Ядро (алгебра) - Kernel (algebra)

В алгебра, то ядро из гомоморфизм (функция, сохраняющая структура ) обычно обратное изображение из 0 (кроме группы операция которого обозначается мультипликативно, где ядро ​​является прообразом 1). Важным частным случаем является ядро линейного отображения. В ядро матрицы, также называемый пустое пространство, является ядром линейного отображения, определяемого матрицей.

Ядро гомоморфизма сводится к 0 (или 1) тогда и только тогда, когда гомоморфизм равен инъективный, то есть если прообраз каждого элемента состоит из одного элемента. Это означает, что ядро ​​можно рассматривать как меру степени, в которой гомоморфизм не может быть инъективным.^[1]

Для некоторых типов конструкций, например абелевы группы и векторные пространства, возможные ядра - это в точности подструктуры одного типа. Это не всегда так, и иногда возможные ядра получали специальное имя, например нормальная подгруппа для групп и двусторонние идеалы для кольца.

Ядра позволяют определять частные объекты (также называется фактор-алгебры в универсальная алгебра, и коядра в теория категорий ). Для многих типов алгебраической структуры основная теорема о гомоморфизмах (или первая теорема об изоморфизме ) утверждает, что образ гомоморфизма изоморфный к частному по ядру.

Понятие ядра было распространено на такие структуры, что прообраз отдельного элемента недостаточно для определения, является ли гомоморфизм инъективным. В этих случаях ядро ​​представляет собой отношение конгруэнтности.

Эта статья представляет собой обзор некоторых важных типов ядер в алгебраических структурах.

Обзор примеров

Линейные карты

Основная статья: Ядро (линейная алгебра)

Позволять V и W быть векторные пространства через поле (или, в более общем смысле, модули через кольцо ) и разреши Т быть линейная карта от V к W. Если 0_W это нулевой вектор из W, то ядро Т это прообраз из нулевое подпространство {0_W}; это подмножество из V состоящий из всех этих элементов V которые нанесены на карту Т к элементу 0_W. Ядро обычно обозначают как кер Т, или некоторые его варианты:

${\displaystyle \operatorname {ker} T=\{\mathbf {v} \in V:T(\mathbf {v} )=\mathbf {0} _{W}\}{\text{.}}}$

Поскольку линейное отображение сохраняет нулевые векторы, нулевой вектор 0_V из V должен принадлежать ядру. Преобразование Т инъективен тогда и только тогда, когда его ядро ​​сводится к нулевому подпространству.

Ядро ker Т всегда линейное подпространство из V. Таким образом, имеет смысл говорить о факторное пространство V/ (ker Т). Первая теорема изоморфизма для векторных пространств утверждает, что это фактор-пространство естественно изоморфный к образ из Т (которое является подпространством W). Как следствие, измерение из V равен размеру ядра плюс размер изображения.

Если V и W находятся конечномерный и базы были выбраны, то Т можно описать матрица M, а ядро ​​можно вычислить, решив однородную система линейных уравнений Mv = 0. В этом случае ядро Т можно отнести к ядро матрицы M, также называемое "нулевым пространством" M. Размер пустого пространства, называемый нулевым M, дается количеством столбцов M минус ранг из M, как следствие теорема ранга-недействительности.

Решение однородные дифференциальные уравнения часто сводится к вычислению ядра определенных дифференциальные операторы.Например, чтобы найти все дваждыдифференцируемые функции ж от реальная линия себе такой, что

${\displaystyle xf''(x)+3f'(x)=f(x),}$

позволять V - пространство всех дважды дифференцируемых функций, пусть W - пространство всех функций, и определим линейный оператор Т от V к W от

${\displaystyle (Tf)(x)=xf''(x)+3f'(x)-f(x)}$

для ж в V и Икс произвольный настоящий номер Тогда все решения дифференциального уравнения лежат в ker Т.

Можно определить ядра для гомоморфизмов между модулями над кольцо аналогичным образом. Это включает ядра для гомоморфизмов между абелевы группы как частный случай. Этот пример отражает суть ядер в целом. абелевы категории; увидеть Ядро (теория категорий).

Групповые гомоморфизмы

Позволять г и ЧАС быть группы и разреши ж быть групповой гомоморфизм от г к ЧАС. Если е_ЧАС это элемент идентичности из ЧАС, то ядро из ж является прообразом одноэлементного множества {е_ЧАС}; то есть подмножество г состоящий из всех этих элементов г которые нанесены на карту ж к элементу е_ЧАСЯдро обычно обозначают кер ж (или вариант). В символах:

${\displaystyle \operatorname {ker} f=\{g\in G:f(g)=e_{H}\}{\mbox{.}}}$

Поскольку гомоморфизм групп сохраняет единичные элементы, единичный элемент е_г из г должен принадлежать ядру. гомоморфизм ж инъективен тогда и только тогда, когда его ядром является только одноэлементный набор {е_г}. Это верно, потому что если гомоморфизм ж не инъективен, то существует ${\displaystyle a,b\in G}$ с участием ${\displaystyle a\neq b}$ такой, что ${\displaystyle f(a)=f(b)}$. Это значит, что ${\displaystyle f(a)f(b)^{-1}=e_{H}}$, что эквивалентно утверждению, что ${\displaystyle f(ab^{-1})=e_{H}}$ поскольку гомоморфизмы групп переводят обратные в обратные и поскольку ${\displaystyle f(a)f(b^{-1})=f(ab^{-1})}$. Другими словами, ${\displaystyle ab^{-1}\in \operatorname {ker} f}$. И наоборот, если существует элемент ${\displaystyle g\neq e_{G}\in \operatorname {ker} f}$, тогда ${\displaystyle f(g)=f(e_{G})=e_{H}}$, таким образом ж не является инъективным.

Оказывается, кер ж это не только подгруппа из г но на самом деле нормальная подгруппа. Таким образом, имеет смысл говорить о факторгруппа г/ (ker ж). В первая теорема об изоморфизме для групп утверждает, что эта фактор-группа естественным образом изоморфна образу ж (которая является подгруппой ЧАС).

В частном случае абелевы группы, это работает точно так же, как и в предыдущем разделе.

пример

Позволять г быть циклическая группа на 6 элементов {0,1,2,3,4,5} с модульное дополнение, ЧАС - циклический на 2 элементах {0,1} с модульным сложением, и ж гомоморфизм, отображающий каждый элемент г в г к элементу г по модулю 2 в ЧАС. Тогда кер ж = {0, 2, 4}, так как все эти элементы отображаются в 0_ЧАС. Фактор-группа г/ (ker ж) имеет два элемента: {0,2,4} и {1,3,5}. Он действительно изоморфен ЧАС.

Гомоморфизмы колец

Позволять р и S быть кольца (предполагается единый ) и разреши ж быть кольцевой гомоморфизм от р к S.Если 0_S это нулевой элемент из S, то ядро из ж является его ядром как линейное отображение над целыми числами или, что то же самое, как аддитивные группы. Это прообраз нулевой идеал {0_S}, то есть подмножество р состоящий из всех этих элементов р которые нанесены на карту ж к элементу 0_SЯдро обычно обозначают кер ж (или вариант). В символах:

${\displaystyle \operatorname {ker} f=\{r\in R:f(r)=0_{S}\}{\mbox{.}}}$

Поскольку гомоморфизм колец сохраняет нулевые элементы, нулевой элемент 0_р из р должен принадлежать ядру. гомоморфизм ж является инъективным тогда и только тогда, когда его ядром является только одноэлементный набор {0_р}. Это всегда так, если р это поле, и S это не нулевое кольцо.

Поскольку ker ж содержит мультипликативное тождество только тогда, когда S - нулевое кольцо, оказывается, что ядро ​​вообще не является подкольцо из Р. Ядро является подсистемойrng, а точнее двухсторонний идеальный из рТаким образом, имеет смысл говорить о кольцо частного р/ (ker жПервая теорема об изоморфизме колец утверждает, что это фактор-кольцо естественно изоморфно образу кольца ж (которое является подкольцом S). (обратите внимание, что кольца не обязательно должны быть единичными для определения ядра).

В некоторой степени это можно рассматривать как частный случай ситуации с модулями, поскольку все они бимодули над кольцом р:

• р сам;
• любой двусторонний идеал р (например, ker ж);
• любое кольцо частных р (такие как р/ (ker ж)); и
• то codomain любого гомоморфизма колец, область определения р (такие как S, содомен ж).

Однако теорема об изоморфизме дает более сильный результат, потому что изоморфизмы колец сохраняют умножение, в то время как изоморфизмы модулей (даже между кольцами) в общем случае нет.

Этот пример отражает суть ядер в целом. Алгебры Мальцева.

Гомоморфизмы моноидов

Позволять M и N быть моноиды и разреши ж быть моноидный гомоморфизм от M к N. Тогда ядро из ж это подмножество прямой продукт M × M состоящий из всех тех заказанные пары элементов M компоненты которого отображаются как ж к тому же элементу в NЯдро обычно обозначают кер ж (или вариант). В символах:

${\displaystyle \operatorname {ker} f=\{(m,m')\in M\times M:f(m)=f(m')\}{\mbox{.}}}$

поскольку ж это функция, элементы формы (м,м) должен принадлежать ядру. ж инъективен тогда и только тогда, когда его ядром является только диагональный набор {(м, м): м в M}.

Оказывается, кер ж является отношение эквивалентности на M, а на самом деле отношение конгруэнтности Таким образом, имеет смысл говорить о частный моноид M/ (ker жПервая теорема об изоморфизме для моноидов утверждает, что этот фактор-моноид естественно изоморфен образу ж (что является субмоноид из N), (для отношения конгруэнтности).

Это сильно отличается от приведенных выше примеров. В частности, прообраз элемента идентичности N является не достаточно, чтобы определить ядро ж.

Универсальная алгебра

Все перечисленные случаи можно объединить и обобщить в универсальная алгебра.

Общий случай

Позволять А и B быть алгебраические структуры данного типа и пусть ж - гомоморфизм этого типа из А к B. Тогда ядро из ж это подмножество прямой продукт А × А состоящий из всех тех заказанные пары элементов А компоненты которого отображаются как ж к тому же элементу в BЯдро обычно обозначают кер ж (или вариант). В условных обозначениях:

${\displaystyle \operatorname {ker} f=\{(a,a')\in A\times A:f(a)=f(a')\}{\mbox{.}}}$

поскольку ж это функция, элементы формы (а,а) должен принадлежать ядру.

Гомоморфизм ж инъективен тогда и только тогда, когда его ядром является в точности диагональное множество {(а,а) : а∈А}.

Легко видеть, что ker ж является отношение эквивалентности на А, а на самом деле отношение конгруэнтности Таким образом, имеет смысл говорить о фактор-алгебра А/ (ker ж). первая теорема об изоморфизме в общем случае универсальная алгебра утверждает, что эта фактор-алгебра естественно изоморфна образу ж (что является подалгебра из B).

Обратите внимание, что определение ядра здесь (как в примере моноида) не зависит от алгебраической структуры; это чисто набор -теоретическая концепция. Подробнее об этом общем понятии, помимо абстрактной алгебры, см. ядро функции.

Алгебры Мальцева

В случае алгебр Мальцева эту конструкцию можно упростить. Каждая алгебра Мальцева имеет особую нейтральный элемент (в нулевой вектор на случай, если векторные пространства, то элемент идентичности на случай, если коммутативные группы, а нулевой элемент на случай, если кольца или модули). Характерной особенностью алгебры Мальцева является то, что мы можем восстановить все отношение эквивалентности ker ж от класс эквивалентности нейтрального элемента.

Чтобы быть конкретным, пусть А и B - алгебраические структуры Мальцева данного типа и пусть ж - гомоморфизм этого типа из А к B. Если е_B нейтральный элемент B, то ядро из ж это прообраз из одноэлементный набор {е_B}; это подмножество из А состоящий из всех этих элементов А которые нанесены на карту ж к элементу е_BЯдро обычно обозначают кер ж (или вариант). В символах:

${\displaystyle \operatorname {ker} f=\{a\in A:f(a)=e_{B}\}{\mbox{.}}}$

Поскольку гомоморфизм алгебр Мальцева сохраняет нейтральные элементы, единичный элемент е_А из А должен принадлежать ядру. Гомоморфизм ж инъективен тогда и только тогда, когда его ядром является только одноэлементный набор {е_А}.

Понятие идеальный обобщает на любую алгебру Мальцева (как линейное подпространство в случае векторных пространств нормальная подгруппа в случае групп, двусторонние идеалы в случае колец и подмодуль на случай, если модули ). Оказывается, кер ж это не подалгебра из А, но это идеал. Тогда есть смысл говорить о фактор-алгебра г/ (ker жПервая теорема об изоморфизме алгебр Мальцева утверждает, что эта фактор-алгебра естественным образом изоморфна образу ж (которая является подалгеброй B).

Связь между этим отношением и отношением конгруэнтности для более общих типов алгебр заключается в следующем: во-первых, ядро ​​как идеал - это класс эквивалентности нейтрального элемента е_А под ядром-как-конгруэнцией. Для обратного направления нам понадобится понятие частное в алгебре Мальцева (т.е. деление по обе стороны для групп и вычитание для векторных пространств, модулей и колец). Используя это, элементы а и б из А эквивалентны относительно ядра как конгруэнции тогда и только тогда, когда их фактор а/б является элементом ядра как идеала.

Алгебры с неалгебраической структурой

Иногда алгебры снабжены неалгебраической структурой в дополнение к их алгебраическим операциям. Например, можно рассмотреть топологические группы или топологические векторные пространства, оснащены топология В этом случае следовало бы ожидать гомоморфизма ж сохранить эту дополнительную структуру; в топологических примерах мы хотели бы ж быть непрерывная карта.Процесс может натолкнуться на препятствие, связанное с фактор-алгебрами, которые могут быть плохо управляемыми. В топологических примерах мы можем избежать проблем, потребовав, чтобы топологические алгебраические структуры были Хаусдорф (как это обычно делается); тогда ядро ​​(каким бы оно ни было) будет закрытый набор и факторное пространство будет работать нормально (а также будет Хаусдорф).

Ядра в теории категорий

Понятие ядро в теория категорий является обобщением ядер абелевых алгебр; увидеть Ядро (теория категорий) Категорическим обобщением ядра как отношения конгруэнтности является пара ядер. (Есть еще понятие разностное ядро, или двоичный эквалайзер.)

Смотрите также

• Ядро (линейная алгебра)
• Нулевой набор

Заметки

1. Увидеть Даммит и Фут 2004 и Lang 2002.

использованная литература

• Даммит, Дэвид С .; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Wiley. ISBN  0-471-43334-9.

• Ланг, Серж (2002). Алгебра. Тексты для выпускников по математике. Springer. ISBN  0-387-95385-X.