Кольцо Adele - Adele ring

В математика, то адель кольцо из глобальное поле (также аделическое кольцо, кольцо аделей или же кольцо адель^[1]) является центральным объектом теория поля классов, филиал алгебраическая теория чисел. Это ограниченный продукт из всех завершение глобального поля, и является примером самодуального топологическое кольцо.

Кольцо аделей позволяет элегантно описать Закон взаимности Артина, что является обширным обобщением квадратичная взаимность, и другие законы взаимности над конечными полями. Кроме того, это классическая теорема из Weil который ${\displaystyle G}$-бандлы на алгебраическая кривая над конечным полем можно описать в терминах аделей для восстановительная группа ${\displaystyle G}$.

Определение

Позволять ${\displaystyle K}$ быть глобальное поле (конечное расширение ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ или функциональное поле кривой ИКС/F_q над конечным полем). В адель кольцо из ${\displaystyle K}$ это подкольцо

${\displaystyle \mathbf {A} _{K}\ =\ \prod (K_{\nu },{\mathcal {O}}_{\nu })\ \subseteq \ \prod K_{\nu }}$

состоящий из кортежей ${\displaystyle (a_{\nu })}$ куда ${\displaystyle a_{\nu }}$ лежит в подкольце ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\nu }\subset K_{\nu }}$ для всех, кроме конечного множества места ${\displaystyle \nu }$. Здесь индекс ${\displaystyle \nu }$ колеблется во всех оценки глобального поля ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle K_{\nu }}$ это завершение при этой оценке и ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\nu }}$ в оценочное кольцо.

Мотивация

Одна из стоящих перед нами технических проблем, которую решает введение кольца аделей, - это проблема «проведения» анализа рациональных чисел. ${\displaystyle \mathbf {Q} }$. «Классическое» решение, которым раньше пользовались люди, заключалось в том, чтобы перейти к завершению. ${\displaystyle \mathbf {R} }$ и использовать там аналитические методы. Но, как выяснилось позже, есть еще много абсолютные значения кроме Евклидово расстояние, по одному на каждое простое число ${\displaystyle p\in \mathbf {Z} }$, как было классифицировано Островский. Поскольку евклидово абсолютное значение, обозначенное ${\displaystyle |\cdot |_{\infty }}$, только один из многих, ${\displaystyle |\cdot |_{p}}$кольцо аделей позволяет найти компромисс и использовать все оценки сразу. Это дает возможность получить доступ к аналитическим методам, а также сохранить информацию о простых числах, поскольку их структура встроена в ограниченное бесконечное произведение.

Почему продукт с ограничениями?

В ограниченный бесконечный продукт обязательное техническое условие для предоставления числового поля ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ решетчатая структура внутри ${\displaystyle \mathbf {A} _{\mathbf {Q} }}$, что позволяет построить теорию анализа Фурье в адельной постановке. Это полностью аналогично ситуации в теории алгебраических чисел, когда кольцо целых чисел поля алгебраических чисел вкладывает

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}\hookrightarrow K}$

как решетка. Благодаря мощи новой теории анализа Фурье, Тейт смог доказать особый класс L-функции и Дзета-функции Дедекинда мы мероморфный Еще одну естественную причину выполнения этого технического условия можно увидеть непосредственно, построив кольцо аделей как тензорное произведение колец. Если определить кольцо целых аделей ${\displaystyle \mathbf {A} _{\mathbf {Z} }}$ как кольцо

${\displaystyle \mathbf {A} _{\mathbf {Z} }=\mathbf {R} \times {\hat {\mathbf {Z} }}=\mathbf {R} \times \prod _{p}\mathbf {Z} _{p}}$

то кольцо аделей можно эквивалентно определить как

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} _{\mathbf {Q} }&=\mathbf {Q} \otimes _{\mathbf {Z} }\mathbf {A} _{\mathbf {Z} }\\&=\mathbf {Q} \otimes _{\mathbf {Z} }\left(\mathbf {R} \times \prod _{p}\mathbf {Z} _{p}\right)\end{aligned}}}$

Ограниченная структура продукта становится прозрачной после просмотра явных элементов в этом кольце. Если взять рациональное число ${\displaystyle b/c\in \mathbf {Q} }$ мы нашли ${\displaystyle c=p_{1}^{k_{1}}\cdots p_{n}^{k_{n}}}$. Для любого кортежа ${\displaystyle (a_{p})\in \mathbf {R} \times {\hat {\mathbf {Z} }}}$ имеем следующую серию равенств

${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {b}{c}}\right)\otimes (r,(a_{p}))&=b\otimes \left({\frac {r}{c}},{\frac {1}{c}}(a_{p})\right)\\&=b\otimes \left({\frac {r}{c}},\left({\frac {a_{p}}{c}}\right)\right)\\\end{aligned}}}$

Тогда для любого ${\displaystyle p\notin \{p_{1},\ldots ,p_{k}\}}$ У нас все еще есть ${\displaystyle a_{p}/c\in \mathbf {Z} _{p}}$ за ${\displaystyle a_{p}\in \mathbf {Z} _{p}}$, но для ${\displaystyle p\in \{p_{1},\ldots ,p_{k}\}}$ ${\displaystyle a_{p}/c\in \mathbf {Q} _{p}}$ поскольку существует обратная степень ${\displaystyle p}$. Это показывает, что любой элемент в этом новом кольце аделей может иметь элемент в ${\displaystyle \mathbf {Q} _{p}}$ только в конечном множестве мест ${\displaystyle p}$.

Происхождение названия

В теории поля локальных классов центральную роль играет группа единиц локального поля. В теории глобального поля классов группа классов иделей берет на себя эту роль. Термин «иделе» (Французский: идель) - изобретение французского математика Клод Шевалле (1909–1984) и означает «идеальный элемент» (сокращенно: id.el.). Термин «адель» (Адель) обозначает аддитивный идель.

Идея кольца аделей состоит в том, чтобы рассматривать все дополнения ${\displaystyle K}$ однажды. На первый взгляд, декартово произведение может быть хорошим кандидатом. Однако кольцо аделей определяется с помощью ограниченного произведения. На это есть две причины:

• Для каждого элемента ${\displaystyle K}$ оценки равны нулю почти для всех мест, т. е. для всех мест, кроме конечного числа. Таким образом, глобальное поле может быть встроено в ограниченный продукт.

• Ограниченное произведение - это локально компактное пространство, а декартово произведение - нет. Следовательно, мы не можем применять гармонический анализ в декартово произведение.

Примеры

Кольцо аделей для рациональных чисел

Рациональные K =Q иметь оценку для каждого простого числа п, причем (K_ν, O_ν)=(Q_п,Z_п), и одна бесконечная оценка ∞ с Q_∞=р. Таким образом, элемент

${\displaystyle \mathbf {A} _{\mathbf {Q} }\ =\ \mathbf {R} \times \prod _{p}(\mathbf {Q} _{p},\mathbf {Z} _{p})}$

это действительное число вместе с п-адический рациональный для каждого п из которых почти все, кроме конечного п-адические целые числа.

Кольцо аделей для функционального поля проективной прямой

Во-вторых, возьмем функциональное поле K =F_q(п¹)=F_q(т) из проективная линия над конечным полем. Его оценки соответствуют баллам Икс из Икс=п¹, т.е. карты над Spec F_q

${\displaystyle x\ :\ {\text{Spec}}\mathbf {F} _{q^{n}}\ \longrightarrow \ \mathbf {P} ^{1}.}$

Например, есть д + 1 точки вида SpecF_q → п¹. В этом случае О_ν= Ô_{Х, х} завершенный стебель структурная связка в Икс (т.е. функции в формальной окрестности Икс) и K_ν= K_{Х, х} - его поле дробей. Таким образом

${\displaystyle \mathbf {A} _{\mathbf {F} _{q}(\mathbf {P} ^{1})}\ =\ \prod _{x\in X}({\mathcal {K}}_{X,x},{\widehat {\mathcal {O}}}_{X,x}).}$

То же самое верно для любой гладкой собственной кривой ИКС/F_q над конечным полем, причем ограниченное произведение по всем точкам x∈X.

Связанные понятия

Группа единиц в кольце аделей называется группа иделей

${\displaystyle I_{K}\ =\ \mathbf {A} _{K}^{\times }.}$

Фактор иделей по подгруппе K^×⊆Я_K называется группа классов иделей

${\displaystyle C_{K}\ =\ I_{K}/K^{\times }.}$

В интегральные адели Подкольцо

${\displaystyle \mathbf {O} _{K}\ =\ \prod O_{\nu }\ \subseteq \ \mathbf {A} _{K}.}$

Приложения

Заявление о взаимности Артина

В Закон взаимности Артина говорит, что для глобального поля K,

${\displaystyle {\widehat {C_{K}}}={\widehat {\mathbf {A} _{K}^{\times }/K^{\times }}}\ \simeq \ {\text{Gal}}(K^{\text{ab}}/K)}$

куда K^ab является максимальным абелевым алгебраическим расширением K и ${\displaystyle {\widehat {(\dots )}}}$ означает безграничное пополнение группы.

Даем адельную формулировку группы Пикара кривой

Если ИКС/F_q является гладкой собственной кривой, то ее Группа Пикард является^[2]

${\displaystyle {\text{Pic}}(X)\ =\ K^{\times }\backslash \mathbf {A} _{X}^{\times }/\mathbf {O} _{X}^{\times }}$

и его группа дивизоров Div (X)=А_K^×/О_K^×. Аналогично, если грамм является полупростой алгебраической группой (например, SL_п, это также верно для GL_п) тогда Униформа Вайля Говорит, что^[3]

${\displaystyle {\text{Bun}}_{G}(X)\ =\ G(K)\backslash G(\mathbf {A} _{X})/G(\mathbf {O} _{X}).}$

Применяя это к G =грамм_м дает результат на группе Пикара.

Тезис Тейта

Есть топология на А_K для которого частное А_K/K компактен, что позволяет проводить на нем гармонический анализ. Джон Тейт в своей диссертации «Анализ Фурье в числовых полях и дзета-функциях Геккеса»^[4] доказал результаты о L-функциях Дирихле с помощью анализа Фурье на кольце аделей и группе иделей. Таким образом, кольцо аделей и группа иделей были применены для изучения дзета-функции Римана и более общих дзета-функций и L-функций.

Доказательство двойственности Серра на гладкой кривой

Если Икс гладкая собственная кривая над комплексными числами, можно определить адели его функционального поля C(Икс) точно так же, как и в случае конечных полей. Джон Тейт доказано^[5] который Двойственность Серра на Икс

${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {L}})\ \simeq \ H^{0}(X,\Omega _{X}\otimes {\mathcal {L}}^{-1})^{*}}$

можно вывести, работая с этим кольцом аделей А_C(Икс). Здесь L это линейный пакет на Икс.

Обозначения и основные определения

Глобальные поля

В этой статье ${\displaystyle K}$ это глобальное поле, что означает, что это либо числовое поле (конечное расширение ${\displaystyle \mathbb {Q} }$) или поле глобальной функции (конечное расширение ${\displaystyle \mathbb {F} _{p^{r}}(t)}$ за ${\displaystyle p}$ премьер и ${\displaystyle r\in \mathbb {N} }$). По определению конечное расширение глобального поля само является глобальным полем.

Оценки

Для оценка ${\displaystyle v}$ из ${\displaystyle K}$ мы пишем ${\displaystyle K_{v}}$ для завершения ${\displaystyle K}$ относительно ${\displaystyle v.}$ Если ${\displaystyle v}$ дискретно пишем ${\displaystyle O_{v}}$ для оценочного кольца ${\displaystyle K_{v}}$ и ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{v}}$ для максимального идеала ${\displaystyle O_{v}.}$ Если это главный идеал, то обозначим униформизирующий элемент через ${\displaystyle \pi _{v}.}$ Неархимедова оценка записывается как ${\displaystyle v<\infty }$ или же ${\displaystyle v\nmid \infty }$ и оценка Архимеда как ${\displaystyle v|\infty .}$ Мы предполагаем, что все оценки нетривиальны.

Существует взаимно однозначная идентификация оценок и абсолютных значений. Исправьте константу ${\displaystyle C>1,}$ оценка ${\displaystyle v}$ присваивается абсолютное значение ${\displaystyle |\cdot |_{v},}$ определяется как:

${\displaystyle \forall x\in K:\quad |x|_{v}:={\begin{cases}C^{-v(x)}&x\neq 0\\0&x=0\end{cases}}}$

И наоборот, абсолютное значение ${\displaystyle |\cdot |}$ присвоена оценка ${\displaystyle v_{|\cdot |},}$ определяется как:

${\displaystyle \forall x\in K^{\times }:\quad v_{|\cdot |}(x):=-\log _{C}(|x|).}$

А место из ${\displaystyle K}$ является представителем класса эквивалентности оценки (или абсолютные значения) ${\displaystyle K.}$ Места, соответствующие неархимедовым оценкам, называются конечными, тогда как места, соответствующие архимедовым оценкам, называются бесконечными. Множество бесконечных мест глобального поля конечно, обозначим это множество через ${\displaystyle P_{\infty }.}$

Определять ${\displaystyle \textstyle {\widehat {O}}:=\prod _{v<\infty }O_{v}}$ и разреши ${\displaystyle {\widehat {O}}^{\times }}$ быть его группой единиц. потом ${\displaystyle \textstyle {\widehat {O}}^{\times }=\prod _{v<\infty }O_{v}^{\times }.}$

Конечные расширения

Позволять ${\displaystyle L/K}$ - конечное расширение глобального поля ${\displaystyle K.}$ Позволять ${\displaystyle w}$ быть местом ${\displaystyle L}$ и ${\displaystyle v}$ место ${\displaystyle K.}$ Мы говорим ${\displaystyle w}$ лежит выше ${\displaystyle v,}$ обозначается ${\displaystyle w|v,}$ если абсолютное значение ${\displaystyle |\cdot |_{w}}$ ограниченный ${\displaystyle K}$ находится в классе эквивалентности ${\displaystyle v.}$ Определять

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{v}&:=\prod _{w|v}L_{w},\\{\widetilde {O_{v}}}&:=\prod _{w|v}O_{w}.\end{aligned}}}$

Обратите внимание, что оба продукта конечны.

Если ${\displaystyle w|v}$ мы можем встроить ${\displaystyle K_{v}}$ в ${\displaystyle L_{w}.}$ Следовательно, мы можем вставить ${\displaystyle K_{v}}$ по диагонали в ${\displaystyle L_{v}.}$ С этим вложением ${\displaystyle L_{v}}$ коммутативная алгебра над ${\displaystyle K_{v}}$ со степенью

${\displaystyle \sum _{w|v}[L_{w}:K_{v}]=[L:K].}$

Кольцо аделей

Набор конечные адели глобального поля ${\displaystyle K,}$ обозначенный ${\displaystyle \mathbb {A} _{K,{\text{fin}}},}$ определяется как ограниченный продукт ${\displaystyle K_{v}}$ с уважением к ${\displaystyle O_{v}:}$

${\displaystyle \mathbb {A} _{K,{\text{fin}}}:={\prod _{v<\infty }}^{'}K_{v}=\left\{\left.(x_{v})_{v}\in \prod _{v<\infty }K_{v}\right|x_{v}\in O_{v}{\text{ for almost all }}v\right\}.}$

Он снабжен топологией ограниченного продукта, топологией, создаваемой ограниченными открытыми прямоугольниками, которые имеют следующий вид:

${\displaystyle U=\prod _{v\in E}U_{v}\times \prod _{v\notin E}O_{v}\subset {\prod _{v<\infty }}^{'}K_{v},}$

куда ${\displaystyle E}$ - конечное множество (конечных) мест и ${\displaystyle U_{v}\subset K_{v}}$ открыты. С покомпонентным сложением и умножением ${\displaystyle \mathbb {A} _{K,{\text{fin}}}}$ тоже кольцо.

В кольцо аделей глобального поля ${\displaystyle K}$ определяется как продукт ${\displaystyle \mathbb {A} _{K,{\text{fin}}}}$ с продуктом доработок ${\displaystyle K}$ в его бесконечных местах. Число бесконечных мест конечно, а пополнения либо ${\displaystyle \mathbb {R} }$ или же ${\displaystyle \mathbb {C} .}$ Короче:

${\displaystyle \mathbb {A} _{K}:=\mathbb {A} _{K,{\text{fin}}}\times \prod _{v|\infty }K_{v}={\prod _{v<\infty }}^{'}K_{v}\times \prod _{v|\infty }K_{v}.}$

Если сложение и умножение определены как покомпонентно, кольцо аделей является кольцом. Элементы кольца аделей называются адели ${\displaystyle K.}$ Далее мы пишем

${\displaystyle \mathbb {A} _{K}={\prod _{v}}^{'}K_{v},}$

хотя обычно это не ограниченный продукт.

Замечание. Поля глобальных функций не имеют бесконечных мест, и поэтому конечное кольцо аделей равно кольцу аделей.

Лемма. Есть естественное вложение ${\displaystyle K}$ в ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$ задано диагональной картой: ${\displaystyle a\mapsto (a,a,\ldots ).}$

Доказательство. Если ${\displaystyle a\in K,}$ тогда ${\displaystyle a\in O_{v}^{\times }}$ почти для всех ${\displaystyle v.}$ Это показывает, что карта четко определена. Это также инъективно, потому что вложение ${\displaystyle K}$ в ${\displaystyle K_{v}}$ инъективен для всех ${\displaystyle v.}$

Замечание. Определив ${\displaystyle K}$ с изображением под диагональной картой мы рассматриваем его как подкольцо ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}.}$ Элементы ${\displaystyle K}$ называются главные адели из ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}.}$

Определение. Позволять ${\displaystyle S}$ быть набором мест ${\displaystyle K.}$ Определить набор ${\displaystyle S}$-адель ${\displaystyle K}$ в качестве

${\displaystyle \mathbb {A} _{K,S}:={\prod _{v\in S}}^{'}K_{v}.}$

Кроме того, если мы определим

${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{S}:={\prod _{v\notin S}}^{'}K_{v}}$

у нас есть: ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}=\mathbb {A} _{K,S}\times \mathbb {A} _{K}^{S}.}$

Кольцо аделей рациональных чисел

К Теорема Островского места ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ находятся ${\displaystyle \{p\in \mathbb {N} :p{\text{ prime}}\}\cup \{\infty \},}$ где мы определяем простое число ${\displaystyle p}$ с классом эквивалентности ${\displaystyle p}$-адическая абсолютная величина и ${\displaystyle \infty }$ с классом эквивалентности модуля ${\displaystyle |\cdot |_{\infty }}$ определяется как:

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {Q} :\quad |x|_{\infty }:={\begin{cases}x&x\geq 0\\-x&x<0\end{cases}}}$

Завершение ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ по отношению к месту ${\displaystyle p}$ является ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ с оценочным кольцом ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}.}$ Для места ${\displaystyle \infty }$ завершение ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ Таким образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {A} _{\mathbb {Q} ,{\text{fin}}}&={\prod _{p<\infty }}^{'}\mathbb {Q} _{p}\\\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }&=\left({\prod _{p<\infty }}^{'}\mathbb {Q} _{p}\right)\times \mathbb {R} \end{aligned}}}$

Или для краткости

${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }={\prod _{p\leq \infty }}^{'}\mathbb {Q} _{p},\qquad \mathbb {Q} _{\infty }:=\mathbb {R} .}$

Мы проиллюстрируем разницу между ограниченной и неограниченной топологией продукта, используя последовательность в ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }}$:

Лемма. Рассмотрим следующую последовательность в ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=\left({\frac {1}{2}},1,1,\ldots \right)\\x_{2}&=\left(1,{\frac {1}{3}},1,\ldots \right)\\x_{3}&=\left(1,1,{\frac {1}{5}},1,\ldots \right)\\x_{4}&=\left(1,1,1,{\frac {1}{7}},1,\ldots \right)\\&\vdots \end{aligned}}}$

В топологии продукта он сходится к ${\displaystyle (1,1,\ldots ).}$ Он не сходится в ограниченной топологии продукта.

Доказательство. В топологии продукта сходимость соответствует сходимости по каждой координате, которая тривиальна, поскольку последовательности становятся стационарными. Последовательность не сходится в ограниченной топологии продукта для каждой адели ${\displaystyle a=(a_{p})_{p}\in \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }}$ и для каждого ограниченного открытого прямоугольника ${\displaystyle \textstyle U=\prod _{p\in E}U_{p}\times \prod _{p\notin E}\mathbb {Z} _{p},}$ у нас есть: ${\displaystyle {\tfrac {1}{p}}-a_{p}\notin \mathbb {Z} _{p}}$ за ${\displaystyle a_{p}\in \mathbb {Z} _{p}}$ и поэтому ${\displaystyle {\tfrac {1}{p}}-a_{p}\notin \mathbb {Z} _{p}}$ для всех ${\displaystyle p\notin F.}$ Как результат ${\displaystyle x_{n}-a\notin U}$ почти для всех ${\displaystyle n\in \mathbb {N} .}$ В связи с этим ${\displaystyle E}$ и ${\displaystyle F}$ - конечные подмножества множества всех мест.

Альтернативное определение числовых полей

Определение (проконечные целые числа ). Мы определяем проконечные целые числа как бесконечное завершение колец ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ с частичным порядком ${\displaystyle n\geq m\Leftrightarrow m|n,}$ т.е.

${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}:=\varprojlim _{n}\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ,}$

Лемма. ${\displaystyle \textstyle {\widehat {\mathbb {Z} }}\cong \prod _{p}\mathbb {Z} _{p}.}$

Доказательство. Это следует из китайской теоремы об остатках.

Лемма. ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} ,{\text{fin}}}={\widehat {\mathbb {Z} }}\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} .}$

Доказательство. Воспользуемся универсальным свойством тензорного произведения. Определить ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-билинейная функция

${\displaystyle {\begin{cases}\Psi :{\widehat {\mathbb {Z} }}\times \mathbb {Q} \to \mathbb {A} _{\mathbb {Q} ,{\text{fin}}}\\\left((a_{p})_{p},q\right)\mapsto (a_{p}q)_{p}\end{cases}}}$

Это хорошо определено, потому что для данного ${\displaystyle q={\tfrac {m}{n}}\in \mathbb {Q} }$ с ${\displaystyle m,n}$ co-prime есть только конечное число простых чисел, делящих ${\displaystyle n.}$ Позволять ${\displaystyle M}$ быть другим ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-модуль с ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-билинейная карта ${\displaystyle \Phi :{\widehat {\mathbb {Z} }}\times \mathbb {Q} \to M.}$ Мы должны показать ${\displaystyle \Phi }$ факторы через ${\displaystyle \Psi }$ однозначно, т.е. существует единственное ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-линейная карта ${\displaystyle {\tilde {\Phi }}:\mathbb {A} _{\mathbb {Q} ,{\text{fin}}}\to M}$ такой, что ${\displaystyle \Phi ={\tilde {\Phi }}\circ \Psi .}$ Мы определяем ${\displaystyle {\tilde {\Phi }}}$ следующим образом: для данного ${\displaystyle (u_{p})_{p}}$ существуют ${\displaystyle u\in \mathbb {N} }$ и ${\displaystyle (v_{p})_{p}\in {\widehat {\mathbb {Z} }}}$ такой, что ${\displaystyle u_{p}={\tfrac {1}{u}}\cdot v_{p}}$ для всех ${\displaystyle p.}$ Определять ${\displaystyle {\tilde {\Phi }}((u_{p})_{p}):=\Phi ((v_{p})_{p},{\tfrac {1}{u}}).}$ Можно показать ${\displaystyle {\tilde {\Phi }}}$ четко определено, ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-линейный, удовлетворяет ${\displaystyle \Phi ={\tilde {\Phi }}\circ \Psi }$ и уникален этими свойствами.

Следствие. Определять ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Z} }:={\widehat {\mathbb {Z} }}\times \mathbb {R} .}$ Тогда мы имеем алгебраический изоморфизм ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }\cong \mathbb {A} _{\mathbb {Z} }\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} .}$

Доказательство. ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Z} }\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} =\left({\widehat {\mathbb {Z} }}\times \mathbb {R} \right)\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} \cong \left({\widehat {\mathbb {Z} }}\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} \right)\times (\mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} )\cong \left({\widehat {\mathbb {Z} }}\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} \right)\times \mathbb {R} =\mathbb {A} _{\mathbb {Q} ,{\text{fin}}}\times \mathbb {R} =\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }.}$

Лемма. Для числового поля ${\displaystyle K,\mathbb {A} _{K}=\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }\otimes _{\mathbb {Q} }K.}$

Замечание. С помощью ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }\otimes _{\mathbb {Q} }K\cong \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }\oplus \dots \oplus \mathbb {A} _{\mathbb {Q} },}$ где есть ${\displaystyle [K:\mathbb {Q} ]}$ слагаемых, мы задаем топологию произведения в правой части и переносим эту топологию через изоморфизм на ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }\otimes _{\mathbb {Q} }K.}$

Кольцо аделей конечного расширения

Если ${\displaystyle L/K}$ - конечное расширение, то ${\displaystyle L}$ является глобальным полем и, следовательно, ${\displaystyle \mathbb {A} _{L}}$ определяется и ${\displaystyle \textstyle \mathbb {A} _{L}={\prod _{v}}^{'}L_{v}.}$ Мы утверждаем ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$ можно отождествить с подгруппой ${\displaystyle \mathbb {A} _{L}.}$ карта ${\displaystyle a=(a_{v})_{v}\in \mathbb {A} _{K}}$ к ${\displaystyle a'=(a'_{w})_{w}\in \mathbb {A} _{L}}$ куда ${\displaystyle a'_{w}=a_{v}\in K_{v}\subset L_{w}}$ за ${\displaystyle w|v.}$ потом ${\displaystyle a=(a_{w})_{w}\in \mathbb {A} _{L}}$ находится в подгруппе ${\displaystyle \mathbb {A} _{K},}$ если ${\displaystyle a_{w}\in K_{v}}$ за ${\displaystyle w|v}$ и ${\displaystyle a_{w}=a_{w'}}$ для всех ${\displaystyle w,w'}$ лежащий над тем же местом ${\displaystyle v}$ из ${\displaystyle K.}$

Лемма. Если ${\displaystyle L/K}$ является конечным расширением, то ${\displaystyle \mathbb {A} _{L}\cong \mathbb {A} _{K}\otimes _{K}L}$ как алгебраически, так и топологически.

С помощью этого изоморфизма включение ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}\subset \mathbb {A} _{L}}$ дан кем-то

${\displaystyle {\begin{cases}\mathbb {A} _{K}\to \mathbb {A} _{L}\\\alpha \mapsto \alpha \otimes _{K}1\end{cases}}}$

Кроме того, главные адели в ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$ можно отождествить с подгруппой главных аделей в ${\displaystyle \mathbb {A} _{L}}$ через карту

${\displaystyle {\begin{cases}K\to (K\otimes _{K}L)\cong L\\\alpha \mapsto 1\otimes _{K}\alpha \end{cases}}}$

Доказательство.^[6] Позволять ${\displaystyle \omega _{1},\ldots ,\omega _{n}}$ быть основой ${\displaystyle L}$ над ${\displaystyle K.}$ Тогда почти для всех ${\displaystyle v,}$

${\displaystyle {\widetilde {O_{v}}}\cong O_{v}\omega _{1}\oplus \cdots \oplus O_{v}\omega _{n}.}$

Кроме того, существуют следующие изоморфизмы:

${\displaystyle K_{v}\omega _{1}\oplus \cdots \oplus K_{v}\omega _{n}\cong K_{v}\otimes _{K}L\cong L_{v}=\prod \nolimits _{w|v}L_{w}}$

Для второго мы использовали карту:

${\displaystyle {\begin{cases}K_{v}\otimes _{K}L\to L_{v}\\\alpha _{v}\otimes a\mapsto (\alpha _{v}\cdot (\tau _{w}(a)))_{w}\end{cases}}}$

в котором ${\displaystyle \tau _{w}:L\to L_{w}}$ каноническое вложение и ${\displaystyle w|v.}$ Мы берем на себя обе стороны ограниченный продукт в отношении ${\displaystyle {\widetilde {O_{v}}}:}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {A} _{K}\otimes _{K}L&=\left({\prod _{v}}^{'}K_{v}\right)\otimes _{K}L\\&\cong {\prod _{v}}^{'}(K_{v}\omega _{1}\oplus \cdots \oplus K_{v}\omega _{n})\\&\cong {\prod _{v}}^{'}(K_{v}\otimes _{K}L)\\&\cong {\prod _{v}}^{'}L_{v}\\&=\mathbb {A} _{L}\end{aligned}}}$

Следствие. Как аддитивные группы ${\displaystyle \mathbb {A} _{L}\cong \mathbb {A} _{K}\oplus \cdots \oplus \mathbb {A} _{K},}$ где правая сторона ${\displaystyle [L:K]}$ слагаемые.

Множество главных аделей в ${\displaystyle \mathbb {A} _{L}}$ отождествляется с множеством ${\displaystyle K\oplus \cdots \oplus K,}$ где на левой стороне ${\displaystyle [L:K]}$ слагаемые и мы рассматриваем ${\displaystyle K}$ как подмножество ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}.}$

Кольцо аделей векторных пространств и алгебр

Лемма. Предполагать ${\displaystyle P\supset P_{\infty }}$ конечное множество мест ${\displaystyle K}$ и определить

${\displaystyle \mathbb {A} _{K}(P):=\prod _{v\in P}K_{v}\times \prod _{v\notin P}O_{v}.}$

Оборудовать ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}(P)}$ с топологией продукта и определите компонентное сложение и умножение. потом ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}(P)}$ является локально компактным топологическим кольцом.

Замечание. Если ${\displaystyle P'}$ это еще один конечный набор мест ${\displaystyle K}$ содержащий ${\displaystyle P}$ тогда ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}(P)}$ открытое подкольцо ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}(P').}$

Теперь мы можем дать альтернативную характеристику кольца аделей. Кольцо аделей - это объединение всех множеств ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}(P)}$:

${\displaystyle \mathbb {A} _{K}=\bigcup _{P\supset P_{\infty },|P|<\infty }\mathbb {A} _{K}(P).}$

Эквивалентно ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$ это набор всех ${\displaystyle x=(x_{v})_{v}}$ так что ${\displaystyle |x_{v}|_{v}\leq 1}$ почти для всех ${\displaystyle v<\infty .}$ Топология ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$ индуцируется требованием, чтобы все ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}(P)}$ быть открытыми подразделениями ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}.}$ Таким образом, ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$ является локально компактным топологическим кольцом.

Исправить место ${\displaystyle v}$ из ${\displaystyle K.}$ Позволять ${\displaystyle P}$ быть конечным множеством мест ${\displaystyle K,}$ содержащий ${\displaystyle v}$ и ${\displaystyle P_{\infty }.}$ Определять

${\displaystyle \mathbb {A} _{K}'(P,v):=\prod _{w\in P\setminus \{v\}}K_{w}\times \prod _{w\notin P}O_{w}.}$

Потом:

${\displaystyle \mathbb {A} _{K}(P)\cong K_{v}\times \mathbb {A} _{K}'(P,v).}$

Кроме того, определим

${\displaystyle \mathbb {A} _{K}'(v):=\bigcup _{P\supset P_{\infty }\cup \{v\}}\mathbb {A} _{K}'(P,v),}$

куда ${\displaystyle P}$ пробегает все конечные множества, содержащие ${\displaystyle P_{\infty }\cup \{v\}.}$ Потом:

${\displaystyle \mathbb {A} _{K}\cong K_{v}\times \mathbb {A} _{K}'(v),}$

через карту ${\displaystyle (a_{w})_{w}\mapsto (a_{v},(a_{w})_{w\neq v}).}$ Вся описанная выше процедура выполняется с конечным подмножеством ${\displaystyle {\widetilde {P}}}$ вместо ${\displaystyle \{v\}.}$

По построению ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}'(v),}$ есть естественное вложение: ${\displaystyle K_{v}\hookrightarrow \mathbb {A} _{K}.}$ Кроме того, существует естественная проекция ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}\twoheadrightarrow K_{v}.}$

Кольцо аделей векторного пространства

Позволять ${\displaystyle E}$ - конечномерное векторное пространство над ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle \{\omega _{1},\ldots ,\omega _{n}\}}$ основа для ${\displaystyle E}$ над ${\displaystyle K.}$ Для каждого места ${\displaystyle v}$ из ${\displaystyle K,}$ мы пишем:

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{v}&:=E\otimes _{K}K_{v}\cong K_{v}\omega _{1}\oplus \cdots \oplus K_{v}\omega _{n}\\{\widetilde {O_{v}}}&:=O_{v}\omega _{1}\oplus \cdots \oplus O_{v}\omega _{n}\end{aligned}}}$

Определим кольцо аделей ${\displaystyle E}$ в качестве

${\displaystyle \mathbb {A} _{E}:={\prod _{v}}^{'}E_{v}.}$

Это определение основано на альтернативном описании кольца аделей как тензорного произведения, снабженного той же топологией, которую мы определили, давая альтернативное определение кольца аделей для числовых полей. Обустраиваем ${\displaystyle \mathbb {A} _{E}}$ с ограниченной топологией продукта. потом ${\displaystyle \mathbb {A} _{E}=E\otimes _{K}\mathbb {A} _{K}}$ и мы можем встроить ${\displaystyle E}$ в ${\displaystyle \mathbb {A} _{E}}$ естественно через карту ${\displaystyle e\mapsto e\otimes 1.}$

Дадим альтернативное определение топологии на ${\displaystyle \mathbb {A} _{E}.}$ Рассмотрим все линейные карты: ${\displaystyle E\to K.}$ Используя естественные вложения ${\displaystyle E\to \mathbb {A} _{E}}$ и ${\displaystyle K\to \mathbb {A} _{K},}$ расширить эти линейные карты до: ${\displaystyle \mathbb {A} _{E}\to \mathbb {A} _{K}.}$ Топология на ${\displaystyle \mathbb {A} _{E}}$ - самая грубая топология, для которой все эти расширения непрерывны.

Мы можем определить топологию по-другому. Крепление основы для ${\displaystyle E}$ над ${\displaystyle K}$ приводит к изоморфизму ${\displaystyle E\cong K^{n}.}$ Поэтому фиксация базиса индуцирует изоморфизм ${\displaystyle (\mathbb {A} _{K})^{n}\cong \mathbb {A} _{E}.}$ Мы снабжаем левую часть топологией произведения и переносим эту топологию с изоморфизмом в правую часть. Топология не зависит от выбора базиса, потому что другой базис определяет второй изоморфизм. Составляя оба изоморфизма, мы получаем линейный гомеоморфизм, который переводит две топологии друг в друга. Более формально

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {A} _{E}&=E\otimes _{K}\mathbb {A} _{K}\\&\cong (K\otimes _{K}\mathbb {A} _{K})\oplus \cdots \oplus (K\otimes _{K}\mathbb {A} _{K})\\&\cong \mathbb {A} _{K}\oplus \cdots \oplus \mathbb {A} _{K}\end{aligned}}}$

где у сумм ${\displaystyle n}$ слагаемые. В случае ${\displaystyle E=L,}$ приведенное выше определение согласуется с результатами об аделевом кольце конечного расширения ${\displaystyle L/K.}$

^[7]

Кольцо аделей алгебры

Позволять ${\displaystyle A}$ - конечномерная алгебра над ${\displaystyle K.}$ Особенно, ${\displaystyle A}$ является конечномерным векторным пространством над ${\displaystyle K.}$ Как следствие, ${\displaystyle \mathbb {A} _{A}}$ определяется и ${\displaystyle \mathbb {A} _{A}\cong \mathbb {A} _{K}\otimes _{K}A.}$ Поскольку у нас есть умножение на ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$ и ${\displaystyle A,}$ мы можем определить умножение на ${\displaystyle \mathbb {A} _{A}}$ через:

${\displaystyle \forall \alpha ,\beta \in \mathbb {A} _{K}{\text{ and }}\forall a,b\in A:\qquad (\alpha \otimes _{K}a)\cdot (\beta \otimes _{K}b):=(\alpha \beta )\otimes _{K}(ab).}$

Как следствие, ${\displaystyle \mathbb {A} _{A}}$ является алгеброй с единицей над ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}.}$ Позволять ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ быть конечным подмножеством ${\displaystyle A,}$ содержащий основу для ${\displaystyle A}$ над ${\displaystyle K.}$ Для любого конечного места ${\displaystyle v}$ мы определяем ${\displaystyle M_{v}}$ как ${\displaystyle O_{v}}$-модуль, созданный ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ в ${\displaystyle A_{v}.}$ Для каждого конечного набора мест ${\displaystyle P\supset P_{\infty },}$ мы определяем

${\displaystyle \mathbb {A} _{A}(P,\alpha )=\prod _{v\in P}A_{v}\times \prod _{v\notin P}M_{v}.}$

Можно показать, что существует конечное множество ${\displaystyle P_{0},}$ так что ${\displaystyle \mathbb {A} _{A}(P,\alpha )}$ это открытое подкольцо ${\displaystyle \mathbb {A} _{A},}$ если ${\displaystyle P\supset P_{0}.}$ более того ${\displaystyle \mathbb {A} _{A}}$ является объединением всех этих подколец и для ${\displaystyle A=K,}$ приведенное выше определение согласуется с определением кольца аделей.

След и норма на кольце аделей

Позволять ${\displaystyle L/K}$ - конечное расширение. С ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}=\mathbb {A} _{K}\otimes _{K}K}$ и ${\displaystyle \mathbb {A} _{L}=\mathbb {A} _{K}\otimes _{K}L}$ из леммы выше мы можем интерпретировать ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$ как закрытое подкольцо ${\displaystyle \mathbb {A} _{L}.}$ Мы пишем ${\displaystyle \operatorname {con} _{L/K}}$ для этого вложения. Явно для всех мест ${\displaystyle w}$ из ${\displaystyle L}$ над ${\displaystyle v}$ и для любого ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {A} _{K},(\operatorname {con} _{L/K}(\alpha ))_{w}=\alpha _{v}\in K_{v}.}$

Позволять ${\displaystyle M/L/K}$ быть башней глобальных полей. Потом:

${\displaystyle \operatorname {con} _{M/K}(\alpha )=\operatorname {con} _{M/L}(\operatorname {con} _{L/K}(\alpha ))\qquad \forall \alpha \in \mathbb {A} _{K}.}$

Кроме того, ограничиваясь главными аделями ${\displaystyle \operatorname {con} }$ это естественная инъекция ${\displaystyle K\to L.}$

Позволять ${\displaystyle \{\omega _{1},\ldots ,\omega _{n}\}}$ быть основой расширения поля ${\displaystyle L/K.}$ Тогда каждый ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {A} _{L}}$ можно записать как ${\displaystyle \textstyle \sum _{j=1}^{n}\alpha _{j}\omega _{j},}$ куда ${\displaystyle \alpha _{j}\in \mathbb {A} _{K}}$ уникальны. Карта ${\displaystyle \alpha \mapsto \alpha _{j}}$ непрерывно. Мы определяем ${\displaystyle \alpha _{ij},}$ в зависимости от ${\displaystyle \alpha ,}$ через уравнения:

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha \omega _{1}&=\sum _{j=1}^{n}\alpha _{1j}\omega _{j}\\&\vdots \\\alpha \omega _{n}&=\sum _{j=1}^{n}\alpha _{nj}\omega _{j}\end{aligned}}}$

Теперь определим след и норму ${\displaystyle \alpha }$ в качестве:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Tr} _{L/K}(\alpha )&:=\operatorname {Tr} ((\alpha _{ij})_{i,j})=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{ii}\\N_{L/K}(\alpha )&:=N((\alpha _{ij})_{i,j})=\det((\alpha _{ij})_{i,j})\end{aligned}}}$

Это след и определитель линейного отображения

${\displaystyle {\begin{cases}\mathbb {A} _{L}\to \mathbb {A} _{L}\\x\mapsto \alpha x\end{cases}}}$

Это непрерывные отображения на кольце аделей, и они удовлетворяют обычным уравнениям:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Tr} _{L/K}(\alpha +\beta )&=\operatorname {Tr} _{L/K}(\alpha )+\operatorname {Tr} _{L/K}(\beta )&&\forall \alpha ,\beta \in \mathbb {A} _{L}\\\operatorname {Tr} _{L/K}(\operatorname {con} (\alpha ))&=n\alpha &&\forall \alpha \in \mathbb {A} _{K}\\N_{L/K}(\alpha \beta )&=N_{L/K}(\alpha )N_{L/K}(\beta )&&\forall \alpha ,\beta \in \mathbb {A} _{L}\\N_{L/K}(\operatorname {con} (\alpha ))&=\alpha ^{n}&&\forall \alpha \in \mathbb {A} _{K}\end{aligned}}}$

Кроме того, для ${\displaystyle \alpha \in L,}$${\displaystyle \operatorname {Tr} _{L/K}(\alpha )}$ и ${\displaystyle N_{L/K}(\alpha )}$ идентичны следу и норме расширения поля ${\displaystyle L/K.}$ Для башни полей ${\displaystyle M/L/K,}$ у нас есть:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Tr} _{L/K}(\operatorname {Tr} _{M/L}(\alpha ))&=\operatorname {Tr} _{M/K}(\alpha )&&\forall \alpha \in \mathbb {A} _{M}\\N_{L/K}(N_{M/L}(\alpha ))&=N_{M/K}(\alpha )&&\forall \alpha \in \mathbb {A} _{M}\end{aligned}}}$

Более того, можно доказать, что:^[8]

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Tr} _{L/K}(\alpha )&=\left(\sum _{w|v}\operatorname {Tr} _{L_{w}/K_{v}}(\alpha _{w})\right)_{v}&&\forall \alpha \in \mathbb {A} _{L}\\N_{L/K}(\alpha )&=\left(\prod _{w|v}N_{L_{w}/K_{v}}(\alpha _{w})\right)_{v}&&\forall \alpha \in \mathbb {A} _{L}\end{aligned}}}$

Свойства кольца аделей

Теорема.^[9] Для каждого набора мест ${\displaystyle S,\mathbb {A} _{K,S}}$ является локально компактным топологическим кольцом.

Замечание. Приведенный выше результат верен также для кольца аделей векторных пространств и алгебр над ${\displaystyle K.}$

Теорема.^[10] ${\displaystyle K}$ дискретна и компактна в ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}.}$ Особенно, ${\displaystyle K}$ закрыт в ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}.}$

Доказательство. Докажем случай ${\displaystyle K=\mathbb {Q} .}$ Показывать ${\displaystyle \mathbb {Q} \subset \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }}$ дискретно, достаточно показать существование окрестности точки ${\displaystyle 0}$ который не содержит другого рационального числа. Общий случай следует через перевод. Определять

${\displaystyle U:=\left\{(\alpha _{p})_{p}\left|\forall p<\infty :|\alpha _{p}|_{p}\leq 1\quad {\text{and}}\quad |\alpha _{\infty }|_{\infty }<1\right.\right\}={\widehat {\mathbb {Z} }}\times (-1,1).}$

${\displaystyle U}$ открытый район ${\displaystyle 0\in \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }.}$ Мы утверждаем ${\displaystyle U\cap \mathbb {Q} =\{0\}.}$ Позволять ${\displaystyle \beta \in U\cap \mathbb {Q} ,}$ тогда ${\displaystyle \beta \in \mathbb {Q} }$ и ${\displaystyle |\beta |_{p}\leq 1}$ для всех ${\displaystyle p}$ и поэтому ${\displaystyle \beta \in \mathbb {Z} .}$ Дополнительно у нас есть ${\displaystyle \beta \in (-1,1)}$ и поэтому ${\displaystyle \beta =0.}$ Далее покажем компактность, определим:

${\displaystyle W:=\left\{(\alpha _{p})_{p}\left|\forall p<\infty :|\alpha _{p}|_{p}\leq 1\quad {\text{and}}\quad |\alpha _{\infty }|_{\infty }\leq {\frac {1}{2}}\right.\right\}={\widehat {\mathbb {Z} }}\times \left[-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right].}$

Мы показываем каждый элемент в ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }/\mathbb {Q} }$ имеет представителя в ${\displaystyle W,}$ это для каждого ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {A} _{\mathbb {Q} },}$ Существует ${\displaystyle \beta \in \mathbb {Q} }$ такой, что ${\displaystyle \alpha -\beta \in W.}$ Позволять ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{p})_{p}\in \mathbb {A} _{\mathbb {Q} },}$ быть произвольным и ${\displaystyle p}$ быть основным для которого ${\displaystyle |\alpha _{p}|>1.}$ Тогда существует ${\displaystyle r_{p}=z_{p}/p^{x_{p}}}$ с ${\displaystyle z_{p}\in \mathbb {Z} ,x_{p}\in \mathbb {N} }$ и ${\displaystyle |\alpha _{p}-r_{p}|\leq 1.}$ Заменять ${\displaystyle \alpha }$ с ${\displaystyle \alpha -r_{p}}$ и разреши ${\displaystyle q\neq p}$ быть еще одним премьер. Потом:

${\displaystyle \left|\alpha _{q}-r_{p}\right|_{q}\leq \max \left\{|a_{q}|_{q},|r_{p}|_{q}\right\}\leq \max \left\{|a_{q}|_{q},1\right\}\leq 1.}$

Далее мы заявляем:

${\displaystyle |\alpha _{q}-r_{p}|_{q}\leq 1\Longleftrightarrow |\alpha _{q}|_{q}\leq 1.}$

Обратное утверждение тривиально верно. Импликация верна, потому что два члена сильного неравенства треугольника равны, если абсолютные значения обоих целых чисел различны. Как следствие, (конечное) множество простых чисел, для которых компоненты ${\displaystyle \alpha }$ не в ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ уменьшается на 1. С итерацией мы заключаем, что существует ${\displaystyle r\in \mathbb {Q} }$ такой, что ${\displaystyle \alpha -r\in {\widehat {\mathbb {Z} }}\times \mathbb {R} .}$ Теперь выбираем ${\displaystyle s\in \mathbb {Z} }$ такой, что ${\displaystyle \alpha _{\infty }-r-s\in \left[-{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}\right].}$ потом ${\displaystyle \alpha -(r+s)\in W.}$ Непрерывная проекция ${\displaystyle \pi :W\to \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }/\mathbb {Q} }$ сюръективно, поэтому ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }/\mathbb {Q} ,}$ как непрерывный образ компакта, компактен.

Следствие. Позволять ${\displaystyle E}$ - конечномерное векторное пространство над ${\displaystyle K.}$ потом ${\displaystyle E}$ дискретна и компактна в ${\displaystyle \mathbb {A} _{E}.}$

Теорема. У нас есть следующее:

• ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }=\mathbb {Q} +\mathbb {A} _{\mathbb {Z} }.}$
• ${\displaystyle \mathbb {Z} =\mathbb {Q} \cap \mathbb {A} _{\mathbb {Z} }.}$
• ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }/\mathbb {Z} }$ это делимая группа.^[11]
• ${\displaystyle \mathbb {Q} \subset \mathbb {A} _{\mathbb {Q} ,{\text{fin}}}}$ плотный.

Доказательство. Первые два уравнения доказываются элементарно.

По определению ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }/\mathbb {Z} }$ делится, если для любого ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ и ${\displaystyle y\in \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }/\mathbb {Z} }$ уравнение ${\displaystyle nx=y}$ есть решение ${\displaystyle x\in \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }/\mathbb {Z} .}$ Достаточно показать ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }}$ делится, но это верно, поскольку ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }}$ - поле с положительной характеристикой по каждой координате.

Для последнего утверждения обратите внимание, что ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} ,{\text{fin}}}=\mathbb {Q} {\widehat {\mathbb {Z} }},}$ поскольку мы можем достичь конечного числа знаменателей в координатах элементов ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} ,{\text{fin}}}}$ через элемент ${\displaystyle q\in \mathbb {Q} .}$ Как следствие, достаточно показать ${\displaystyle \mathbb {Z} \subset {\widehat {\mathbb {Z} }}}$ плотно, то есть каждое открытое подмножество ${\displaystyle V\subset {\widehat {\mathbb {Z} }}}$ содержит элемент ${\displaystyle \mathbb {Z} .}$ Без ограничения общности можно предположить

${\displaystyle V=\prod _{p\in E}\left(a_{p}+p^{l_{p}}\mathbb {Z} _{p}\right)\times \prod _{p\notin E}\mathbb {Z} _{p},}$

потому что ${\displaystyle (p^{m}\mathbb {Z} _{p})_{m\in \mathbb {N} }}$ это система соседства ${\displaystyle 0}$ в ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}.}$ По китайской теореме об остатках существует ${\displaystyle l\in \mathbb {Z} }$ такой, что ${\displaystyle l\equiv a_{p}{\bmod {p}}^{l_{p}}.}$ Поскольку степени различных простых чисел взаимно просты, ${\displaystyle l\in V}$ следует.

Замечание. ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }/\mathbb {Z} }$ не делится однозначно. Позволять ${\displaystyle y=(0,0,\ldots )+\mathbb {Z} \in \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }/\mathbb {Z} }$ и ${\displaystyle n\geq 2}$ быть данным. потом

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=(0,0,\ldots )+\mathbb {Z} \\x_{2}&=\left({\tfrac {1}{n}},{\tfrac {1}{n}},\ldots \right)+\mathbb {Z} \end{aligned}}}$

оба удовлетворяют уравнению ${\displaystyle nx=y}$ и ясно ${\displaystyle x_{1}\neq x_{2}}$ (${\displaystyle x_{2}}$ корректно определено, потому что только конечное число простых чисел делит ${\displaystyle n}$). В этом случае однозначная делимость эквивалентна отсутствию кручения, что неверно для ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }/\mathbb {Z} }$ поскольку ${\displaystyle nx_{2}=0,}$ но ${\displaystyle x_{2}\neq 0}$ и ${\displaystyle n\neq 0.}$

Замечание. Четвертое утверждение - частный случай сильная аппроксимационная теорема.

Мера Хаара на кольце адела

Определение. Функция ${\displaystyle f:\mathbb {A} _{K}\to \mathbb {C} }$ называется простым, если ${\displaystyle \textstyle f=\prod _{v}f_{v},}$ куда ${\displaystyle f_{v}:K_{v}\to \mathbb {C} }$ измеримы и ${\displaystyle f_{v}=\mathbf {1} _{O_{v}}}$ почти для всех ${\displaystyle v.}$

Теорема.^[12] С ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$ является локально компактной группой со сложением, существует аддитивная мера Хаара ${\displaystyle dx}$ на ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}.}$ Эту меру можно нормализовать так, чтобы каждая интегрируемая простая функция ${\displaystyle \textstyle f=\prod _{v}f_{v}}$ удовлетворяет:

${\displaystyle \int _{\mathbb {A} _{K}}f\,dx=\prod _{v}\int _{K_{v}}f_{v}\,dx_{v},}$

где для ${\displaystyle v<\infty ,dx_{v}}$ это мера на ${\displaystyle K_{v}}$ такой, что ${\displaystyle O_{v}}$ имеет единицу измерения и ${\displaystyle dx_{\infty }}$ - мера Лебега. Продукт конечен, т.е. почти все множители равны единице.

Группа иделей

Определение. Мы определяем Idele группа ${\displaystyle K}$ как группа единиц аделевого кольца ${\displaystyle K,}$ то есть ${\displaystyle I_{K}:=\mathbb {A} _{K}^{\times }.}$ Элементы группы иделей называются иделей ${\displaystyle K.}$

Замечание. Хотим оборудовать ${\displaystyle I_{K}}$ с топологией так, чтобы она стала топологической группой. Топология подмножества, унаследованная от ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$ не является подходящим кандидатом, поскольку группа элементов топологического кольца, снабженная топологией подмножества, может не быть топологической группой. Например, обратная карта в ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }}$ не является непрерывным. Последовательность

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=(2,1,\ldots )\\x_{2}&=(1,3,1,\ldots )\\x_{3}&=(1,1,5,1,\ldots )\\&\vdots \end{aligned}}}$

сходится к ${\displaystyle 1\in \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }.}$ Чтобы увидеть это, позвольте ${\displaystyle U}$ быть рядом с ${\displaystyle 0,}$ без потери общности можно предположить:

${\displaystyle U=\prod _{p\leq N}U_{p}\times \prod _{p>N}\mathbb {Z} _{p}}$

С ${\displaystyle (x_{n})_{p}-1\in \mathbb {Z} _{p}}$ для всех ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle x_{n}-1\in U}$ за ${\displaystyle n}$ достаточно большой. Однако, как мы видели выше, обратная к этой последовательности не сходится в ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }.}$

Лемма. Позволять ${\displaystyle R}$ топологическое кольцо. Определять:

${\displaystyle {\begin{cases}\iota :R^{\times }\to R\times R\\x\mapsto (x,x^{-1})\end{cases}}}$

Оборудован топологией, индуцированной продуктом на топологии на ${\displaystyle R\times R}$ и ${\displaystyle \iota ,R^{\times }}$ является топологической группой и отображение включения ${\displaystyle R^{\times }\subset R}$ непрерывно. Это самая грубая топология, возникающая из топологии на ${\displaystyle R,}$ что делает ${\displaystyle R^{\times }}$ топологическая группа.

Доказательство. С ${\displaystyle R}$ является топологическим кольцом, достаточно показать, что обратное отображение непрерывно. Позволять ${\displaystyle U\subset R^{\times }}$ быть открытым, тогда ${\displaystyle U\times U^{-1}\subset R\times R}$ открыт. Мы должны показать ${\displaystyle U^{-1}\subset R^{\times }}$ открыто или, что то же самое, ${\displaystyle U^{-1}\times (U^{-1})^{-1}=U^{-1}\times U\subset R\times R}$ открыт. Но это условие выше.

Снабдим группу идеелей топологией, определенной в лемме, сделав ее топологической группой.

Определение. За ${\displaystyle S}$ подмножество мест ${\displaystyle K}$ набор: ${\displaystyle I_{K,S}:=\mathbb {A} _{K,S}^{\times },I_{K}^{S}:=(\mathbb {A} _{K}^{S})^{\times }.}$

Лемма. Имеют место следующие тождества топологических групп:

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{K,S}&={\prod _{v\in S}}^{'}K_{v}^{\times }\\I_{K}^{S}&={\prod _{v\notin S}}^{'}K_{v}^{\times }\\I_{K}&={\prod _{v}}^{'}K_{v}^{\times }\end{aligned}}}$

где ограниченный продукт имеет топологию ограниченного продукта, которая генерируется ограниченными открытыми прямоугольниками формы

${\displaystyle \prod _{v\in E}U_{v}\times \prod _{v\notin E}O_{v}^{\times },}$

куда ${\displaystyle E}$ является конечным подмножеством множества всех мест и ${\displaystyle U_{v}\subset K_{v}^{\times }}$ - открытые наборы.

Доказательство. Докажем тождество для ${\displaystyle I_{K},}$ два других следуют аналогичным образом. Сначала покажем, что два набора равны:

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{K}&=\{x=(x_{v})_{v}\in \mathbb {A} _{K}:\exists y=(y_{v})_{v}\in \mathbb {A} _{K}:xy=1\}\\&=\{x=(x_{v})_{v}\in \mathbb {A} _{K}:\exists y=(y_{v})_{v}\in \mathbb {A} _{K}:x_{v}\cdot y_{v}=1\quad \forall v\}\\&=\{x=(x_{v})_{v}:x_{v}\in K_{v}^{\times }\forall v{\text{ and }}x_{v}\in O_{v}^{\times }{\text{ for almost all }}v\}\\&={\prod _{v}}^{'}K_{v}^{\times }\end{aligned}}}$

При переходе от строки 2 к 3, ${\displaystyle x}$ а также ${\displaystyle x^{-1}=y}$ должен быть в ${\displaystyle \mathbb {A} _{K},}$ смысл ${\displaystyle x_{v}\in O_{v}}$ почти для всех ${\displaystyle v}$ и ${\displaystyle x_{v}^{-1}\in O_{v}}$ почти для всех ${\displaystyle v.}$ Следовательно, ${\displaystyle x_{v}\in O_{v}^{\times }}$ почти для всех ${\displaystyle v.}$

Теперь мы можем показать, что топология в левой части равна топологии в правой части. Очевидно, что каждый открытый ограниченный прямоугольник открыт в топологии группы иделей. С другой стороны, для данного ${\displaystyle U\subset I_{K},}$ которое открыто в топологии группы иделей, т. е. ${\displaystyle U\times U^{-1}\subset \mathbb {A} _{K}\times \mathbb {A} _{K}}$ открыто, поэтому для каждого ${\displaystyle u\in U}$ существует открытый ограниченный прямоугольник, который является подмножеством ${\displaystyle U}$ и содержит ${\displaystyle u.}$ Следовательно, ${\displaystyle U}$ является объединением всех этих ограниченных открытых прямоугольников и, следовательно, является открытым в топологии ограниченного произведения.

Лемма. Для каждого набора мест ${\displaystyle S,I_{K,S}}$ является локально компактной топологической группой.

Доказательство. Локальная компактность следует из описания ${\displaystyle I_{K,S}}$ как продукт с ограниченным доступом. То, что это топологическая группа, следует из приведенного выше обсуждения группы единиц топологического кольца.

Система соседства ${\displaystyle 1\in \mathbb {A} _{K}(P_{\infty })^{\times }}$ это система соседства ${\displaystyle 1\in I_{K}.}$ В качестве альтернативы мы можем взять все наборы формы:

${\displaystyle \prod _{v}U_{v},}$

куда ${\displaystyle U_{v}}$ это район ${\displaystyle 1\in K_{v}^{\times }}$ и ${\displaystyle U_{v}=O_{v}^{\times }}$ почти для всех ${\displaystyle v.}$

Поскольку группа иделей локально компактна, существует мера Хаара ${\displaystyle d^{\times }x}$ в теме. Это можно нормализовать, так что

${\displaystyle \int _{I_{K,{\text{fin}}}}\mathbf {1} _{\widehat {O}}\,d^{\times }x=1.}$

Это нормализация, используемая для конечных мест. В этих уравнениях ${\displaystyle I_{K,{\text{fin}}}}$ конечная группа аделей, то есть группа единиц конечного кольца аделей. Для бесконечных мест мы используем мультипликативную меру Лебега ${\displaystyle {\tfrac {dx}{|x|}}.}$

Группа иделей конечного расширения

Лемма. Позволять ${\displaystyle L/K}$ - конечное расширение. Потом:

${\displaystyle I_{L}={\prod _{v}}^{'}L_{v}^{\times }.}$

где продукт с ограничениями относится к ${\displaystyle {\widetilde {O_{v}}}^{\times }.}$

Лемма. Существует каноническое вложение ${\displaystyle I_{K}}$ в ${\displaystyle I_{L}.}$

Доказательство. Мы отображаем ${\displaystyle a=(a_{v})_{v}\in I_{K}}$ к ${\displaystyle a'=(a'_{w})_{w}\in I_{L}}$ с собственностью ${\displaystyle a'_{w}=a_{v}\in K_{v}^{\times }\subset L_{w}^{\times }}$ за ${\displaystyle w|v.}$ Следовательно, ${\displaystyle I_{K}}$ можно рассматривать как подгруппу ${\displaystyle I_{L}.}$ Элемент ${\displaystyle a=(a_{w})_{w}\in I_{L}}$ находится в этой подгруппе тогда и только тогда, когда его компоненты удовлетворяют следующим свойствам: ${\displaystyle a_{w}\in K_{v}^{\times }}$ за ${\displaystyle w|v}$ и ${\displaystyle a_{w}=a_{w'}}$ за ${\displaystyle w|v}$ и ${\displaystyle w'|v}$ для того же места ${\displaystyle v}$ из ${\displaystyle K.}$

Случай векторных пространств и алгебр

^[13]

Группа иделей алгебры

Позволять ${\displaystyle A}$ - конечномерная алгебра над ${\displaystyle K.}$ С ${\displaystyle \mathbb {A} _{A}^{\times }}$ не является топологической группой с подмножеством-топологией вообще, мы снабжаем ${\displaystyle \mathbb {A} _{A}^{\times }}$ с топологией, аналогичной ${\displaystyle I_{K}}$ выше и позвоните ${\displaystyle \mathbb {A} _{A}^{\times }}$ группа иделей. Элементы группы иделей называются иделями ${\displaystyle A.}$

Предложение. Позволять ${\displaystyle \alpha }$ быть конечным подмножеством ${\displaystyle A,}$ содержащий основу ${\displaystyle A}$ над ${\displaystyle K.}$ Для каждого конечного места ${\displaystyle v}$ из ${\displaystyle K,}$ позволять ${\displaystyle \alpha _{v}}$ быть ${\displaystyle O_{v}}$-модуль, созданный ${\displaystyle \alpha }$ в ${\displaystyle A_{v}.}$ Существует конечное множество мест ${\displaystyle P_{0}}$ содержащий ${\displaystyle P_{\infty }}$ такой, что для всех ${\displaystyle v\notin P_{0},}$${\displaystyle \alpha _{v}}$ компактное подкольцо в ${\displaystyle A_{v}.}$ Более того, ${\displaystyle \alpha _{v}}$ содержит ${\displaystyle A_{v}^{\times }.}$ Для каждого ${\displaystyle v,A_{v}^{\times }}$ открытое подмножество ${\displaystyle A_{v}}$ и карта ${\displaystyle x\mapsto x^{-1}}$ продолжается на ${\displaystyle A_{v}^{\times }.}$ Как следствие ${\displaystyle x\mapsto (x,x^{-1})}$ карты ${\displaystyle A_{v}^{\times }}$ гомеоморфно по своему образу в ${\displaystyle A_{v}\times A_{v}.}$ Для каждого ${\displaystyle v\notin P_{0},}$ в ${\displaystyle \alpha _{v}^{\times }}$ элементы ${\displaystyle A_{v}^{\times },}$ отображение в ${\displaystyle \alpha _{v}\times \alpha _{v}}$ с функцией выше. Следовательно, ${\displaystyle \alpha _{v}^{\times }}$ - открытая и компактная подгруппа в ${\displaystyle A_{v}^{\times }.}$^[14]

Альтернативная характеристика группы иделей

Предложение. Позволять ${\displaystyle P\supset P_{\infty }}$ - конечное множество мест. потом

${\displaystyle \mathbb {A} _{A}(P,\alpha )^{\times }:=\prod _{v\in P}A_{v}^{\times }\times \prod _{v\notin P}\alpha _{v}^{\times }}$

открытая подгруппа ${\displaystyle \mathbb {A} _{A}^{\times },}$ куда ${\displaystyle \mathbb {A} _{A}^{\times }}$ это союз всех ${\displaystyle \mathbb {A} _{A}(P,\alpha )^{\times }.}$^[15]

Следствие. В частном случае ${\displaystyle A=K}$ для каждого конечного множества мест ${\displaystyle P\supset P_{\infty },}$

${\displaystyle \mathbb {A} _{K}(P)^{\times }=\prod _{v\in P}K_{v}^{\times }\times \prod _{v\notin P}O_{v}^{\times }}$

открытая подгруппа ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{\times }=I_{K}.}$ Более того, ${\displaystyle I_{K}}$ это союз всех ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}(P)^{\times }.}$

Норма о группе иделей

Мы хотим перенести след и норму из кольца аделей в группу иделей. Оказывается, так просто не передать след. Однако можно перенести норму с кольца аделей на группу иделей. Позволять ${\displaystyle \alpha \in I_{K}.}$ потом ${\displaystyle \operatorname {con} _{L/K}(\alpha )\in I_{L}}$ а значит, в инъективной группе гомоморфизм

${\displaystyle \operatorname {con} _{L/K}:I_{K}\hookrightarrow I_{L}.}$

С ${\displaystyle \alpha \in I_{L},}$ это обратимо, ${\displaystyle N_{L/K}(\alpha )}$ тоже обратимо, потому что ${\displaystyle (N_{L/K}(\alpha ))^{-1}=N_{L/K}(\alpha ^{-1}).}$ Следовательно ${\displaystyle N_{L/K}(\alpha )\in I_{K}.}$ Как следствие, ограничение нормы-функции вводит непрерывную функцию:

${\displaystyle N_{L/K}:I_{L}\to I_{K}.}$

Группа классов Иделе

Лемма. Есть естественное вложение ${\displaystyle K^{\times }}$ в ${\displaystyle I_{K,S}}$ задано диагональной картой: ${\displaystyle a\mapsto (a,a,a,\ldots ).}$

Доказательство. С ${\displaystyle K^{\times }}$ это подмножество ${\displaystyle K_{v}^{\times }}$ для всех ${\displaystyle v,}$ вложение корректно и инъективно.

Следствие. ${\displaystyle A^{\times }}$ дискретная подгруппа ${\displaystyle \mathbb {A} _{A}^{\times }.}$

Определение. По аналогии с группа идеального класса, элементы ${\displaystyle K^{\times }}$ в ${\displaystyle I_{K}}$ называются основные идеалы ${\displaystyle I_{K}.}$ Фактор-группа ${\displaystyle C_{K}:=I_{K}/K^{\times }}$ называется группой классов идеелей ${\displaystyle K.}$ Эта группа относящиеся к идеальной классовой группе и является центральным объектом теории поля классов.

Замечание. ${\displaystyle K^{\times }}$ закрыт в ${\displaystyle I_{K},}$ следовательно ${\displaystyle C_{K}}$ - локально компактная топологическая группа и хаусдорфово пространство.

Лемма.^[16] Позволять ${\displaystyle L/K}$ - конечное расширение. Вложение ${\displaystyle I_{K}\to I_{L}}$ индуцирует инъективное отображение:

${\displaystyle {\begin{cases}C_{K}\to C_{L}\\\alpha K^{\times }\mapsto \alpha L^{\times }\end{cases}}}$

Свойства группы иделей

Абсолютное значение на ${\displaystyle I_{K}}$ и ${\displaystyle 1}$-иделе

Определение. За ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{v})_{v}\in I_{K}}$ определять: ${\displaystyle \textstyle |\alpha |:=\prod _{v}|\alpha _{v}|_{v}.}$ С ${\displaystyle \alpha }$ является иделем, это произведение конечно и, следовательно, корректно определено.

Замечание. Определение можно расширить до ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$ позволяя бесконечное количество продуктов. Однако эти бесконечные произведения исчезают, и поэтому ${\displaystyle |\cdot |}$ исчезает на ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}\setminus I_{K}.}$ Мы будем использовать ${\displaystyle |\cdot |}$ для обозначения как функции на ${\displaystyle I_{K}}$ и ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}.}$

Теорема. ${\displaystyle |\cdot |:I_{K}\to \mathbb {R} _{+}}$ является непрерывным гомоморфизмом групп.

Доказательство. Позволять ${\displaystyle \alpha ,\beta \in I_{K}.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}|\alpha \cdot \beta |&=\prod _{v}|(\alpha \cdot \beta )_{v}|_{v}\\&=\prod _{v}|\alpha _{v}\cdot \beta _{v}|_{v}\\&=\prod _{v}(|\alpha _{v}|_{v}\cdot |\beta _{v}|_{v})\\&=\left(\prod _{v}|\alpha _{v}|_{v}\right)\cdot \left(\prod _{v}|\beta _{v}|_{v}\right)\\&=|\alpha |\cdot |\beta |\end{aligned}}}$

где мы используем, что все продукты конечны. Карта является непрерывной, что можно увидеть с помощью аргумента, имеющего дело с последовательностями. Это сводит проблему к следующему: ${\displaystyle |\cdot |}$ продолжается на ${\displaystyle K_{v}.}$ Однако это ясно из-за неравенства обратного треугольника.

Определение. Определим набор ${\displaystyle 1}$-иделе как:

${\displaystyle I_{K}^{1}:=\{x\in I_{K}:|x|=1\}=\ker(|\cdot |).}$

${\displaystyle I_{K}^{1}}$ является подгруппой ${\displaystyle I_{K}.}$ С ${\displaystyle I_{K}^{1}=|\cdot |^{-1}(\{1\}),}$ это замкнутое подмножество ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}.}$ Наконец ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$-топология на ${\displaystyle I_{K}^{1}}$ равна подмножеству-топологии ${\displaystyle I_{K}}$ на ${\displaystyle I_{K}^{1}.}$^[17][18]

Формула продукта Артина. ${\displaystyle |k|=1}$ для всех ${\displaystyle k\in K^{\times }.}$

Доказательство.^[19] Мы доказываем формулу для числовых полей, случай глобальных функциональных полей доказывается аналогично. Позволять ${\displaystyle K}$ быть числовым полем и ${\displaystyle a\in K^{\times }.}$ Мы должны показать:

${\displaystyle \prod _{v}|a|_{v}=1.}$

Для конечного места ${\displaystyle v}$ для которого соответствующий простой идеал ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{v}}$ не разделяет ${\displaystyle (a)}$ у нас есть ${\displaystyle v(a)=0}$ и поэтому ${\displaystyle |a|_{v}=1.}$ Это справедливо почти для всех ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{v}.}$ У нас есть:

${\displaystyle {\begin{aligned}\prod _{v}|a|_{v}&=\prod _{p\leq \infty }\prod _{v|p}|a|_{v}\\&=\prod _{p\leq \infty }\prod _{v|p}|N_{K_{v}/\mathbb {Q} _{p}}(a)|_{p}\\&=\prod _{p\leq \infty }|N_{K/\mathbb {Q} }(a)|_{p}\end{aligned}}}$

При переходе от строки 1 к строке 2 мы использовали тождество ${\displaystyle |a|_{w}=|N_{L_{w}/K_{v}}(a)|_{v},}$ куда ${\displaystyle v}$ это место ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle w}$ это место ${\displaystyle L,}$ лежащий выше ${\displaystyle v.}$ Переходя от строки 2 к строке 3, мы используем свойство нормы. Отметим, что норма находится в ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ поэтому без ограничения общности мы можем предположить ${\displaystyle a\in \mathbb {Q} .}$ потом ${\displaystyle a}$ обладает уникальным целочисленная факторизация:

${\displaystyle a=\pm \prod _{p<\infty }p^{v_{p}},}$

куда ${\displaystyle v_{p}\in \mathbb {Z} }$ является ${\displaystyle 0}$ почти для всех ${\displaystyle p.}$ К Теорема Островского все абсолютные значения на ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ эквивалентны действительному абсолютному значению ${\displaystyle |\cdot |_{\infty }}$ или ${\displaystyle p}$-адическая абсолютная величина. Следовательно:

${\displaystyle {\begin{aligned}|a|&=\left(\prod _{p<\infty }|a|_{p}\right)\cdot |a|_{\infty }\\&=\left(\prod _{p<\infty }p^{-v_{p}}\right)\cdot \left(\prod _{p<\infty }p^{v_{p}}\right)\\&=1\end{aligned}}}$

Лемма.^[20] Существует постоянная ${\displaystyle C,}$ в зависимости только от ${\displaystyle K,}$ так что для каждого ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{v})_{v}\in \mathbb {A} _{K}}$ удовлетворение ${\displaystyle \textstyle \prod _{v}|\alpha _{v}|_{v}>C,}$ Существует ${\displaystyle \beta \in K^{\times }}$ такой, что ${\displaystyle |\beta _{v}|_{v}\leq |\alpha _{v}|_{v}}$ для всех ${\displaystyle v.}$

Следствие. Позволять ${\displaystyle v_{0}}$ быть местом ${\displaystyle K}$ и разреши ${\displaystyle \delta _{v}>0}$ быть дано для всех ${\displaystyle v\neq v_{0}}$ с собственностью ${\displaystyle \delta _{v}=1}$ почти для всех ${\displaystyle v.}$ Тогда существует ${\displaystyle \beta \in K^{\times },}$ так что ${\displaystyle |\beta |\leq \delta _{v}}$ для всех ${\displaystyle v\neq v_{0}.}$

Доказательство. Позволять ${\displaystyle C}$ - константа из леммы. Позволять ${\displaystyle \pi _{v}}$ быть униформизирующим элементом ${\displaystyle O_{v}.}$ Определите адель ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{v})_{v}}$ через ${\displaystyle \alpha _{v}:=\pi _{v}^{k_{v}}}$ с ${\displaystyle k_{v}\in \mathbb {Z} }$ минимальный, так что ${\displaystyle |\alpha _{v}|_{v}\leq \delta _{v}}$ для всех ${\displaystyle v\neq v_{0}.}$ потом ${\displaystyle k_{v}=0}$ почти для всех ${\displaystyle v.}$ Определять ${\displaystyle \alpha _{v_{0}}:=\pi _{v_{0}}^{k_{v_{0}}}}$ с ${\displaystyle k_{v_{0}}\in \mathbb {Z} ,}$ так что ${\displaystyle \textstyle \prod _{v}|\alpha _{v}|_{v}>C.}$ Это работает, потому что ${\displaystyle k_{v}=0}$ почти для всех ${\displaystyle v.}$ По лемме существует ${\displaystyle \beta \in K^{\times },}$ так что ${\displaystyle |\beta |_{v}\leq |\alpha _{v}|_{v}\leq \delta _{v}}$ для всех ${\displaystyle v\neq v_{0}.}$

Теорема. ${\displaystyle K^{\times }}$ дискретна и компактна в ${\displaystyle I_{K}^{1}.}$

Доказательство.^[21] С ${\displaystyle K^{\times }}$ дискретна в ${\displaystyle I_{K}}$ это также дискретно в ${\displaystyle I_{K}^{1}.}$ Чтобы доказать компактность ${\displaystyle I_{K}^{1}/K^{\times }}$ позволять ${\displaystyle C}$ постоянная из леммы, и пусть ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {A} _{K}}$ удовлетворение ${\displaystyle \textstyle \prod _{v}|\alpha _{v}|_{v}>C}$ дано. Определять:

${\displaystyle W_{\alpha }:=\left\{\xi =(\xi _{v})_{v}\in \mathbb {A} _{K}||\xi _{v}|_{v}\leq |\alpha _{v}|_{v}{\text{ for all }}v\right\}.}$

Четко ${\displaystyle W_{\alpha }}$ компактный. Мы утверждаем естественную проекцию ${\displaystyle W_{\alpha }\cap I_{K}^{1}\to I_{K}^{1}/K^{\times }}$ сюръективно. Позволять ${\displaystyle \beta =(\beta _{v})_{v}\in I_{K}^{1}}$ быть произвольным, то:

${\displaystyle |\beta |=\prod _{v}|\beta _{v}|_{v}=1,}$

и поэтому

${\displaystyle \prod _{v}|\beta _{v}^{-1}|_{v}=1.}$

Следует, что

${\displaystyle \prod _{v}|\beta _{v}^{-1}\alpha _{v}|_{v}=\prod _{v}|\alpha _{v}|_{v}>C.}$

По лемме существует ${\displaystyle \eta \in K^{\times }}$ такой, что ${\displaystyle |\eta |_{v}\leq |\beta _{v}^{-1}\alpha _{v}|_{v}}$ для всех ${\displaystyle v,}$ и поэтому ${\displaystyle \eta \beta \in W_{\alpha }}$ доказательство сюръективности естественной проекции. Поскольку он также непрерывен, следует компактность.

Теорема.^[22] Есть канонический изоморфизм ${\displaystyle I_{\mathbb {Q} }^{1}/\mathbb {Q} ^{\times }\cong {\widehat {\mathbb {Z} }}^{\times }.}$ Более того, ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}^{\times }\times \{1\}\subset I_{\mathbb {Q} }^{1}}$ это набор представителей для ${\displaystyle I_{\mathbb {Q} }^{1}/\mathbb {Q} ^{\times }}$ и ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}^{\times }\times (0,\infty )\subset I_{\mathbb {Q} }}$ это набор представителей для ${\displaystyle I_{\mathbb {Q} }/\mathbb {Q} ^{\times }.}$

Доказательство. Рассмотрим карту

${\displaystyle {\begin{cases}\phi :{\widehat {\mathbb {Z} }}^{\times }\to I_{\mathbb {Q} }^{1}/\mathbb {Q} ^{\times }\\(a_{p})_{p}\mapsto ((a_{p})_{p},1)\mathbb {Q} ^{\times }\end{cases}}}$

Это отображение хорошо определено, поскольку ${\displaystyle |a_{p}|_{p}=1}$ для всех ${\displaystyle p}$ и поэтому ${\displaystyle \textstyle \left(\prod _{p<\infty }|a_{p}|_{p}\right)\cdot 1=1.}$ Очевидно ${\displaystyle \phi }$ является непрерывным гомоморфизмом групп. Теперь предположим ${\displaystyle ((a_{p})_{p},1)\mathbb {Q} ^{\times }=((b_{p})_{p},1)\mathbb {Q} ^{\times }.}$ Тогда существует ${\displaystyle q\in \mathbb {Q} ^{\times }}$ такой, что ${\displaystyle ((a_{p})_{p},1)q=((b_{p})_{p},1).}$ Рассматривая бесконечное место, мы видим ${\displaystyle q=1}$ доказывая приемистость. Чтобы показать сюръективность, пусть ${\displaystyle ((\beta _{p})_{p},\beta _{\infty })\mathbb {Q} ^{\times }\in I_{\mathbb {Q} }^{1}/\mathbb {Q} ^{\times }.}$ Абсолютное значение этого элемента равно ${\displaystyle 1}$ и поэтому

${\displaystyle |\beta _{\infty }|_{\infty }={\frac {1}{\prod _{p}|\beta _{p}|_{p}}}\in \mathbb {Q} .}$

Следовательно ${\displaystyle \beta _{\infty }\in \mathbb {Q} }$ и у нас есть:

${\displaystyle ((\beta _{p})_{p},\beta _{\infty })\mathbb {Q} ^{\times }=\left(\left({\frac {\beta _{p}}{\beta _{\infty }}}\right)_{p},1\right)\mathbb {Q} ^{\times }.}$

С

${\displaystyle \forall p:\qquad \left|{\frac {\beta _{p}}{\beta _{\infty }}}\right|_{p}=1,}$

мы заключаем ${\displaystyle \phi }$ сюръективно.

Теорема.^[23] Функция абсолютного значения индуцирует следующие изоморфизмы топологических групп:

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\mathbb {Q} }&\cong I_{\mathbb {Q} }^{1}\times (0,\infty )\\I_{\mathbb {Q} }^{1}&\cong I_{\mathbb {Q} ,{\text{fin}}}\times \{\pm 1\}.\end{aligned}}}$

Доказательство. Изоморфизмы задаются:

${\displaystyle {\begin{cases}\psi :I_{\mathbb {Q} }\to I_{\mathbb {Q} }^{1}\times (0,\infty )\\a=(a_{\text{fin}},a_{\infty })\mapsto \left(a_{\text{fin}},{\frac {a_{\infty }}{|a|}},|a|\right)\end{cases}}\qquad {\text{and}}\qquad {\begin{cases}{\widetilde {\psi }}:I_{\mathbb {Q} ,{\text{fin}}}\times \{\pm 1\}\to I_{\mathbb {Q} }^{1}\\(a_{\text{fin}},\varepsilon )\mapsto \left(a_{\text{fin}},{\frac {\varepsilon }{|a_{\text{fin}}|}}\right)\end{cases}}}$

Связь между группой идеальных классов и группой классов идеалов

Теорема. Позволять ${\displaystyle K}$ числовое поле с кольцом целых чисел ${\displaystyle O,}$ группа фракционных идеалов ${\displaystyle J_{K},}$ и группа идеального класса ${\displaystyle \operatorname {Cl} _{K}=J_{K}/K^{\times }.}$ Имеются следующие изоморфизмы

${\displaystyle {\begin{aligned}J_{K}&\cong I_{K,{\text{fin}}}/{\widehat {O}}^{\times }\\\operatorname {Cl} _{K}&\cong C_{K,{\text{fin}}}/{\widehat {O}}^{\times }K^{\times }\\\operatorname {Cl} _{K}&\cong C_{K}/\left({\widehat {O}}^{\times }\times \prod _{v|\infty }K_{v}^{\times }\right)K^{\times }\end{aligned}}}$

где мы определили ${\displaystyle C_{K,{\text{fin}}}:=I_{K,{\text{fin}}}/K^{\times }.}$

Доказательство. Позволять ${\displaystyle v}$ быть конечным местом ${\displaystyle K}$ и разреши ${\displaystyle |\cdot |_{v}}$ быть представителем класса эквивалентности ${\displaystyle v.}$ Определять

${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{v}:=\{x\in O:|x|_{v}<1\}.}$

потом ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{v}}$ главный идеал в ${\displaystyle O.}$ Карта ${\displaystyle v\mapsto {\mathfrak {p}}_{v}}$ является биекцией между конечными точками ${\displaystyle K}$ и ненулевые простые идеалы ${\displaystyle O.}$ Обратное дается следующим образом: простой идеал ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ отображается на оценку ${\displaystyle v_{\mathfrak {p}},}$ данный

${\displaystyle {\begin{aligned}v_{\mathfrak {p}}(x)&:=\max\{k\in \mathbb {N} _{0}:x\in {\mathfrak {p}}^{k}\}\quad \forall x\in O^{\times }\\v_{\mathfrak {p}}\left({\frac {x}{y}}\right)&:=v_{\mathfrak {p}}(x)-v_{\mathfrak {p}}(y)\quad \forall x,y\in O^{\times }\end{aligned}}}$

Следующая карта четко определена:

${\displaystyle {\begin{cases}(\cdot ):I_{K,{\text{fin}}}\to J_{K}\\\alpha =(\alpha _{v})_{v}\mapsto \prod _{v<\infty }{\mathfrak {p}}_{v}^{v(\alpha _{v})},\end{cases}}}$

Карта ${\displaystyle (\cdot )}$ очевидно сюръективный гомоморфизм и ${\displaystyle \ker((\cdot ))={\widehat {O}}^{\times }.}$ Первый изоморфизм следует из основная теорема о гомоморфизме. Теперь разделим обе стороны на ${\displaystyle K^{\times }.}$ Это возможно, потому что

${\displaystyle {\begin{aligned}(\alpha )&=((\alpha ,\alpha ,\dotsc ))\\&=\prod _{v<\infty }{\mathfrak {p}}_{v}^{v(\alpha )}\\&=(\alpha )&&{\text{ for all }}\alpha \in K^{\times }.\end{aligned}}}$

Обратите внимание на неправильное использование обозначений: в левой части строки 1 этой цепочки уравнений ${\displaystyle (\cdot )}$ обозначает карту, определенную выше. Позже мы воспользуемся вложением ${\displaystyle K^{\times }}$ в ${\displaystyle I_{K,{\text{fin}}}.}$ В строке 2 мы используем определение карты. Наконец, мы используем это ${\displaystyle O}$ является дедекиндовской областью, и поэтому каждый идеал может быть записан как произведение простых идеалов. Другими словами, карта ${\displaystyle (\cdot )}$ это ${\displaystyle K^{\times }}$-эквивариантный групповой гомоморфизм. Как следствие, указанное выше отображение индуцирует сюръективный гомоморфизм

${\displaystyle {\begin{cases}\phi :C_{K,{\text{fin}}}\to \operatorname {Cl} _{K}\\\alpha K^{\times }\mapsto (\alpha )K^{\times }\end{cases}}}$

Чтобы доказать второй изоморфизм, мы должны показать ${\displaystyle \ker(\phi )={\widehat {O}}^{\times }K^{\times }.}$ Учитывать ${\displaystyle \xi =(\xi _{v})_{v}\in {\widehat {O}}^{\times }.}$ потом ${\displaystyle \textstyle \phi (\xi K^{\times })=\prod _{v}{\mathfrak {p}}_{v}^{v(\xi _{v})}K^{\times }=K^{\times },}$ потому что ${\displaystyle v(\xi _{v})=0}$ для всех ${\displaystyle v.}$ С другой стороны, рассмотрим ${\displaystyle \xi K^{\times }\in C_{K,{\text{fin}}}}$ с ${\displaystyle \phi (\xi K^{\times })=OK^{\times },}$ что позволяет писать ${\displaystyle \textstyle \prod _{v}{\mathfrak {p}}_{v}^{v(\xi _{v})}K^{\times }=OK^{\times }.}$ Как следствие, существует такой представитель, который: ${\displaystyle \textstyle \prod _{v}{\mathfrak {p}}_{v}^{v(\xi '_{v})}=O.}$ Как следствие, ${\displaystyle \xi '\in {\widehat {O}}^{\times }}$ и поэтому ${\displaystyle \xi K^{\times }=\xi 'K^{\times }\in {\widehat {O}}^{\times }K^{\times }.}$ Мы доказали второй изоморфизм теоремы.

Для последнего изоморфизма заметим, что ${\displaystyle \phi }$ индуцирует сюръективный групповой гомоморфизм ${\displaystyle {\widetilde {\phi }}:C_{K}\to \operatorname {Cl} _{K}}$ с

${\displaystyle \ker({\widetilde {\phi }})=\left({\widehat {O}}^{\times }\times \prod _{v|\infty }K_{v}^{\times }\right)K^{\times }.}$

Замечание. Учитывать ${\displaystyle I_{K,{\text{fin}}}}$ с идеальной топологией и оснастить ${\displaystyle J_{K},}$ с дискретной топологией. С ${\displaystyle (\{{\mathfrak {a}}\})^{-1}}$ открыт для каждого ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\in J_{K},(\cdot )}$ непрерывно. Стоит, что ${\displaystyle (\{{\mathfrak {a}}\})^{-1}=\alpha {\widehat {O}}^{\times }}$ открыто, где ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{v})_{v}\in \mathbb {A} _{K,{\text{fin}}},}$ так что ${\displaystyle \textstyle {\mathfrak {a}}=\prod _{v}{\mathfrak {p}}_{v}^{v(\alpha _{v})}.}$

Разложение ${\displaystyle I_{K}}$ и ${\displaystyle C_{K}}$

Теорема.

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{K}&\cong I_{K}^{1}\times M:\quad {\begin{cases}M\subset I_{K}{\text{ discrete and }}M\cong \mathbb {Z} &\operatorname {char} (K)>0\\M\subset I_{K}{\text{ closed and }}M\cong \mathbb {R} _{+}&\operatorname {char} (K)=0\end{cases}}\\C_{K}&\cong I_{K}^{1}/K^{\times }\times N:\quad {\begin{cases}N=\mathbb {Z} &\operatorname {char} (K)>0\\N=\mathbb {R} _{+}&\operatorname {char} (K)=0\end{cases}}\end{aligned}}}$

Доказательство. ${\displaystyle \operatorname {char} (K)=p>0.}$ Для каждого места ${\displaystyle v}$ из ${\displaystyle K,\operatorname {char} (K_{v})=p,}$ так что для всех ${\displaystyle x\in K_{v}^{\times },}$ ${\displaystyle |x|_{v}}$ принадлежит к подгруппе ${\displaystyle \mathbb {R} _{+},}$ создано ${\displaystyle p.}$ Поэтому для каждого ${\displaystyle z\in I_{K},}$ ${\displaystyle |z|}$ находится в подгруппе ${\displaystyle \mathbb {R} _{+},}$ создано ${\displaystyle p.}$ Следовательно, образ гомоморфизма ${\displaystyle z\mapsto |z|}$ дискретная подгруппа ${\displaystyle \mathbb {R} _{+},}$ создано ${\displaystyle p.}$ Поскольку эта группа нетривиальна, она порождается ${\displaystyle Q=p^{m}}$ для некоторых ${\displaystyle m\in \mathbb {N} .}$ выбирать ${\displaystyle z_{1}\in I_{K},}$ так что ${\displaystyle |z_{1}|=Q,}$ тогда ${\displaystyle I_{K}}$ является прямым продуктом ${\displaystyle I_{K}^{1}}$ и подгруппа, порожденная ${\displaystyle z_{1}.}$ Эта подгруппа дискретна и изоморфна ${\displaystyle \mathbb {Z} .}$

${\displaystyle \operatorname {char} (K)=0.}$ За ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} _{+}}$ определять:

${\displaystyle z(\lambda )=(z_{v})_{v},\quad z_{v}={\begin{cases}1&v\notin P_{\infty }\\\lambda &v\in P_{\infty }\end{cases}}}$

Карта ${\displaystyle \lambda \mapsto z(\lambda )}$ является изоморфизмом ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$ в замкнутой подгруппе ${\displaystyle M}$ из ${\displaystyle I_{K}}$ и ${\displaystyle I_{K}\cong M\times I_{K}^{1}.}$ Изоморфизм задается умножением:

${\displaystyle {\begin{cases}\phi :M\times I_{K}^{1}\to I_{K},\\((\alpha _{v})_{v},(\beta _{v})_{v})\mapsto (\alpha _{v}\beta _{v})_{v}\end{cases}}}$

Очевидно, ${\displaystyle \phi }$ является гомоморфизмом. Чтобы показать, что это инъективно, пусть ${\displaystyle (\alpha _{v}\beta _{v})_{v}=1.}$ С ${\displaystyle \alpha _{v}=1}$ за ${\displaystyle v<\infty ,}$ это стоит, что ${\displaystyle \beta _{v}=1}$ за ${\displaystyle v<\infty .}$ Более того, существует ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} _{+},}$ так что ${\displaystyle \alpha _{v}=\lambda }$ за ${\displaystyle v|\infty .}$ Следовательно, ${\displaystyle \beta _{v}=\lambda ^{-1}}$ за ${\displaystyle v|\infty .}$ более того ${\displaystyle \textstyle \prod _{v}|\beta _{v}|_{v}=1,}$ подразумевает ${\displaystyle \lambda ^{n}=1,}$ куда ${\displaystyle n}$ это количество бесконечных мест ${\displaystyle K.}$ Как следствие ${\displaystyle \lambda =1}$ и поэтому ${\displaystyle \phi }$ инъективно. Чтобы показать сюръективность, пусть ${\displaystyle \gamma =(\gamma _{v})_{v}\in I_{K}.}$ Мы определяем ${\displaystyle \lambda :=|\gamma |^{\frac {1}{n}}}$ и, кроме того, определим ${\displaystyle \alpha _{v}=1}$ за ${\displaystyle v<\infty }$ и ${\displaystyle \alpha _{v}=\lambda }$ за ${\displaystyle v|\infty .}$ Определять ${\displaystyle \textstyle \beta ={\frac {\gamma }{\alpha }}.}$ Стоит, что ${\displaystyle \textstyle |\beta |={\frac {|\gamma |}{|\alpha |}}={\frac {\lambda ^{n}}{\lambda ^{n}}}=1.}$ Следовательно, ${\displaystyle \phi }$ сюръективно.

Остальные уравнения следуют аналогично.

Характеристика группы иделей

Теорема.^[24] Позволять ${\displaystyle K}$ быть числовым полем. Существует конечное множество мест ${\displaystyle S,}$ такой, что:

${\displaystyle I_{K}=\left(I_{K,S}\times \prod _{v\notin S}O_{v}^{\times }\right)K^{\times }=\left(\prod _{v\in S}K_{v}^{\times }\times \prod _{v\notin S}O_{v}^{\times }\right)K^{\times }.}$

Доказательство. В номер класса числового поля конечно, поэтому пусть ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {a}}_{h}}$ идеалы, представляющие классы в ${\displaystyle \operatorname {Cl} _{K}.}$ Эти идеалы порождаются конечным числом простых идеалов ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {p}}_{n}.}$ Позволять ${\displaystyle S}$ - конечное множество мест, содержащих ${\displaystyle P_{\infty }}$ и конечные места, соответствующие ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {p}}_{n}.}$ Рассмотрим изоморфизм:

${\displaystyle I_{K}/\left(\prod _{v<\infty }O_{v}^{\times }\times \prod _{v|\infty }K_{v}^{\times }\right)\cong J_{K},}$

индуцированный

${\displaystyle (\alpha _{v})_{v}\mapsto \prod _{v<\infty }{\mathfrak {p}}_{v}^{v(\alpha _{v})}.}$

В бесконечных местах утверждение очевидно, поэтому мы докажем утверждение для конечных точек. Включение "${\displaystyle \supset }$″ Очевидно. Позволять ${\displaystyle \alpha \in I_{K,{\text{fin}}}.}$ Соответствующий идеал ${\displaystyle \textstyle (\alpha )=\prod _{v<\infty }{\mathfrak {p}}_{v}^{v(\alpha _{v})}}$ принадлежит к классу ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}K^{\times },}$ смысл ${\displaystyle (\alpha )={\mathfrak {a}}_{i}(a)}$ для главного идеала ${\displaystyle (a).}$ Идель ${\displaystyle \alpha '=\alpha a^{-1}}$ карты к идеалу ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}}$ под картой ${\displaystyle I_{K,{\text{fin}}}\to J_{K}.}$ Это означает ${\displaystyle \textstyle {\mathfrak {a}}_{i}=\prod _{v<\infty }{\mathfrak {p}}_{v}^{v(\alpha '_{v})}.}$ Поскольку основные идеалы в ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}}$ находятся в ${\displaystyle S,}$ следует ${\displaystyle v(\alpha '_{v})=0}$ для всех ${\displaystyle v\notin S,}$ это означает ${\displaystyle \alpha '_{v}\in O_{v}^{\times }}$ для всех ${\displaystyle v\notin S.}$ Следует, что ${\displaystyle \alpha '=\alpha a^{-1}\in I_{K,S},}$ следовательно ${\displaystyle \alpha \in I_{K,S}K^{\times }.}$

Приложения

Конечность номера класса числового поля

В предыдущем разделе мы использовали тот факт, что номер класса числового поля конечен. Здесь мы хотим доказать это утверждение:

Теорема (конечность числа классов числового поля). Позволять ${\displaystyle K}$ быть числовым полем. потом ${\displaystyle |\operatorname {Cl} _{K}|<\infty .}$

Доказательство. Карта

${\displaystyle {\begin{cases}I_{K}^{1}\to J_{K}\\\left((\alpha _{v})_{v<\infty },(\alpha _{v})_{v|\infty }\right)\mapsto \prod _{v<\infty }{\mathfrak {p}}_{v}^{v(\alpha _{v})}\end{cases}}}$

сюръективно и поэтому ${\displaystyle \operatorname {Cl} _{K}}$ - непрерывный образ компакта ${\displaystyle I_{K}^{1}/K^{\times }.}$ Таким образом, ${\displaystyle \operatorname {Cl} _{K}}$ компактный. Вдобавок он дискретен и так конечен.

Замечание. Аналогичный результат имеется и для случая глобального функционального поля. В этом случае определяется так называемая группа дивизоров. Можно показать, что фактор множества всех делителей степени ${\displaystyle 0}$ по множеству главных дивизоров является конечной группой.^[25]

Группа единиц и теорема Дирихле о единицах

Позволять ${\displaystyle P\supset P_{\infty }}$ - конечное множество мест. Определять

${\displaystyle {\begin{aligned}\Omega (P)&:=\prod _{v\in P}K_{v}^{\times }\times \prod _{v\notin P}O_{v}^{\times }=(\mathbb {A} _{K}(P))^{\times }\\E(P)&:=K^{\times }\cap \Omega (P)\end{aligned}}}$

потом ${\displaystyle E(P)}$ является подгруппой ${\displaystyle K^{\times },}$ содержащий все элементы ${\displaystyle \xi \in K^{\times }}$ удовлетворение ${\displaystyle v(\xi )=0}$ для всех ${\displaystyle v\notin P.}$ С ${\displaystyle K^{\times }}$ дискретна в ${\displaystyle I_{K},}$ ${\displaystyle E(P)}$ дискретная подгруппа ${\displaystyle \Omega (P)}$ и с тем же аргументом, ${\displaystyle E(P)}$ дискретна в ${\displaystyle \Omega _{1}(P):=\Omega (P)\cap I_{K}^{1}.}$

Альтернативное определение: ${\displaystyle E(P)=K(P)^{\times },}$ куда ${\displaystyle K(P)}$ это подкольцо ${\displaystyle K}$ определяется

${\displaystyle K(P):=K\cap \left(\prod _{v\in P}K_{v}\times \prod _{v\notin P}O_{v}\right).}$

Как следствие, ${\displaystyle K(P)}$ содержит все элементы ${\displaystyle \xi \in K,}$ которые выполняют ${\displaystyle v(\xi )\geq 0}$ для всех ${\displaystyle v\notin P.}$

Лемма 1. Позволять ${\displaystyle 0<c\leq C<\infty .}$ Следующий набор конечно:

${\displaystyle \left\{\eta \in E(P):\left.{\begin{cases}|\eta _{v}|_{v}=1&\forall v\notin P\\c\leq |\eta _{v}|_{v}\leq C&\forall v\in P\end{cases}}\right\}\right\}.}$

Доказательство. Определять

${\displaystyle W:=\left\{(\alpha _{v})_{v}:\left.{\begin{cases}|\alpha _{v}|_{v}=1&\forall v\notin P\\c\leq |\alpha _{v}|_{v}\leq C&\forall v\in P\end{cases}}\right\}\right\}.}$

${\displaystyle W}$ компактно, а описанное выше множество является пересечением ${\displaystyle W}$ с дискретной подгруппой ${\displaystyle K^{\times }}$ в ${\displaystyle I_{K}}$ и поэтому конечный.

Лемма 2. Позволять ${\displaystyle E}$ быть набором всех ${\displaystyle \xi \in K}$ такой, что ${\displaystyle |\xi |_{v}=1}$ для всех ${\displaystyle v.}$ потом ${\displaystyle E=\mu (K),}$ группа всех корней единства ${\displaystyle K.}$ В частности, он конечен и цикличен.

Доказательство. Все корни единства ${\displaystyle K}$ иметь абсолютную ценность ${\displaystyle 1}$ так ${\displaystyle \mu (K)\subset E.}$ Обратим внимание на то, что лемма 1 с ${\displaystyle c=C=1}$ и любой ${\displaystyle P}$ подразумевает ${\displaystyle E}$ конечно. более того ${\displaystyle E\subset E(P)}$ для каждого конечного множества мест ${\displaystyle P\supset P_{\infty }.}$ Наконец, предположим, что существует ${\displaystyle \xi \in E,}$ что не является корнем единства ${\displaystyle K.}$ потом ${\displaystyle \xi ^{n}\neq 1}$ для всех ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ противоречащий конечности ${\displaystyle E.}$

Теорема о единицах. ${\displaystyle E(P)}$ является прямым продуктом ${\displaystyle E}$ и группа, изоморфная ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{s},}$ куда ${\displaystyle s=0,}$ если ${\displaystyle P=\emptyset }$ и ${\displaystyle s=|P|-1,}$ если ${\displaystyle P\neq \emptyset .}$^[26]

Теорема Дирихле о единицах. Позволять ${\displaystyle K}$ быть числовым полем. потом ${\displaystyle O^{\times }\cong \mu (K)\times \mathbb {Z} ^{r+s-1},}$ куда ${\displaystyle \mu (K)}$ конечная циклическая группа всех корней из единицы ${\displaystyle K,r}$ - количество реальных вложений ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle s}$ - количество сопряженных пар комплексных вложений ${\displaystyle K.}$ Стоит, что ${\displaystyle [K:\mathbb {Q} ]=r+2s.}$

Замечание. Теорема о единицах является обобщением теоремы Дирихле о единицах. Чтобы увидеть это, позвольте ${\displaystyle K}$ быть числовым полем. Мы уже знаем что ${\displaystyle E=\mu (K),}$ набор ${\displaystyle P=P_{\infty }}$ и обратите внимание ${\displaystyle |P_{\infty }|=r+s.}$ Тогда у нас есть:

${\displaystyle {\begin{aligned}E\times \mathbb {Z} ^{r+s-1}=E(P_{\infty })&=K^{\times }\cap \left(\prod _{v|\infty }K_{v}^{\times }\times \prod _{v<\infty }O_{v}^{\times }\right)\\&\cong K^{\times }\cap \left(\prod _{v<\infty }O_{v}^{\times }\right)\\&\cong O^{\times }\end{aligned}}}$

Аппроксимационные теоремы

Теорема о слабой аппроксимации.^[27] Позволять ${\displaystyle |\cdot |_{1},\ldots ,|\cdot |_{N},}$ быть неэквивалентными оценками ${\displaystyle K.}$ Позволять ${\displaystyle K_{n}}$ быть завершением ${\displaystyle K}$ относительно ${\displaystyle |\cdot |_{n}.}$ Встроить ${\displaystyle K}$ по диагонали в ${\displaystyle K_{1}\times \cdots \times K_{N}.}$ потом ${\displaystyle K}$ везде плотно в ${\displaystyle K_{1}\times \cdots \times K_{N}.}$ Другими словами, для каждого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ и для каждого ${\displaystyle (\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{N})\in K_{1}\times \cdots \times K_{N},}$ Существует ${\displaystyle \xi \in K,}$ такой, что:

${\displaystyle \forall n\in \{1,\ldots ,N\}:\quad |\alpha _{n}-\xi |_{n}<\varepsilon .}$

Теорема о сильной аппроксимации.^[28] Позволять ${\displaystyle v_{0}}$ быть местом ${\displaystyle K.}$ Определять

${\displaystyle V:={\prod _{v\neq v_{0}}}^{'}K_{v}.}$

потом ${\displaystyle K}$ плотно в ${\displaystyle V.}$

Замечание. Глобальное поле дискретно в своем кольце аделей. Теорема сильной аппроксимации говорит нам, что, если мы опускаем одно место (или более), свойство дискретности ${\displaystyle K}$ превращается в плотность ${\displaystyle K.}$

Принцип Хассе

Теорема Хассе-Минковского. Квадратичная форма на ${\displaystyle K}$ равен нулю тогда и только тогда, когда квадратичная форма равна нулю в каждом пополнении ${\displaystyle K_{v}.}$

Замечание. Это принцип Хассе для квадратичных форм. Для многочленов степени больше 2 принцип Хассе в общем случае не работает. Идея принципа Хассе (также известного как локально-глобальный принцип) состоит в решении заданной задачи числового поля. ${\displaystyle K}$ делая это в его завершении ${\displaystyle K_{v}}$ а затем заключить решение в ${\displaystyle K.}$

Персонажи на кольце адель

Определение. Позволять ${\displaystyle G}$ - локально компактная абелева группа. Группа персонажей ${\displaystyle G}$ это набор всех символов ${\displaystyle G}$ и обозначается ${\displaystyle {\widehat {G}}.}$ Эквивалентно ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ - множество всех непрерывных гомоморфизмов групп из ${\displaystyle G}$ к ${\displaystyle \mathbb {T} :=\{z\in \mathbb {C} :|z|=1\}.}$ Обустраиваем ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ с топологией равномерной сходимости на компактных подмножествах ${\displaystyle G.}$ Можно показать, что ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ также является локально компактной абелевой группой.

Теорема. Кольцо аделей самодуальное: ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}\cong {\widehat {\mathbb {A} _{K}}}.}$

Доказательство. Приведением к локальным координатам достаточно показать каждый ${\displaystyle K_{v}}$ самодуальна. Это можно сделать, используя фиксированный символ ${\displaystyle K_{v}.}$ Мы проиллюстрируем эту идею, показывая ${\displaystyle \mathbb {R} }$ самодуальна. Определять:

${\displaystyle {\begin{cases}e_{\infty }:\mathbb {R} \to \mathbb {T} \\e_{\infty }(t):=\exp(2\pi it)\end{cases}}}$

Тогда следующее отображение является изоморфизмом, учитывающим топологии:

${\displaystyle {\begin{cases}\phi :\mathbb {R} \to {\widehat {\mathbb {R} }}\\s\mapsto {\begin{cases}\phi _{s}:\mathbb {R} \to \mathbb {T} \\\phi _{s}(t):=e_{\infty }(ts)\end{cases}}\end{cases}}}$

Теорема (алгебраические и непрерывные двойственные кольца аделей).^[29] Позволять ${\displaystyle \chi }$ быть нетривиальным персонажем ${\displaystyle \mathbb {A} _{K},}$ что тривиально на ${\displaystyle K.}$ Позволять ${\displaystyle E}$ - конечномерное векторное пространство над ${\displaystyle K.}$ Позволять ${\displaystyle E^{\star }}$ и ${\displaystyle \mathbb {A} _{E}^{\star }}$ быть алгебраическими двойниками ${\displaystyle E}$ и ${\displaystyle \mathbb {A} _{E}.}$ Обозначим топологический двойственный к ${\displaystyle \mathbb {A} _{E}}$ к ${\displaystyle \mathbb {A} _{E}'}$ и использовать ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ и ${\displaystyle [{\cdot },{\cdot }]}$ для обозначения естественных билинейных пар на ${\displaystyle \mathbb {A} _{E}\times \mathbb {A} _{E}'}$ и ${\displaystyle \mathbb {A} _{E}\times \mathbb {A} _{E}^{\star }.}$ Тогда формула ${\displaystyle \langle e,e'\rangle =\chi ([e,e^{\star }])}$ для всех ${\displaystyle e\in \mathbb {A} _{E}}$ определяет изоморфизм ${\displaystyle e^{\star }\mapsto e'}$ из ${\displaystyle \mathbb {A} _{E}^{\star }}$ на ${\displaystyle \mathbb {A} _{E}',}$ куда ${\displaystyle e'\in \mathbb {A} _{E}'}$ и ${\displaystyle e^{\star }\in \mathbb {A} _{E}^{\star }.}$ Более того, если ${\displaystyle e^{\star }\in \mathbb {A} _{E}^{\star }}$ выполняет ${\displaystyle \chi ([e,e^{\star }])=1}$ для всех ${\displaystyle e\in E,}$ тогда ${\displaystyle e^{\star }\in E^{\star }.}$

Тезис Тейта

С помощью персонажей ${\displaystyle \mathbb {A} _{K},}$ мы можем провести анализ Фурье на кольце аделей.^[30] Джон Тейт в своей диссертации «Анализ Фурье в числовых полях и дзета-функциях Геккеса»^[4] доказал результаты о L-функциях Дирихле с помощью анализа Фурье на кольце аделей и группе иделей. Таким образом, кольцо аделей и группа иделей были применены для изучения дзета-функции Римана и более общих дзета-функций и L-функций. Мы можем определить адельные формы этих функций и представить их в виде интегралов по кольцу аделей или группе иделей относительно соответствующих мер Хаара. Мы можем показать функциональные уравнения и мероморфные продолжения этих функций. Например, для всех ${\displaystyle s\in \mathbb {C} }$ с ${\displaystyle \Re (s)>1,}$

${\displaystyle \int _{\widehat {\mathbb {Z} }}|x|^{s}d^{\times }x=\zeta (s),}$

куда ${\displaystyle d^{\times }x}$ - единственная мера Хаара на ${\displaystyle I_{\mathbb {Q} ,{\text{fin}}}}$ нормализованы так, что ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}^{\times }}$ имеет объем один и продолжается нулем до конечного кольца аделей. В результате дзета-функция Римана может быть записана как интеграл по (подмножеству) кольца аделей.^[31]

Автоморфные формы

Теория автоморфных форм является обобщением тезиса Тейта путем замены группы иделей аналогичными группами более высокой размерности. Чтобы увидеть эту заметку:

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\mathbb {Q} }&=\operatorname {GL} (1,\mathbb {A} _{\mathbb {Q} })\\I_{\mathbb {Q} }^{1}&=(\operatorname {GL} (1,\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }))^{1}:=\{x\in \operatorname {GL} (1,\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }):|x|=1\}\\\mathbb {Q} ^{\times }&=\operatorname {GL} (1,\mathbb {Q} )\end{aligned}}}$

Основываясь на этой идентификации, естественным обобщением будет замена группы иделей и 1-иделей на:

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\mathbb {Q} }&\leftrightsquigarrow \operatorname {GL} (2,\mathbb {A} _{\mathbb {Q} })\\I_{\mathbb {Q} }^{1}&\leftrightsquigarrow (\operatorname {GL} (2,\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }))^{1}:=\{x\in \operatorname {GL} (2,\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }):|\det(x)|=1\}\\\mathbb {Q} &\leftrightsquigarrow \operatorname {GL} (2,\mathbb {Q} )\end{aligned}}}$

И наконец

${\displaystyle \mathbb {Q} ^{\times }\backslash I_{\mathbb {Q} }^{1}\cong \mathbb {Q} ^{\times }\backslash I_{\mathbb {Q} }\leftrightsquigarrow (\operatorname {GL} (2,\mathbb {Q} )\backslash (\operatorname {GL} (2,\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }))^{1}\cong (\operatorname {GL} (2,\mathbb {Q} )Z_{\mathbb {R} })\backslash \operatorname {GL} (2,\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }),}$

куда ${\displaystyle Z_{\mathbb {R} }}$ это центр ${\displaystyle \operatorname {GL} (2,\mathbb {R} ).}$ Затем мы определяем автоморфную форму как элемент ${\displaystyle L^{2}((\operatorname {GL} (2,\mathbb {Q} )Z_{\mathbb {R} })\backslash \operatorname {GL} (2,\mathbb {A} _{\mathbb {Q} })).}$ Другими словами, автоморфная форма - это функция на ${\displaystyle \operatorname {GL} (2,\mathbb {A} _{\mathbb {Q} })}$ удовлетворяющие некоторым алгебраическим и аналитическим условиям. Для изучения автоморфных форм важно знать представления группы ${\displaystyle \operatorname {GL} (2,\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }).}$ Также возможно изучение автоморфных L-функций, которые можно описать как интегралы по ${\displaystyle \operatorname {GL} (2,\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }).}$^[32]

Мы могли бы обобщить еще больше, заменив ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ с числовым полем и ${\displaystyle \operatorname {GL} (2)}$ с произвольной редуктивной алгебраической группой.

Дальнейшие приложения

Обобщение закона взаимности Артина приводит к связи представлений ${\displaystyle \operatorname {GL} (2,\mathbb {A} _{K})}$ и представлений Галуа ${\displaystyle K}$ (Программа Ленглендса).

Группа классов idele является ключевым объектом теория поля классов, который описывает абелевы расширения поля. Произведение локальных карт взаимности в теория поля локальных классов дает гомоморфизм группы иделей группе Галуа максимального абелевого расширения глобального поля. В Закон взаимности Артина, который является высокоуровневым обобщением квадратичного закона взаимности Гаусса, утверждает, что произведение обращается в нуль на мультипликативной группе числового поля. Таким образом, мы получаем глобальное отображение взаимности группы классов идеелей в абелеву часть абсолютной группы Галуа поля.

Из автодуальности кольца аделей функционального поля кривой над конечным полем легко следует Теорема Римана – Роха и теория двойственности для кривой.

Примечания

• Какую проблему решают адели?
• Несколько хороших книг об аделах

Рекомендации

1. Groechenig, Майкл (август 2017). «Теория адельского происхождения». Compositio Mathematica. 153 (8): 1706–1746. arXiv:1511.06271. Дои:10.1112 / S0010437X17007217. ISSN  0010-437X.
2. Теория геометрического поля класса, примечания Тони Фенга к лекции Бхаргава Бхатта (PDF).
3. Теорема Вейля об униформизации, статья nlab.
4. Cassels & Fröhlich 1967.
5. Остатки дифференциалов на кривых (PDF).
6. Это доказательство можно найти в Cassels & Fröhlich 1967, п. 64.
7. Определения основаны на Weil 1967, п. 60.
8. Видеть Weil 1967, п. 64 или Cassels & Fröhlich 1967, п. 74.
9. Для доказательства см. Дейтмар 2010, п. 124, теорема 5.2.1.
10. Видеть Cassels & Fröhlich 1967, п. 64, теорема, или Weil 1967, п. 64, теорема 2.
11. Следующее утверждение можно найти в Нойкирх 2007, п. 383.
12. Видеть Дейтмар 2010, п. 126, теорема 5.2.2 для рационального случая.
13. Этот раздел основан на Weil 1967, п. 71.
14. Доказательство этого утверждения можно найти в Weil 1967, п. 71.
15. Доказательство этого утверждения можно найти в Weil 1967, п. 72.
16. Для доказательства см. Нойкирх 2007, п. 388.
17. Это заявление можно найти в Cassels & Fröhlich 1967, п. 69.
18. ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{1}}$ также используется для набора ${\displaystyle 1}$-idele, но мы будем использовать ${\displaystyle I_{K}^{1}}$.
19. Этот результат имеет множество доказательств. Показанный ниже основан на Нойкирх 2007, п. 195.
20. Для доказательства см. Cassels & Fröhlich 1967, п. 66.
21. Это доказательство можно найти в Weil 1967, п. 76 или в Cassels & Fröhlich 1967, п. 70.
22. Часть теоремы 5.3.3 в Дейтмар 2010.
23. Часть теоремы 5.3.3 в Дейтмар 2010.
24. Общее доказательство этой теоремы для любого глобального поля дано в Weil 1967, п. 77.
25. Для получения дополнительной информации см. Cassels & Fröhlich 1967, п. 71.
26. Доказательство можно найти в Weil 1967, п. 78 или в Cassels & Fröhlich 1967, п. 72.
27. Доказательство можно найти в Cassels & Fröhlich 1967, п. 48.
28. Доказательство можно найти в Cassels & Fröhlich 1967, п. 67
29. Доказательство можно найти в Weil 1967, п. 66.
30. Подробнее см. Дейтмар 2010, п. 129.
31. Доказательство можно найти Дейтмар 2010, п. 128, теорема 5.3.4. Также стр. 139 для получения дополнительной информации о диссертации Тейта.
32. Для получения дополнительной информации см. Главы 7 и 8 в Дейтмар 2010.

Источники

• Касселс, Джон; Фрёлих, Альбрехт (1967). Алгебраическая теория чисел: материалы учебной конференции, организованной Лондонским математическим обществом (Институтом перспективных исследований НАТО). XVIII. Лондон: Academic Press. ISBN  978-0-12-163251-9. 366 страниц.
• Нойкирх, Юрген (2007). Algebraische Zahlentheorie, unveränd. nachdruck der 1. aufl. edn (на немецком). XIII. Берлин: Springer. ISBN  9783540375470. 595 страниц.
• Вайль, Андре (1967). Основная теория чисел. XVIII. Берлин; Гейдельберг; Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  978-3-662-00048-9. 294 страницы.
• Дейтмар, Антон (2010). Автоморф Формен (на немецком). VIII. Берлин; Гейдельберг (u.a.): Springer. ISBN  978-3-642-12389-4. 250 страниц.
• Ланг, Серж (1994). Алгебраическая теория чисел, Тексты для выпускников по математике 110 (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  978-0-387-94225-4.