п) задается символом Кронекера ${\displaystyle \left({\frac {\Delta }{n}}\right).}$ Это показывает, что простое число п расщеплен или инертен в L согласно ли ${\displaystyle \left({\frac {\Delta }{p}}\right)}$ равно 1 или -1.

Циклотомические поля

Позволять м > 1 может быть целым нечетным числом или кратным 4, пусть ${\displaystyle \zeta _{m}}$ быть примитивный мй корень единства, и разреши ${\displaystyle L=\mathbb {Q} (\zeta _{m})}$ быть мth круговое поле. ${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/\mathbb {Q} )}$ можно отождествить с ${\displaystyle (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}$ отправив σ в а_σ дано правилом

${\displaystyle \sigma (\zeta _{m})=\zeta _{m}^{a_{\sigma }}.}$

Дирижер ${\displaystyle L/\mathbb {Q} }$ является (м)∞,^[11] и карту Артина на простомм идеальный (п) просто п (мод м) в ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }.}$^[12]

Связь с квадратичной взаимностью

Позволять п и ${\displaystyle \ell }$ быть различными нечетными простыми числами. Для удобства пусть ${\displaystyle \ell ^{*}=(-1)^{\frac {\ell -1}{2}}\ell }$ (который всегда равен 1 (mod 4)). Тогда квадратичная взаимность утверждает, что

${\displaystyle \left({\frac {\ell ^{*}}{p}}\right)=\left({\frac {p}{\ell }}\right).}$

Связь между квадратичным и Артиновым законами взаимности устанавливается путем изучения квадратичного поля ${\displaystyle F=\mathbb {Q} ({\sqrt {\ell ^{*}}})}$ и круговое поле ${\displaystyle L=\mathbb {Q} (\zeta _{\ell })}$ следующее.^[9] Первый, F является подполем L, так что если ЧАС = Гал (L/F) и ${\displaystyle G=\operatorname {Gal} (L/\mathbb {Q} ),}$ тогда ${\displaystyle \operatorname {Gal} (F/\mathbb {Q} )=G/H.}$ Поскольку последний имеет порядок 2, подгруппа ЧАС должна быть группа квадратов в ${\displaystyle (\mathbb {Z} /\ell \mathbb {Z} )^{\times }.}$ Основное свойство символа Артина гласит, что для каждого идеала, равного от простого числа (п)

${\displaystyle \left({\frac {F/\mathbb {Q} }{(n)}}\right)=\left({\frac {L/\mathbb {Q} }{(n)}}\right){\pmod {H}}.}$

Когда п = п, это показывает, что ${\displaystyle \left({\frac {\ell ^{*}}{p}}\right)=1}$ если и только если, п по модулю ℓ находится в ЧАС, т.е. тогда и только тогда, когда, п квадрат по модулю.

Заявление с точки зрения L-функции

Альтернативный вариант закона взаимности, приводящий к Программа Langlands, соединяет Артина L-функции связанных с абелевыми расширениями числовое поле с L-функциями Гекке, ассоциированными с персонажами группы idèle.^[13]

А Гекке персонаж (или Größencharakter) числового поля K определяется как квазихарактер группы idèle класса K. Роберт Лэнглендс интерпретировал персонажей Гекке как автоморфные формы на редуктивная алгебраическая группа GL(1) над кольцо аделей из K.^[14]

Позволять ${\displaystyle E/K}$ абелево расширение Галуа с Группа Галуа грамм. Тогда для любого персонаж ${\displaystyle \sigma :G\to \mathbb {C} ^{\times }}$ (т.е. одномерный комплекс представление группы грамм) существует персонаж Гекке ${\displaystyle \chi }$ из K такой, что

${\displaystyle L_{E/K}^{\mathrm {Artin} }(\sigma ,s)=L_{K}^{\mathrm {Hecke} }(\chi ,s)}$

где левая часть - это L-функция Артина, связанная с расширением с характером σ, а правая часть - это L-функция Гекке, связанная с χ, раздел 7.D документа.^[14]

Формулировка закона взаимности Артина как равенства L-функции позволяют сформулировать обобщение на п-мерные представления, хотя прямого соответствия все еще нет.

Примечания

1. Хельмут Хассе, История теории поля классов, в Алгебраическая теория чисел, под редакцией Кассельса и Фрелиха, Academic Press, 1967, стр. 266–279.
2. Нойкирх (1999) с.391
3. Юрген Нойкирх, Algebraische Zahlentheorie, Springer, 1992, стр. 408. Фактически, более точная версия закона взаимности отслеживает разветвление.
4. Серр (1967) стр.140
5. Серр (1979) стр.197
6. Серр (1979) стр.164
7. Юрген Нойкирх, Algebraische Zahlentheorie, Springer, 1992, Глава VII.
8. Артин, Эмиль (Декабрь 1929 г.), "Idealklassen in oberkörpern und allgemeines reziprozitätsgesetz", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg, 7 (1): 46–51, Дои:10.1007 / BF02941159.
9. Леммермейер 2000, §3.2
10. Милн 2008, пример 3.11
11. Милн 2008, пример 3.10
12. Милн 2008, пример 3.2
13. Джеймс Милн, Теория поля классов
14. Гелбарт, Стивен С. (1975), Автоморфные формы на группах аделей, Анналы математических исследований, 83, Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета, МИСТЕР  0379375.

Рекомендации

• Эмиль Артин (1924) "Uber eine neue Art von L-Reihen", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg 3: 89–108; Сборник статей, Эддисон Уэсли (1965), 105–124
• Эмиль Артин (1927) "Beweis des allgemeinen Reziprozitätsgesetzes", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg 5: 353–363; Сборник статей, 131–141
• Эмиль Артин (1930) "Idealklassen in Oberkörpern und allgemeines Reziprozitätsgesetzes", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg 7: 46–51; Сборник статей, 159–164
• Фрей, Гюнтер (2004), «К истории закона взаимности Артина в абелевых расширениях полей алгебраических чисел: как Артин пришел к своему закону взаимности», в Олаве Арнфинне Лаудале; Рагни Пиене (ред.), Наследие Нильса Хенрика Абеля. Доклады конференции, посвященной двухсотлетию Абеля, Университет Осло, Осло, Норвегия, 3-8 июня 2002 г., Берлин: Springer-Verlag, стр. 267–294, ISBN  978-3-540-43826-7, МИСТЕР  2077576, Zbl  1065.11001
• Януш, Джеральд (1973), Поля алгебраических чисел, Чистая и прикладная математика, 55, Academic Press, ISBN  0-12-380250-4
• Ланг, Серж (1994), Алгебраическая теория чисел, Тексты для выпускников по математике, 110 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-94225-4, МИСТЕР  1282723
• Леммермейер, Франц (2000), Законы взаимности: от Эйлера до Эйзенштейна, Монографии Springer по математике, Берлин: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-66957-9, МИСТЕР  1761696, Zbl  0949.11002
• Милн, Джеймс (2008), Теория поля классов (v4.0 изд.), получено 2010-02-22
• Нойкирх, Юрген (1999), Алгебраическая теория чисел, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 322, Перевод с немецкого Норберта Шаппахера, Берлин: Springer-Verlag, ISBN  3-540-65399-6, Zbl  0956.11021
• Серр, Жан-Пьер (1979), Местные поля, Тексты для выпускников по математике, 67, переведено Гринберг, Марвин Джей, Нью-Йорк, Гейдельберг, Берлин: Springer-Verlag, ISBN  3-540-90424-7, Zbl  0423.12016
• Серр, Жан-Пьер (1967), "VI. Локальная теория поля классов", в Касселс, J.W.S.; Фрёлих, А. (ред.), Алгебраическая теория чисел. Материалы учебной конференции, организованной Лондонским математическим обществом (Институтом перспективных исследований НАТО) при поддержке Международного математического союза, Лондон: Academic Press, стр. 128–161, Zbl  0153.07403
• Тейт, Джон (1967), "VII. Глобальная теория поля классов", в Касселс, J.W.S.; Фрёлих, А. (ред.), Алгебраическая теория чисел. Материалы учебной конференции, организованной Лондонским математическим обществом (Институтом перспективных исследований НАТО) при поддержке Международного математического союза, Лондон: Academic Press, стр. 162–203, Zbl  0153.07403