Мономорфизм - Monomorphism

Эта статья про математический термин. Для использования в других целях см. Мономорфный (значения) и Полиморфизм (значения).

В контексте абстрактная алгебра или универсальная алгебра, а мономорфизм является инъективный гомоморфизм. Мономорфизм из Икс к Y часто обозначают обозначениями ${\displaystyle X\hookrightarrow Y}$.

В более общем контексте теория категорий, а мономорфизм (также называемый монический морфизм или мононуклеоз) это лево-отменяющий морфизм. То есть стрелка ж : Икс → Y так что для всех объектов Z и все морфизмы г₁, г₂: Z → Икс,

${\displaystyle f\circ g_{1}=f\circ g_{2}\implies g_{1}=g_{2}.}$

Мономорфизмы являются категоричным обобщением инъективные функции (также называемые «индивидуальные функции»); в некоторых категориях понятия совпадают, но мономорфизмы более общие, как в примеры ниже.

В категоричный дуальный мономорфизма является эпиморфизм, то есть мономорфизм в категории C является эпиморфизмом в двойная категория C^op. Каждые раздел является мономорфизмом, и каждый втягивание это эпиморфизм.

Отношение к обратимости

Обратимые слева морфизмы обязательно монические: если л является левым обратным для ж (смысл л это морфизм и ${\displaystyle l\circ f=\operatorname {id} _{X}}$), тогда ж моничен, как

${\displaystyle f\circ g_{1}=f\circ g_{2}\Rightarrow l\circ f\circ g_{1}=l\circ f\circ g_{2}\Rightarrow g_{1}=g_{2}.}$

Обратимый слева морфизм называется сплит моно или раздел.

Однако мономорфизм не обязательно должен быть обратимым слева. Например, в категории Группа из всех группы и групповые гомоморфизмы среди них, если ЧАС является подгруппой г тогда включение ж : ЧАС → г всегда мономорфизм; но ж имеет левый обратный в категории тогда и только тогда, когда ЧАС имеет нормальное дополнение в г.

Морфизм ж : Икс → Y моничен тогда и только тогда, когда индуцированное отображение ж_∗ : Hom (Z, Икс) → Hom (Z, Y), определяется ж_∗(час) = ж ∘ час для всех морфизмов час : Z → Икс, является инъективный для всех объектов Z.

Примеры

Каждый морфизм в конкретная категория чья основная функция инъективно - это мономорфизм; другими словами, если морфизмы на самом деле являются функциями между множествами, то любой морфизм, который является взаимно однозначной функцией, обязательно будет мономорфизмом в категориальном смысле. в категория наборов верно и обратное, так что мономорфизмы - это в точности инъективный морфизмы. Обратное также верно в большинстве естественно встречающихся категорий алгебр из-за существования свободный объект на одном генераторе. В частности, это верно для категорий всех групп, всех кольца, и в любом абелева категория.

Однако в целом неверно, что все мономорфизмы должны быть инъективными в других категориях; то есть есть настройки, в которых морфизмы являются функциями между множествами, но можно иметь функцию, которая не является инъективной, но все же является мономорфизмом в категориальном смысле. Например, в категории Div из делимый (абелевы) группы и групповые гомоморфизмы между ними существуют не инъективные мономорфизмы: рассмотрим, например, фактор-отображение q : Q → Q/Z, где Q - добавляемое рациональное число, Z целые числа (также считаются добавляемой группой), и Q/Z соответствующий факторгруппа. Это не инъективное отображение, так как, например, каждое целое число отображается в 0. Тем не менее, это мономорфизм в этой категории. Это следует из импликации q ∘ час = 0 ⇒ час = 0, что мы сейчас и докажем. Если час : г → Q, где г некоторая делимая группа, и q ∘ час = 0, тогда час(Икс) ∈ Z, ∀ Икс ∈ г. Теперь исправим некоторые Икс ∈ г. Без ограничения общности можно считать, что час(Икс) ≥ 0 (в противном случае выберите -Икс вместо). Затем, позволяя п = час(Икс) + 1, поскольку г делимая группа, существует некоторая у ∈ г такой, что Икс = нью-йорк, так час(Икс) = п час(у). Отсюда и 0 ≤ час(Икс) < час(Икс) + 1 = п, это следует из того

${\displaystyle 0\leq {\frac {h(x)}{h(x)+1}}=h(y)<1}$

поскольку час(у) ∈ Z, это следует из того час(у) = 0, и поэтому час(Икс) = 0 = час(−Икс), ∀ Икс ∈ г. Это говорит, что час = 0, по желанию.

Чтобы перейти от этого подтекста к тому, что q является мономорфизмом, предположим, что q ∘ ж = q ∘ г для некоторых морфизмов ж, г : г → Q, где г некоторая делимая группа. потом q ∘ (ж − г) = 0, где (ж − г) : Икс ↦ ж(Икс) − г(Икс). (Поскольку (ж − г)(0) = 0, и (ж − г)(Икс + у) = (ж − г)(Икс) + (ж − г)(у), это следует из того (ж − г) ∈ Hom (г, Q)). Из только что доказанного следствия q ∘ (ж − г) = 0 ⇒ ж − г = 0 ⇔ ∀ Икс ∈ г, ж(Икс) = г(Икс) ⇔ ж = г. Следовательно q является мономорфизмом, как утверждается.

Свойства

• В топос, каждое моно является эквалайзером, и любая карта, которая одновременно является монической и эпос является изоморфизм.
• Каждый изоморфизм моничен.

Связанные понятия

Есть также полезные концепции регулярный мономорфизм, экстремальный мономорфизм, непосредственный мономорфизм, сильный мономорфизм, и расщепляемый мономорфизм.

• Мономорфизм называется регулярный если это эквалайзер некоторой пары параллельных морфизмов.
• Мономорфизм ${\displaystyle \mu }$ как говорят экстремальный^[1] если в каждом представлении ${\displaystyle \mu =\varphi \circ \varepsilon }$, где ${\displaystyle \varepsilon }$ является эпиморфизмом, морфизм ${\displaystyle \varepsilon }$ автоматически изоморфизм.
• Мономорфизм ${\displaystyle \mu }$ как говорят немедленный если в каждом представлении ${\displaystyle \mu =\mu '\circ \varepsilon }$, где ${\displaystyle \mu '}$ является мономорфизмом и ${\displaystyle \varepsilon }$ является эпиморфизмом, морфизм ${\displaystyle \varepsilon }$ автоматически изоморфизм.
• 
  Мономорфизм ${\displaystyle \mu :C\to D}$ как говорят сильный^[1][2] если для любого эпиморфизма ${\displaystyle \varepsilon :A\to B}$ и любые морфизмы ${\displaystyle \alpha :A\to C}$ и ${\displaystyle \beta :B\to D}$ такой, что ${\displaystyle \beta \circ \varepsilon =\mu \circ \alpha }$, существует морфизм ${\displaystyle \delta :B\to C}$ такой, что ${\displaystyle \delta \circ \varepsilon =\alpha }$ и ${\displaystyle \mu \circ \delta =\beta }$.
• Мономорфизм ${\displaystyle \mu }$ как говорят Трещина если существует морфизм ${\displaystyle \varepsilon }$ такой, что ${\displaystyle \varepsilon \circ \mu =1}$ (в таком случае ${\displaystyle \varepsilon }$ называется левосторонним обратным для ${\displaystyle \mu }$).

Терминология

Сопутствующие термины мономорфизм и эпиморфизм были первоначально представлены Николя Бурбаки; Бурбаки использует мономорфизм как сокращение для инъективной функции. Ранние теоретики категорий полагали, что правильным обобщением инъективности в контексте категорий было свойство отмены, данное выше. Хотя это не совсем верно для монических отображений, это очень близко, так что это вызвало небольшие проблемы, в отличие от случая эпиморфизмов. Saunders Mac Lane пытался провести различие между тем, что он называл мономорфизмы, которые были отображениями в конкретной категории, чьи базовые карты множеств инъективны, и монические карты, которые являются мономорфизмами в категоричном смысле слова. Это различие никогда не вошло в обиход.

Другое название мономорфизма - расширение, хотя это имеет и другое применение.

Смотрите также

• Встраивание
• Узловое разложение
• Подобъект

Заметки

1. Borceux 1994.
2. Цаленко и Шульгейфер 1974.

использованная литература

• Бергман, Джордж (2015). Приглашение к общей алгебре и универсальным конструкциям. Springer. ISBN  978-3-319-11478-1.
• Борсё, Фрэнсис (1994). Справочник по категориальной алгебре. Том 1: Основная теория категорий. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0521061193.
• "Мономорфизм", Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Ван Остен, Яап (1995). Основная теория категорий (PDF). БРИКС, факультет компьютерных наук, Орхусский университет. ISSN  1395-2048.
• Цаленко, М.С .; Шульгейфер, Э. (1974). Основы теории категорий. Наука. ISBN  5-02-014427-4.

внешние ссылки

• мономорфизм в nLab
• Сильный мономорфизм в nLab