Дзета-функция Гурвица - Hurwitz zeta function

В математика, то Дзета-функция Гурвица, названный в честь Адольф Гурвиц, является одним из многих дзета-функции. Формально он определен для сложный аргументы s с Re (s)> 1 и q с Re (q)> 0 по

Эта серия абсолютно сходящийся для данных значений s и q и может быть расширен до мероморфная функция определено для всех s≠ 1. В Дзета-функция Римана есть ζ (s,1).

Дзета-функция Гурвица, соответствующая q = 1/3. Он генерируется как Матплотлиб сюжет с использованием версии Раскраска домена метод.[1]

Аналитическое продолжение

Дзета-функция Гурвица, соответствующая q = 24/25.

Если дзета-функция Гурвица может быть определена уравнением

где контур представляет собой петлю вокруг отрицательной действительной оси. Это обеспечивает аналитическое продолжение .

Дзета-функцию Гурвица можно расширить с помощью аналитическое продолжение к мероморфная функция определено для всех комплексных чисел с . В оно имеет простой полюс с остаток . Постоянный член определяется выражением

куда это гамма-функция и это функция дигаммы.

Представление серии

Дзета-функция Гурвица как функция q с s = 3+4я.

Сходящийся Серия Ньютон представление, определенное для (реального) q > 0 и любой комплекс s ≠ 1 было предоставлено Хельмут Хассе в 1930 г .:[2]

Этот ряд сходится равномерно на компактные подмножества из s-самолет на вся функция. Внутреннюю сумму можно понимать как пth форвардная разница из ; то есть,

где Δ - оператор прямой разницы. Таким образом, можно написать

Другие серии, сходящиеся глобально, включают эти примеры

куда ЧАСп являются Гармонические числа, являются Числа Стирлинга первого рода, это Символ Поххаммера, граммп являются Коэффициенты Грегори, грамм(k)
п
являются Коэффициенты Грегори высшего порядка и Cп - числа Коши второго рода (C1 = 1/2, C2 = 5/12, C3 = 3/8, ...), см. статью Благушина.[3]

Интегральное представление

Функция имеет интегральное представление в терминах Преобразование Меллина в качестве

за и

Формула Гурвица

Формула Гурвица - это теорема о том, что

куда

представляет собой представление дзета, которое действительно для и s> 1. Здесь это полилогарифм.

Функциональное уравнение

В функциональное уравнение связывает значения дзета в левой и правой частях комплексной плоскости. Для целых чисел ,

выполняется для всех значений s.

Некоторые конечные суммы

С функциональным уравнением тесно связаны следующие конечные суммы, некоторые из которых могут быть вычислены в замкнутой форме

куда м положительное целое число больше 2 и s является сложным, см., например, Приложение B в.[4]

Серия Тейлор

Производная от дзета во втором аргументе есть сдвиг:

Таким образом Серия Тейлор можно записать как:

В качестве альтернативы,

с .[5]

Тесно связан Старк – Кейпер формула:

что справедливо для целого числа N и произвольный s. Смотрите также Формула Фаульхабера для аналогичного соотношения для конечных сумм степеней целых чисел.

Серия Laurent

В Серия Laurent расширение может использоваться для определения Константы Стилтьеса что происходит в сериале

Конкретно и .

преобразование Фурье

В дискретное преобразование Фурье дзета-функции Гурвица относительно порядка s это Функция ци Лежандра.

Связь с полиномами Бернулли

Функция определенное выше обобщает Полиномы Бернулли:

куда обозначает действительную часть z. Альтернативно,

В частности, соотношение верно для и у одного есть

Связь с тета-функцией Якоби

Если Якоби тета-функция, тогда

относится к и z сложное, но не целое. За z=п целое число, это упрощает

где ζ - Дзета-функция Римана. Обратите внимание, что эта последняя форма является функциональное уравнение для дзета-функции Римана, как первоначально было дано Риманом. Различие на основе z целое число или нет, объясняет тот факт, что тета-функция Якоби сходится к периодической дельта-функция, или же Гребень Дирака в z в качестве .

Отношение к Дирихле L-функции

При рациональных аргументах дзета-функция Гурвица может быть выражена как линейная комбинация L-функции Дирихле и наоборот: дзета-функция Гурвица совпадает с Дзета-функция Римана ζ (s) когда q = 1, когда q = 1/2 он равен (2s−1) ζ (s),[6] и если q = п/k с k > 2, (п,k)> 1 и 0 <п < k, тогда[7]

сумма на все Персонажи Дирихле мод k. В обратном направлении имеем линейную комбинацию[6]

Также есть теорема умножения

из которых полезным обобщением является отношение распределения[8]

(Эта последняя форма действительна всякий раз, когда q натуральное число и 1 -qa не является.)

Нули

Если q= 1 дзета-функция Гурвица сводится к Дзета-функция Римана сам; если q= 1/2 он сводится к дзета-функции Римана, умноженной на простую функцию комплексного аргумента s (смотри выше), что в каждом случае приводит к трудному изучению нулей дзета-функции Римана. В частности, не будет нулей с вещественной частью, большей или равной 1. Однако, если 0 <q<1 и q≠ 1/2, то есть нули дзета-функции Гурвица в полосе 1 s) <1 + ε для любого положительного действительного числа ε. Это было доказано Давенпорт и Хайльбронн для рационального или трансцендентального иррационального q,[9] и по Cassels для алгебраических иррациональных q.[6][10]

Рациональные ценности

Дзета-функция Гурвица встречается в ряде поразительных тождеств с рациональными значениями.[11] В частности, ценности с точки зрения Полиномы Эйлера :

и

Также есть

что справедливо для . Здесь и определяются с помощью Функция ци Лежандра в качестве

и

Для целых значений ν они могут быть выражены через полиномы Эйлера. Эти соотношения могут быть получены путем использования функционального уравнения вместе с формулой Гурвица, приведенной выше.

Приложения

Дзета-функция Гурвица встречается во множестве дисциплин. Чаще всего это происходит в теория чисел, где его теория наиболее глубокая и развитая. Однако это также происходит при изучении фракталы и динамические системы. В прикладной статистика, это происходит в Закон Ципфа и Закон Ципфа – Мандельброта. В физика элементарных частиц, он встречается в формуле Джулиан Швингер,[12] дает точный результат для парное производство скорость Дирак электрон в однородном электрическом поле.

Частные случаи и обобщения

Дзета-функция Гурвица с положительным целым числом м относится к полигамма функция:

Для отрицательного целого числа -п значения связаны с Полиномы Бернулли:[13]

В Дзета-функция Барнса обобщает дзета-функцию Гурвица.

В Лерх трансцендентный обобщает дзета Гурвица:

и поэтому

Гипергеометрическая функция

куда

G-функция Мейера

Примечания

  1. ^ http://nbviewer.ipython.org/github/empet/Math/blob/master/DomainColoring.ipynb
  2. ^ Хассе, Гельмут (1930), "Ein Summierungsverfahren für die Riemannsche ζ-Reihe", Mathematische Zeitschrift, 32 (1): 458–464, Дои:10.1007 / BF01194645, JFM  56.0894.03
  3. ^ Благушин, Ярослав В. (2018). «Три заметки о представлениях Сера и Хассе для дзета-функций». INTEGERS: Электронный журнал комбинаторной теории чисел. 18A: 1–45. arXiv:1606.02044. Bibcode:2016arXiv160602044B.
  4. ^ Благушин, И. (2014). «Теорема для вычисления в закрытой форме первой обобщенной постоянной Стилтьеса при рациональных аргументах и ​​некоторых связанных суммирования». Журнал теории чисел. Эльзевир. 148: 537–592. arXiv:1401.3724. Дои:10.1016 / j.jnt.2014.08.009.
  5. ^ Вепстас, Линас (2007). «Эффективный алгоритм для ускорения сходимости колебательного ряда, полезный для вычисления полилогарифма и дзета-функций Гурвица». Численные алгоритмы. 47 (3): 211–252. arXiv:математика / 0702243. Bibcode:2008НуАлг..47..211В. Дои:10.1007 / s11075-007-9153-8.
  6. ^ а б c Давенпорт (1967) стр.73
  7. ^ Лоури, Дэвид. «Дзета Гурвица - это сумма L-функций Дирихле, и наоборот». смешанная математика. Получено 8 февраля 2013.
  8. ^ Куберт, Даниэль С.; Ланг, Серж (1981). Модульные блоки. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 244. Springer-Verlag. п. 13. ISBN  0-387-90517-0. Zbl  0492.12002.
  9. ^ Давенпорт, Х. и Хейлбронн, Х. (1936), "О нулях некоторых рядов Дирихле", Журнал Лондонского математического общества, 11 (3): 181–185, Дои:10.1112 / jlms / s1-11.3.181, Zbl  0014.21601
  10. ^ Касселс, Дж. У. С.(1961), «Сноска к заметке Давенпорта и Хайльбронна», Журнал Лондонского математического общества, 36 (1): 177–184, Дои:10.1112 / jlms / s1-36.1.177, Zbl  0097.03403
  11. ^ Дано Цвийович, Джурдже и Клиновски, Яцек (1999), "Значения дзета-функций Лежандра и Гурвица при рациональных аргументах", Математика вычислений, 68 (228): 1623–1630, Bibcode:1999MaCom..68.1623C, Дои:10.1090 / S0025-5718-99-01091-1
  12. ^ Швингер, Дж. (1951), "О калибровочной инвариантности и поляризации вакуума", Физический обзор, 82 (5): 664–679, Bibcode:1951ПхРв ... 82..664С, Дои:10.1103 / PhysRev.82.664
  13. ^ Апостол (1976) с.264

Рекомендации

внешняя ссылка