G-функция Мейера - Meijer G-function

В математике G-функция был представлен Корнелис Саймон Мейер  (1936 ) как очень общий функция предназначен для включения большинства известных специальные функции как частные случаи. Это была не единственная попытка такого рода: обобщенная гипергеометрическая функция и МакРоберт E-функция преследовали ту же цель, но G-функция Мейера могла включать и их как частные случаи. Первое определение было сделано Мейером с использованием серии; в настоящее время принято более общее определение через линейный интеграл в комплексная плоскость, введенный в полной общности Артур Эрдейи в 1953 г.

Согласно современному определению, большинство установленных специальных функций можно представить в терминах G-функции Мейера. Примечательным свойством является закрытие множества всех G-функций не только при дифференцировании, но и при неопределенном интегрировании. В сочетании с функциональное уравнение что позволяет освободить от G-функции грамм(z) любой фактор zρ это постоянная сила его аргумента z, замыкание означает, что всякий раз, когда функция выражается как G-функция постоянного кратного некоторой постоянной мощности аргумента функции, ж(Икс) = грамм(схγ), производная и первообразный этой функции тоже можно выразить.

Широкий охват специальных функций также придает мощь использованию G-функции Мейера, помимо представления и манипулирования производными и первообразными. Например, определенный интеграл над положительная действительная ось любой функции грамм(Икс), который можно записать как произведение грамм1(схγграмм2(dxδ) двух G-функций с рациональный γ/δ равняется просто другой G-функции, и обобщения интегральные преобразования словно Преобразование Ганкеля и Преобразование Лапласа и их обратные результаты получаются, когда подходящие пары G-функций используются в качестве ядер преобразования.

Еще более общая функция, которая вводит дополнительные параметры в G-функцию Мейера, - это H-функция Фокса.

Определение G-функции Мейера

Общее определение G-функции Мейера дается следующим линейный интеграл в комплексная плоскость (Бейтман и Эрдели, 1953 г., § 5.3-1):

где Γ обозначает гамма-функция. Этот интеграл относится к так называемой Тип Меллина – Барнса, и может рассматриваться как обратный Преобразование Меллина. Определение справедливо при следующих предположениях:

  • 0 ≤ мq и 0 ≤ пп, куда м, п, п и q целые числа
  • аkбj ≠ 1, 2, 3, ... для k = 1, 2, ..., п и j = 1, 2, ..., м, откуда следует, что нет столб любого Γ (бjs), j = 1, 2, ..., м, совпадает с любым полюсом любого Γ (1 - аk + s), k = 1, 2, ..., п
  • z ≠ 0

Обратите внимание, что по историческим причинам первый ниже и второй верхний индекс относится к верх строка параметров, а второй ниже и первый верхний индекс относится к Нижний строка параметров. Часто встречаются следующие более синтетические обозначения, использующие векторов:

Реализации G-функции в системы компьютерной алгебры обычно используют отдельные векторные аргументы для четырех (возможно, пустых) групп параметров а1 ... ап, ап+1 ... ап, б1 ... бм, и бм+1 ... бq, и, следовательно, может опустить заказы п, q, п, и м как избыточный.

В L в интеграле представляет собой путь, по которому следует идти при интегрировании. Для этого пути возможны три варианта:

1. L бежит из -яОт ∞ до +я∞ такое, что все полюсы Γ (бjs), j = 1, 2, ..., м, находятся справа от пути, а все полюса Γ (1 - аk + s), k = 1, 2, ..., п, находятся слева. Тогда интеграл сходится при | arg z| < δ π, куда
очевидной предпосылкой для этого является δ > 0. Интеграл дополнительно сходится при | arg z| = δ π ≥ 0, если (q - p) (σ + 12)> Re (ν) + 1, где σ представляет собой Re (s) как переменную интегрирования s подходит как +я∞ и -я∞, а где
Как следствие, для | arg z| = δ π и п = q интеграл сходится независимо от σ всякий раз, когда Re (ν) < −1.
2. L - петля, начинающаяся и заканчивающаяся в + ∞, охватывающая все полюса Γ (бjs), j = 1, 2, ..., м, ровно один раз в отрицательном направлении, но не охватывая ни один полюс Γ (1 - аk + s), k = 1, 2, ..., п. Тогда интеграл сходится для всех z если q > п ≥ 0; он также сходится для q = п > 0 до тех пор, пока |z| <1. В последнем случае интеграл дополнительно сходится при |z| = 1, если Re (ν) <−1, где ν определяется как для первого пути.
3. L - петля, начинающаяся и заканчивающаяся в −∞ и охватывающая все полюса Γ (1 - аk + s), k = 1, 2, ..., провно один раз в положительном направлении, но не охватывая ни один полюс графа Γ (бjs), j = 1, 2, ..., м. Теперь интеграл сходится для всех z если п > q ≥ 0; он также сходится для п = q > 0 до тех пор, пока |z| > 1. Как отмечено и для второго пути, в случае п = q интеграл также сходится при |z| = 1, когда Re (ν) < −1.

Условия сходимости легко устанавливаются применением Асимптотическое приближение Стирлинга к гамма-функциям в подынтегральном выражении. Когда интеграл сходится более чем для одного из этих путей, можно показать, что результаты интегрирования совпадают; если он сходится только для одного пути, то следует учитывать только этот. Фактически, численное интегрирование по траектории в комплексной плоскости представляет собой практичный и разумный подход к вычислению G-функций Мейера.

Как следствие этого определения G-функция Мейера является аналитическая функция из z с возможным исключением происхождения z = 0 и единичной окружности |z| = 1.

Дифференциальное уравнение

G-функция удовлетворяет следующим линейным дифференциальное уравнение порядка макс (п,q):

Для фундаментального набора решений этого уравнения в случае пq можно взять:

и аналогично в случае пq:

Эти частные решения являются аналитическими, за исключением возможного необычность в z = 0 (а также возможная особенность при z = ∞), а в случае п = q также неизбежная особенность при z = (−1)пмп. Как мы сейчас увидим, их можно отождествить с обобщенные гипергеометрические функции пFq−1 аргумента (−1)пмп z которые умножаются на мощность zбчас, а с обобщенными гипергеометрическими функциями qFп−1 аргумента (−1)qмп z−1 которые умножаются на мощность zачас−1, соответственно.

Связь между G-функцией и обобщенной гипергеометрической функцией

Если интеграл сходится при вычислении по второй путь введено выше, и если нет слияния полюса оказываются среди Γ (бjs), j = 1, 2, ..., м, то G-функция Мейера может быть выражена как сумма остатки с точки зрения обобщенные гипергеометрические функции пFq−1 (Теорема Слейтера):

Звездочка указывает, что член, соответствующий j = час опущено. Чтобы интеграл сходился по второму пути, необходимо либо п < q, или же п = q и |z| <1, и чтобы полюса были различны, среди бj, j = 1, 2, ..., м, может отличаться целым числом или нулем. Звездочки в соотношении напоминают нам игнорировать вклад с индексом j = час следующим образом: в произведении это означает замену Γ (0) на 1, а в аргументе гипергеометрической функции, если вспомнить смысл векторных обозначений,

это означает сокращение длины вектора от q к q−1.

Обратите внимание, что когда м = 0, второй путь не содержит полюсов, поэтому интеграл должен тождественно равен нулю,

если либо п < q, или же п = q и |z| < 1.

Аналогично, если интеграл сходится при вычислении по третий путь выше, и если между Γ (1 - аk + s), k = 1, 2, ..., п, то G-функцию можно выразить как:

Для этого либо п > q, или же п = q и |z| > 1, и ни одна пара среди аk, k = 1, 2, ..., п, может отличаться целым числом или нулем. За п = 0 следовательно:

если либо п > q, или же п = q и |z| > 1.

С другой стороны, любую обобщенную гипергеометрическую функцию легко выразить через G-функцию Мейера:

где мы использовали векторные обозначения:

Это верно, если неположительное целое значение хотя бы одного из его параметров ап сводит гипергеометрическую функцию к конечному полиному, и в этом случае гамма-префактор любой G-функции обращается в нуль, а наборы параметров G-функций нарушают требование аkбj ≠ 1, 2, 3, ... для k = 1, 2, ..., п и j = 1, 2, ..., м от определение над. Помимо этого ограничения, соотношение справедливо, если обобщенный гипергеометрический ряд пFq(z) сходится, т.е. е. для любого конечного z когда пq, а для |z| <1 когда п = q + 1. В последнем случае связь с G-функцией автоматически дает аналитическое продолжение пFq(z) к |z| ≥ 1 с ветвью, разрезанной от 1 до ∞ вдоль вещественной оси. Наконец, это отношение дает естественное распространение определения гипергеометрической функции на порядки п > q + 1. Таким образом, с помощью G-функции мы можем решить обобщенное гипергеометрическое дифференциальное уравнение для п > q +1 тоже.

Полиномиальные случаи

Чтобы выразить полиномиальные случаи обобщенных гипергеометрических функций через G-функции Мейера, в общем случае требуется линейная комбинация двух G-функций:

куда час = 0, 1, 2, ... равно степени многочлена п+1Fq(z). Заказы м и п можно свободно выбирать в пределах 0 ≤ мq и 0 ≤ пп, что позволяет избежать конкретных целочисленных значений или целочисленных различий между параметрами. ап и бq полинома приводят к расходящимся гамма-функциям в префакторе или к конфликту с определение G-функции. Отметим, что первая G-функция обращается в нуль при п = 0, если п > q, а вторая G-функция обращается в нуль при м = 0, если п < q. Опять же, формулу можно проверить, выразив две G-функции в виде суммы остатки; нет случаев слияния полюса разрешенные определением G-функции, здесь необходимо исключить.

Основные свойства G-функции

Как видно из определение G-функции, если среди ап и бq После определения множителей в числителе и знаменателе подынтегрального выражения дробь может быть упрощена, а порядок функции тем самым уменьшен. Был ли порядок м или же п будет уменьшаться в зависимости от конкретного положения рассматриваемых параметров. Таким образом, если один из аk, k = 1, 2, ..., п, равно одному из бj, j = м + 1, ..., q, G-функция понижает порядок п, q и п:

По той же причине, если один из аk, k = п + 1, ..., п, равно одному из бj, j = 1, 2, ..., м, то G-функция понижает порядок п, q и м:

Исходя из определения, также можно получить следующие свойства:

Сокращения ν и δ были введены в определение G-функции над.

Производные и первообразные

Касательно производные G-функции, можно найти следующие отношения:

Из этих четырех эквивалентных соотношений можно вывести просто вычисление производной слева и немного манипулируя. Например, можно получить:

Более того, для производных произвольного порядка час, надо

которые держатся за час <0, что позволяет получить первообразный любой G-функции так же легко, как и производной. Выбирая один или другой из двух результатов, представленных в любой формуле, всегда можно предотвратить нарушение условия набором параметров в результате аkбj ≠ 1, 2, 3, ... для k = 1, 2, ..., п и j = 1, 2, ..., м что навязано определение G-функции. Обратите внимание, что каждая пара результатов становится неравной в случае час < 0.

Из этих соотношений соответствующие свойства Гипергеометрическая функция Гаусса и других специальных функций.

Отношения рецидива

Приравнивая различные выражения для производных первого порядка, мы получаем следующие трехчленные рекуррентные соотношения между смежными G-функциями:

Аналогичные соотношения для пар диагональных параметров а1, бq и б1, ап следуйте подходящей комбинации вышеперечисленного. Опять же, соответствующие свойства гипергеометрических и других специальных функций могут быть получены из этих рекуррентных соотношений.

Теоремы умножения

При условии, что z 0 выполняются следующие соотношения:

За ними следуют Расширение Тейлора о ш = 1, с помощью основные свойства обсуждалось выше. В радиусы схождения будет зависеть от стоимости z и о расширенной G-функции. Разложения можно рассматривать как обобщения аналогичных теорем для Бессель, гипергеометрический и сливной гипергеометрический функции.

Определенные интегралы с участием G-функции

Среди определенные интегралы с произвольной G-функцией:

Обратите внимание, что ограничения, при которых существует этот интеграл, здесь опущены. Конечно, неудивительно, что Преобразование Меллина G-функции должна привести к подынтегральному выражению, входящему в определение над.

Эйлер Интегралы -типа для G-функции имеют вид:

Обширные ограничения, при которых существуют эти интегралы, можно найти на стр. 417 из "Таблиц интегральных преобразований", т. II (1954), под ред. А. Эрдели. Обратите внимание, что, учитывая их влияние на G-функцию, эти интегралы могут использоваться для определения операции дробное интегрирование для достаточно большого класса функций (Операторы Эрдейи – Кобера ).

Результат фундаментальной важности заключается в том, что произведение двух произвольных G-функций, проинтегрированных по положительной действительной оси, может быть представлено просто другой G-функцией (теорема свертки):

Ограничения, при которых существует интеграл, можно найти в Meijer, C. S., 1941: Nederl. Акад. Wetensch, Proc. 44, с. 82-92. Обратите внимание, как преобразование Меллина результата просто собирает гамма-факторы из преобразований Меллина двух функций в подынтегральном выражении.

Формулу свертки можно получить, подставив определяющий интеграл Меллина – Барнса для одной из G-функций, изменив порядок интегрирования на противоположный и вычислив интеграл внутреннего преобразования Меллина. Аналогично следуют предыдущие интегралы типа Эйлера.

Преобразование Лапласа

Используя вышеуказанное интеграл свертки и основные свойства можно показать, что:

где Re (ω)> 0. Это Преобразование Лапласа функции грамм(ηx) умноженное на степень Иксα; если мы положим α = 0 получаем преобразование Лапласа G-функции. Как обычно, обратное преобразование определяется следующим образом:

куда c является реальной положительной константой, которая помещает путь интегрирования справа от любого столб в подынтегральном выражении.

Другая формула преобразования Лапласа G-функции:

где снова Re (ω)> 0. Детали ограничений, при которых существуют интегралы, опущены в обоих случаях.

Интегральные преобразования на основе G-функции

В общем, две функции k(z,у) и час(z,у) называются парой ядер преобразований, если для любой подходящей функции ж(z) или любую подходящую функцию грамм(z) одновременно выполняются следующие два соотношения:

Пара ядер называется симметричной, если k(z,у) = час(z,у).

Преобразование Нараина

Руп Нараин (1962, 1963a, 1963b ) показал, что функции:

являются асимметричной парой ядер преобразований, где γ > 0, пп = мq > 0, и:

вместе с дальнейшими условиями сходимости. В частности, если п = q, м = п, аj + бj = 0 для j = 1, 2, ..., п и cj + dj = 0 для j = 1, 2, ..., м, то пара ядер становится симметричной. Известный Преобразование Ганкеля является симметричным частным случаем преобразования Нарайна (γ = 1, п = q = 0, м = п = 1, c1 = −d1 = ν2).

Преобразование слабака

Реактивный слабак (1964 ) показал, что эти функции представляют собой асимметричную пару ядер преобразований:

где функция А(·) определяется как:

Обобщенное преобразование Лапласа

В Преобразование Лапласа можно обобщить по аналогии с обобщением Нараина преобразования Ханкеля:

куда γ > 0, пq, и:

и где постоянная c > 0 помещает второй путь интегрирования справа от любого полюса подынтегрального выражения. За γ = 12, ρ = 0 и п = q = 0, это соответствует известному преобразованию Лапласа.

Преобразование Мейера

Два частных случая этого обобщения были приведены К.С. Мейером в 1940 и 1941 годах. γ = 1, ρ = −ν, п = 0, q = 1 и б1 = ν может быть написано (Meijer1940 ):

и случай, полученный для γ = 12, ρ = −мk, п = q = 1, а1 = мk и б1 = 2м может быть написано (Meijer1941a ):

Здесь яν и Kν являются модифицированные функции Бесселя первого и второго рода соответственно, Mk,м и Wk,м являются Функции Уиттекера, и постоянные масштабные коэффициенты были применены к функциям ж и грамм и их аргументы s и т в первом случае.

Представление других функций через G-функцию

В следующем списке показано, как знакомые элементарные функции результат как частный случай G-функции Мейера:

Здесь, ЧАС обозначает Ступенчатая функция Хевисайда.

The subsequent list shows how some higher functions can be expressed in terms of the G-function:

Даже derivatives of γ(α,Икс) и Γ (α,Икс) with respect to α can be expressed in terms of the Meijer G-function. Here, γ and Γ are the lower and upper incomplete gamma functions, Jν и Yν являются Функции Бесселя of the first and second kind, respectively, яν и Kν are the corresponding modified Bessel functions, and Φ is the Lerch transcendent.

Смотрите также

Рекомендации

внешняя ссылка