Бета-отрицательное биномиальное распределение - Beta negative binomial distribution

Бета-отрицательный биномиальный

Параметры	${\displaystyle \alpha >0}$ форма (настоящий ) ${\displaystyle \beta >0}$ форма (настоящий ) ${\displaystyle r>0}$ - количество отказов до остановки эксперимента (целое число но может быть расширен до настоящий )
Поддерживать	k ∈ { 0, 1, 2, 3, ... }
PMF	${\displaystyle {\frac {\Gamma (r+k)}{k!\;\Gamma (r)}}{\frac {\mathrm {B} (\alpha +r,\beta +k)}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}}$
Иметь в виду	${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {r\beta }{\alpha -1}}&{\text{if}}\ \alpha >1\\\infty &{\text{otherwise}}\ \end{cases}}}$
Дисперсия	${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {r(\alpha +r-1)\beta (\alpha +\beta -1)}{(\alpha -2){(\alpha -1)}^{2}}}&{\text{if}}\ \alpha >2\\\infty &{\text{otherwise}}\ \end{cases}}}$
Асимметрия	${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {(\alpha +2r-1)(\alpha +2\beta -1)}{(\alpha -3){\sqrt {\frac {r(\alpha +r-1)\beta (\alpha +\beta -1)}{\alpha -2}}}}}&{\text{if}}\ \alpha >3\\\infty &{\text{otherwise}}\ \end{cases}}}$
MGF	неопределенный
CF	${\displaystyle {\frac {\Gamma (\alpha +r)\Gamma (\alpha +\beta )}{\Gamma (\alpha +\beta +r)\Gamma (\alpha )}}{}_{2}F_{1}(r,\beta ;\alpha +\beta +r;e^{it})\!}$ куда ${\displaystyle \Gamma }$ это гамма-функция и ${\displaystyle {}_{2}F_{1}}$ это гипергеометрическая функция.

В теория вероятности, а бета-отрицательное биномиальное распределение это распределение вероятностей из дискретный случайная переменная  Икс равно количеству отказов, необходимых для получения р успехов в последовательности независимый Бернулли испытания где вероятность п успеха в каждом испытании, будучи постоянным в рамках любого данного эксперимента, сам по себе является случайной величиной, следующей за бета-распространение, варьируясь между разными экспериментами. Таким образом, распределение является сложное распределение вероятностей.

Это распределение также называют обратное распределение Маркова-Полиа и обобщенное распределение Варинга.^[1] Сдвинутая форма распределения получила название бета-Паскаль распределение.^[1]

Если параметры бета-распределения равны α и β, и если

${\displaystyle X\mid p\sim \mathrm {NB} (r,p),}$

куда

${\displaystyle p\sim {\textrm {B}}(\alpha ,\beta ),}$

то предельное распределение Икс это бета-отрицательное биномиальное распределение:

${\displaystyle X\sim \mathrm {BNB} (r,\alpha ,\beta ).}$

Выше NB (р, п) это отрицательное биномиальное распределение и B (α, β) это бета-распространение.

Определение

Если ${\displaystyle r}$ является целым числом, то PMF можно записать в терминах бета-функция,:

${\displaystyle f(k|\alpha ,\beta ,r)={\binom {r+k-1}{k}}{\frac {\mathrm {B} (\alpha +r,\beta +k)}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}}$.

В более общем виде PMF можно записать

${\displaystyle f(k|\alpha ,\beta ,r)={\frac {\Gamma (r+k)}{k!\;\Gamma (r)}}{\frac {\mathrm {B} (\alpha +r,\beta +k)}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}}$

или же

${\displaystyle f(k|\alpha ,\beta ,r)={\frac {\mathrm {B} (r+k,\alpha +\beta )}{\mathrm {B} (r,\alpha )}}{\frac {\Gamma (k+\beta )}{k!\;\Gamma (\beta )}}}$.

PMF, выраженный с помощью гаммы

Используя свойства Бета-функция, PMF с целым числом ${\displaystyle r}$ можно переписать как:

${\displaystyle f(k|\alpha ,\beta ,r)={\binom {r+k-1}{k}}{\frac {\Gamma (\alpha +r)\Gamma (\beta +k)\Gamma (\alpha +\beta )}{\Gamma (\alpha +r+\beta +k)\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}}$.

В более общем виде PMF можно записать как

${\displaystyle f(k|\alpha ,\beta ,r)={\frac {\Gamma (r+k)}{k!\;\Gamma (r)}}{\frac {\Gamma (\alpha +r)\Gamma (\beta +k)\Gamma (\alpha +\beta )}{\Gamma (\alpha +r+\beta +k)\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}}$.

PMF выражается восходящим символом Покаммера

PMF часто также представляется в виде Символ Pochammer для целого числа ${\displaystyle r}$

${\displaystyle f(k|\alpha ,\beta ,r)={\frac {r^{(k)}\alpha ^{(r)}\beta ^{(k)}}{k!(\alpha +\beta )^{(r)}(r+\alpha +\beta )^{(k)}}}}$

Характеристики

Неидентифицируемый

Бета-отрицательный бином неидентифицируемый что можно легко увидеть, просто поменяв местами ${\displaystyle r}$ и ${\displaystyle \beta }$ в указанной плотности или характеристическая функция и отметив, что он не изменился.

Отношение к другим дистрибутивам

Бета-отрицательное биномиальное распределение содержит бета-геометрическое распределение как частный случай, когда ${\displaystyle r=1}$. Следовательно, он может приблизить геометрическое распределение произвольно хорошо. Он также хорошо аппроксимирует отрицательное биномиальное распределение для больших ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$. Следовательно, он может приблизить распределение Пуассона произвольно хорошо для больших ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$ и ${\displaystyle r}$.

Тяжелохвостый

К Приближение Стирлинга к бета-функции, легко показать, что

${\displaystyle f(k|\alpha ,\beta ,r)\sim {\frac {\Gamma (\alpha +r)}{\Gamma (r)\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}{\frac {k^{r-1}}{(\beta +k)^{r+\alpha }}}}$

откуда следует, что бета-отрицательное биномиальное распределение равно тяжелый хвост и это моменты меньше или равно ${\displaystyle \alpha }$ не существует.

Смотрите также

• Отрицательное биномиальное распределение
• Отрицательное полиномиальное распределение Дирихле

Примечания

1. Джонсон и др. (1993)

Рекомендации

• Jonhnson, N.L .; Kotz, S .; Кемп, А. (1993) Одномерные дискретные распределения, 2-е издание, Wiley ISBN  0-471-54897-9 (Раздел 6.2.3)
• Kemp, C.D .; Кемп, А. (1956) «Обобщенные гипергеометрические распределения., Журнал Королевского статистического общества, Series B, 18, 202–211
• Ван, Чжаолян (2011) «Одно смешанное отрицательное биномиальное распределение с приложением», Журнал статистического планирования и вывода, 141 (3), 1153-1160 Дои:10.1016 / j.jspi.2010.09.020

внешняя ссылка

• Интерактивная графика: Одномерные отношения распределения