Отрицательное полиномиальное распределение Дирихле - Dirichlet negative multinomial distribution

Обозначение	${\displaystyle {\textrm {DNM}}(x_{0},\,\alpha _{0},\,{\boldsymbol {\alpha }})}$
Параметры	${\displaystyle x_{0}\in R,\alpha _{0}\in R,{\boldsymbol {\alpha }}\in R^{m}}$
Поддерживать	${\displaystyle x_{i}\in \{0,1,2,\ldots \},1\leq i\leq m}$
PDF	${\displaystyle {\frac {\mathrm {B} (\sum _{i=0}^{m}x_{i},\sum _{i=0}^{m}\alpha _{i})}{\mathrm {B} (x_{0},\alpha _{0})}}\prod _{i=1}^{m}{\frac {\Gamma (x_{i}+\alpha _{i})}{x_{i}!\Gamma (\alpha _{i})}}}$ где Γ (Икс) это Гамма-функция а B - бета-функция.
Иметь в виду	${\displaystyle {\tfrac {x_{0}}{\alpha _{0}-1}}{\boldsymbol {\alpha }}}$ за ${\displaystyle \alpha _{0}>1}$
Дисперсия	${\displaystyle \,{\frac {x_{0}(x_{0}+\alpha _{0}-1)}{(\alpha _{0}-1)^{2}(\alpha _{0}-2)}}\left[{\boldsymbol {\alpha }}{\boldsymbol {\alpha }}'+(\alpha _{0}-1)\operatorname {diag} ({\boldsymbol {\alpha }})\right]}$ за ${\displaystyle \alpha _{0}>2}$
MGF	неопределенный

В теория вероятности и статистика, то Отрицательное полиномиальное распределение Дирихле является многомерным распределением неотрицательных целых чисел. Это многомерное расширение бета-отрицательное биномиальное распределение. Это также обобщение отрицательное полиномиальное распределение (НМ (k, п)) с учетом неоднородности или чрезмерная дисперсия к вектору вероятности. Он используется в количественное маркетинговое исследование для гибкого моделирования количества транзакций домашних хозяйств по нескольким брендам.

Если параметры Распределение Дирихле находятся ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$, и если

${\displaystyle X\mid p\sim \operatorname {NM} (x_{0},\mathbf {p} ),}$

куда

${\displaystyle \mathbf {p} \sim \operatorname {Dir} (\alpha _{0},{\boldsymbol {\alpha }}),}$

то предельное распределение Икс является отрицательным полиномиальным распределением Дирихле:

${\displaystyle X\sim \operatorname {DNM} (x_{0},\alpha _{0},{\boldsymbol {\alpha }}).}$

В приведенном выше описании ${\displaystyle \operatorname {NM} (x_{0},\mathbf {p} )}$ это отрицательное полиномиальное распределение и ${\displaystyle \operatorname {Dir} (\alpha _{0},{\boldsymbol {\alpha }})}$ это Распределение Дирихле.

Мотивация

Отрицательный полином Дирихле как сложное распределение

Распределение Дирихле - это сопряженное распределение к отрицательному полиномиальному распределению. Этот факт приводит к аналитически поддающейся обработке составное распределение.Для случайного вектора количества категорий ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\dots ,x_{m})}$, распределенных согласно отрицательное полиномиальное распределение, составное распределение получается интегрированием по распределению для п который можно рассматривать как случайный вектор следуя распределению Дирихле:

${\displaystyle \Pr(\mathbf {x} \mid x_{0},\alpha _{0},{\boldsymbol {\alpha }})=\int _{\mathbf {p} }\Pr(\mathbf {x} \mid x_{0},\mathbf {p} )\Pr(\mathbf {p} \mid \alpha _{0},{\boldsymbol {\alpha }}){\textrm {d}}\mathbf {p} }$

${\displaystyle \Pr(\mathbf {x} \mid x_{0},\alpha _{0},{\boldsymbol {\alpha }})={\frac {\Gamma \left(\sum _{i=0}^{m}{x_{i}}\right)}{\Gamma (x_{0})\prod _{i=1}^{m}x_{i}!}}{\frac {1}{\mathrm {B} ({\boldsymbol {\alpha }})}}\int _{\mathbf {p} }\prod _{i=0}^{m}p_{i}^{x_{i}+\alpha _{i}-1}{\textrm {d}}\mathbf {p} }$

что приводит к следующей формуле:

${\displaystyle \Pr(\mathbf {x} \mid x_{0},\alpha _{0},{\boldsymbol {\alpha }})={\frac {\Gamma \left(\sum _{i=0}^{m}{x_{i}}\right)}{\Gamma (x_{0})\prod _{i=1}^{m}x_{i}!}}{\frac {{\mathrm {B} }(\mathbf {x_{+}} +{\boldsymbol {\alpha }}_{+})}{\mathrm {B} ({\boldsymbol {\alpha }}_{+})}}}$

куда ${\displaystyle \mathbf {x_{+}} }$ и ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}_{+}}$ являются ${\displaystyle m+1}$ размерные векторы, созданные путем добавления скаляров ${\displaystyle x_{0}}$ и ${\displaystyle \alpha _{0}}$ к ${\displaystyle m}$ размерные векторы ${\displaystyle \mathbf {x} }$ и ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$ соответственно и ${\displaystyle \mathrm {B} }$ это многомерная версия бета-функция. Мы можем явно записать это уравнение в виде

${\displaystyle \Pr(\mathbf {x} \mid x_{0},\alpha _{0},{\boldsymbol {\alpha }})=x_{0}{\frac {\Gamma (\sum _{i=0}^{m}x_{i})\Gamma (\sum _{i=0}^{m}\alpha _{i})}{\Gamma (\sum _{i=0}^{m}(x_{i}+\alpha _{i}))}}\prod _{i=0}^{m}{\frac {\Gamma (x_{i}+\alpha _{i})}{\Gamma (x_{i}+1)\Gamma (\alpha _{i})}}.}$

Существуют альтернативные составы. Одно удобное представление^[1] является

${\displaystyle \Pr(\mathbf {x} \mid x_{0},\alpha _{0},{\boldsymbol {\alpha }})={\frac {\Gamma (x_{\bullet })}{\Gamma (x_{0})\prod _{i=1}^{m}\Gamma (x_{i}+1)}}\times {\frac {\Gamma (\alpha _{\bullet })}{\prod _{i=0}^{m}\Gamma (\alpha _{i})}}\times {\frac {\prod _{i=0}^{m}\Gamma (x_{i}+\alpha _{i})}{\Gamma (x_{\bullet }+\alpha _{\bullet })}}}$

куда ${\displaystyle x_{\bullet }=x_{0}+x_{1}+\cdots +x_{m}}$ и ${\displaystyle \alpha _{\bullet }=\alpha _{0}+\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{m}}$.

Это также можно написать

${\displaystyle \Pr(\mathbf {x} \mid x_{0},\alpha _{0},{\boldsymbol {\alpha }})={\frac {\mathrm {B} (x_{\bullet },\alpha _{\bullet })}{\mathrm {B} (x_{0},\alpha _{0})}}\prod _{i=1}^{m}{\frac {\Gamma (x_{i}+\alpha _{i})}{x_{i}!\Gamma (\alpha _{i})}}.}$

Характеристики

Маржинальные распределения

Чтобы получить предельное распределение над подмножеством отрицательных полиномиальных случайных величин Дирихле нужно только отбросить нерелевантные ${\displaystyle \alpha _{i}}$(переменные, которые нужно исключить) из ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$ вектор. Совместное распределение остальных случайных величин равно ${\displaystyle \mathrm {DNM} (x_{0},\alpha _{0},{\boldsymbol {\alpha _{-}}})}$ куда ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha _{-}}}}$ вектор с удаленным ${\displaystyle \alpha _{i}}$с.

Условные распределения

Если м-размерный Икс разделен следующим образом

${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}\mathbf {x} ^{(1)}\\\mathbf {x} ^{(2)}\end{bmatrix}}{\text{ with sizes }}{\begin{bmatrix}q\times 1\\(m-q)\times 1\end{bmatrix}}}$

и соответственно ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}={\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\alpha }}^{(1)}\\{\boldsymbol {\alpha }}^{(2)}\end{bmatrix}}{\text{ with sizes }}{\begin{bmatrix}q\times 1\\(m-q)\times 1\end{bmatrix}}}$

затем условное распределение из ${\displaystyle \mathbf {x} ^{(1)}}$ на ${\displaystyle \mathbf {x} ^{(2)}}$ является ${\displaystyle \mathrm {DNM} (x_{0}^{\prime },\alpha _{0}^{\prime },{\boldsymbol {\alpha }}^{(1)})}$ куда

${\displaystyle x_{0}^{\prime }=x_{0}+\sum _{i=1}^{m-q}x_{i}^{(2)}}$

и

${\displaystyle \alpha _{0}^{\prime }=\alpha _{0}+\sum _{i=1}^{m-q}\alpha _{i}^{(2)}}$.

То есть,

${\displaystyle \Pr(\mathbf {x} ^{(1)}\mid \mathbf {x} ^{(2)},x_{0},\alpha _{0},{\boldsymbol {\alpha }})={\frac {\mathrm {B} (x_{\bullet },\alpha _{\bullet })}{\mathrm {B} (x_{0}^{\prime },\alpha _{0}^{\prime })}}\prod _{i=1}^{q}{\frac {\Gamma (x_{i}^{(1)}+\alpha _{i}^{(1)})}{(x_{i}^{(1)}!)\Gamma (\alpha _{i}^{(1)})}}}$

Условно на сумму

Условное распределение отрицательного полиномиального распределения Дирихле на ${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}x_{i}=n}$ является Дирихле-полиномиальное распределение с параметрами ${\displaystyle n}$ и ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$. То есть

${\displaystyle \Pr(\mathbf {x} \mid \sum _{i=1}^{m}x_{i}=n,x_{0},\alpha _{0},{\boldsymbol {\alpha }})={\frac {n!\Gamma \left(\sum _{i=1}^{m}\alpha _{i}\right)}{\Gamma \left(n+\sum _{i=1}^{m}\alpha _{i}\right)}}\prod _{i=1}^{m}{\frac {\Gamma (x_{i}+\alpha _{i})}{x_{i}!\Gamma (\alpha _{i})}}}$.

Обратите внимание, что уравнение не зависит от ${\displaystyle x_{0}}$ или же ${\displaystyle \alpha _{0}}$.

Корреляционная матрица

За ${\displaystyle \alpha _{0}>2}$ записи корреляционная матрица находятся

${\displaystyle \rho (X_{i},X_{i})=1.}$

${\displaystyle \rho (X_{i},X_{j})={\frac {\operatorname {cov} (X_{i},X_{j})}{\sqrt {\operatorname {var} (X_{i})\operatorname {var} (X_{j})}}}={\sqrt {\frac {\alpha _{i}\alpha _{j}}{(\alpha _{0}+\alpha _{i}-1)(\alpha _{0}+\alpha _{j}-1)}}}.}$

Тяжелохвостый

Отрицательный многочлен Дирихле - это распределение с тяжелыми хвостами. У него нет конечный иметь в виду за ${\displaystyle \alpha _{0}\leq 1}$ и он бесконечен ковариационная матрица за ${\displaystyle \alpha _{0}\leq 2}$. Следовательно, он не определен функция, производящая момент.

Агрегация

Если

${\displaystyle X=(X_{1},\ldots ,X_{m})\sim \operatorname {DNM} (x_{0},\alpha _{0},\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{m})}$

то, если случайные величины с положительными индексами я и j удаляются из вектора и заменяются их суммой,

${\displaystyle X'=(X_{1},\ldots ,X_{i}+X_{j},\ldots ,X_{m})\sim \operatorname {DNM} \left(x_{0},\alpha _{0},\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{i}+\alpha _{j},\ldots ,\alpha _{m}\right).}$

Приложения

Отрицательный многочлен Дирихле как модель урны

Отрицательный полином Дирихле также может быть мотивирован модель урны в случае, когда ${\displaystyle x_{0}}$ положительное целое число. Рассмотрим последовательность независимых и одинаково распределенных полиномиальных испытаний, каждое из которых имеет ${\displaystyle 1+m}$ результаты. Назовем один из результатов «успехом» и предположим, что он имеет вероятность ${\displaystyle p_{0}}$. Другой ${\displaystyle m}$ результаты - так называемые «неудачи» - имеют вероятность ${\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots ,p_{m}}$. Если вектор ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\cdots x_{m})}$ считает m типов отказов перед ${\displaystyle x_{0}}$ успех наблюдается, то ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m})}$ имеют отрицательное мультиномиальное распределение с параметрами ${\displaystyle (x_{0},p_{1},\ldots ,p_{m})}$.

Если параметры ${\displaystyle (p_{0},p_{1},\ldots ,p_{m})}$ сами выбираются из распределения Дирихле с параметрами ${\displaystyle (\alpha _{0},\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{m})}$, то полученное распределение ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m})}$ является отрицательным полиномом Дирихле. Результирующее распределение имеет ${\displaystyle 2+m}$ параметры.

Смотрите также

• Бета-отрицательное биномиальное распределение
• Отрицательное полиномиальное распределение
• Дирихле-полиномиальное распределение

Рекомендации

1. Прощай, Дэниел, и прощай, Вернон. (2012). Отрицательная полиномиальная регрессия Дирихле для сверхдисперсных коррелированных данных подсчета. Биостатистика (Оксфорд, Англия). 14. 10.1093 / биостатистика / kxs050.