Встраивание - Embedding

"Изометрическое вложение" перенаправляется сюда. Для связанных концепций для метрические пространства, увидеть изометрия.

Для использования в других целях см. Вложение (значения).

В математика, встраивание (или вложение^[1]) является одним из примеров некоторых математическая структура содержится в другом экземпляре, например группа это подгруппа.

Когда какой-то объект Икс считается встроенным в другой объект Y, вложение задается некоторыми инъективный и сохраняющая структуру карта ж : Икс → Y. Точное значение слова «сохраняющий структуру» зависит от вида математической структуры, которая Икс и Y являются экземплярами. В терминологии теория категорий, сохраняющее структуру отображение называется морфизм.

Тот факт, что карта ж : Икс → Y вложение часто обозначается использованием "крючковой стрелки" (U + 21AA ↪ СТРЕЛКА ВПРАВО С КРЮЧКОМ);^[2] таким образом: ${\displaystyle f:X\hookrightarrow Y.}$ (С другой стороны, это обозначение иногда используется для карты включения.)

Данный Икс и Y, несколько различных вложений Икс в Y может быть возможно. Во многих интересных случаях существует стандартное (или "каноническое") вложение, подобное встраиванию натуральные числа в целые числа, целые числа в рациональное число, рациональные числа в действительные числа, а действительные числа в сложные числа. В таких случаях обычно определяют домен Икс с этими образ ж(Икс) содержалась в Y, так что ж(Икс) ⊆ Y.

Топология и геометрия

Общая топология

В общая топология, вложение - это гомеоморфизм на свой образ.^[3] Более конкретно, инъективное непрерывный карта ${\displaystyle f:X\to Y}$ между топологические пространства ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ это топологическое вложение если ${\displaystyle f}$ дает гомеоморфизм между ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle f(X)}$ (где ${\displaystyle f(X)}$ несет топология подпространства унаследовано от ${\displaystyle Y}$). Тогда интуитивно вложение ${\displaystyle f:X\to Y}$ позволяет нам лечить ${\displaystyle X}$ как подпространство из ${\displaystyle Y}$. Каждое вложение инъективно и непрерывный. Каждая карта, которая является инъективной, непрерывной и либо открыто или закрыто это вложение; однако есть также вложения, которые не являются ни открытыми, ни закрытыми. Последнее случается, если изображение ${\displaystyle f(X)}$ не является ни открытый набор ни закрытый набор в ${\displaystyle Y}$.

Для данного пространства ${\displaystyle Y}$, существование вложения ${\displaystyle X\to Y}$ это топологический инвариант из ${\displaystyle X}$. Это позволяет различать два пространства, если одно может быть встроено в пространство, а другое - нет.

Дифференциальная топология

В дифференциальная топология:Позволять ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N}$ быть гладким коллекторы и ${\displaystyle f:M\to N}$ быть гладкой картой. потом ${\displaystyle f}$ называется погружение если это производная везде инъективен. An встраивание, или гладкое вложение, определяется как инъективное погружение, которое является вложением в топологическом смысле, упомянутом выше (т.е. гомеоморфизм на его изображение).^[4]

Другими словами, область вложения диффеоморфный к его образу, и в частности, образ вложения должен быть подмногообразие. Погружение - это локальное вложение (т.е.для любой точки ${\displaystyle x\in M}$ есть район ${\displaystyle x\in U\subset M}$ такой, что ${\displaystyle f:U\to N}$ это вложение.)

Когда многообразие области компактно, понятие гладкого вложения эквивалентно понятию инъективного погружения.

Важный случай ${\displaystyle N=\mathbb {R} ^{n}}$. Интерес здесь в том, насколько велик ${\displaystyle n}$ должен быть для встраивания, с точки зрения размера ${\displaystyle m}$ из ${\displaystyle M}$. В Теорема вложения Уитни^[5] утверждает, что ${\displaystyle n=2m}$ достаточно, и это наилучшая возможная линейная оценка. Например, реальное проективное пространство RP^м измерения ${\displaystyle m}$, где ${\displaystyle m}$ это степень двойки, требует ${\displaystyle n=2m}$ для вложения. Однако это не относится к погружениям; например, RP² можно погрузиться в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ как явно показано Поверхность мальчика - имеющий самопересечения. В Римская поверхность не может быть погружением, поскольку он содержит кросс-кепки.

Вложение правильный если он ведет себя хорошо по отношению к границы: требуется карта ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ быть таким, чтобы

• ${\displaystyle f(\partial X)=f(X)\cap \partial Y}$, и
• ${\displaystyle f(X)}$ является поперечный к ${\displaystyle \partial Y}$ в любой точке ${\displaystyle f(\partial X)}$.

Первое условие эквивалентно наличию ${\displaystyle f(\partial X)\subseteq \partial Y}$ и ${\displaystyle f(X\setminus \partial X)\subseteq Y\setminus \partial Y}$. Второе условие, грубо говоря, говорит, что ж(Икс) не касается границы Y.

Риманова геометрия

В Риманова геометрия:Позволять (M, г) и (N, час) быть Римановы многообразия.An изометрическое вложение гладкое вложение ж : M → N который сохраняет метрика в том смысле, что г равно откат из час от ж, т.е. г = ж*час. Явно для любых двух касательных векторов ${\displaystyle v,w\in T_{x}(M)}$ у нас есть

${\displaystyle g(v,w)=h(df(v),df(w)).}$

Аналогично, изометрическое погружение является погружением между римановыми многообразиями, сохраняющим римановы метрики.

Эквивалентно изометрическое вложение (погружение) - это гладкое вложение (погружение), которое сохраняет длину кривые (ср. Теорема вложения Нэша ).^[6]

Алгебра

В общем, для алгебраическая категория C, вложение между двумя C-алгебраические структуры Икс и Y это C-морфизм е : Икс → Y это инъективно.

Теория поля

В теория поля, встраивание из поле E в поле F это кольцевой гомоморфизм σ : E → F.

В ядро из σ является идеальный из E что не может быть целым полем E, из-за условия σ(1) = 1. Кроме того, хорошо известно свойство полей, что их единственные идеалы - это нулевой идеал и само поле в целом. Следовательно, ядро ​​равно 0, поэтому любое вложение полей является мономорфизм. Следовательно, E является изоморфный к подполе σ(E) из F. Это оправдывает название встраивание для произвольного гомоморфизма полей.

Универсальная алгебра и теория моделей

Дальнейшая информация: Подструктура (математика) и Элементарная эквивалентность

Если σ - подпись и ${\displaystyle A,B}$ являются σ-структуры (также называемые σ-алгебрами в универсальная алгебра или модели в теория моделей ), то карта ${\displaystyle h:A\to B}$ является σ-вложением если только выполняются все следующие условия:

• ${\displaystyle h}$ инъективен,
• для каждого ${\displaystyle n}$символ функции ${\displaystyle f\in \sigma }$ и ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}\in A^{n},}$ у нас есть ${\displaystyle h(f^{A}(a_{1},\ldots ,a_{n}))=f^{B}(h(a_{1}),\ldots ,h(a_{n}))}$,
• для каждого ${\displaystyle n}$символ -арное отношение ${\displaystyle R\in \sigma }$ и ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}\in A^{n},}$ у нас есть ${\displaystyle A\models R(a_{1},\ldots ,a_{n})}$ если только ${\displaystyle B\models R(h(a_{1}),\ldots ,h(a_{n})).}$

Вот ${\displaystyle A\models R(a_{1},\ldots ,a_{n})}$ теоретическое обозначение модели, эквивалентное ${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})\in R^{A}}$. В теории моделей также есть более сильное понятие элементарное вложение.

Теория порядка и теория предметной области

В теория порядка, вложение частично упорядоченные наборы это функция F между частично упорядоченными наборами Икс и Y такой, что

${\displaystyle \forall x_{1},x_{2}\in X:x_{1}\leq x_{2}\iff F(x_{1})\leq F(x_{2}).}$

Приемлемость F быстро следует из этого определения. В теория предметной области, дополнительное требование:

${\displaystyle \forall y\in Y:\{x\mid F(x)\leq y\}}$ является направленный.

Метрические пространства

Отображение ${\displaystyle \phi :X\to Y}$ из метрические пространства называется встраивание(с участием искажение ${\displaystyle C>0}$) если

${\displaystyle Ld_{X}(x,y)\leq d_{Y}(\phi (x),\phi (y))\leq CLd_{X}(x,y)}$

для некоторой постоянной ${\displaystyle L>0}$.

Нормированные пространства

Важным частным случаем является случай нормированные пространства; в этом случае естественно рассматривать линейные вложения.

Один из основных вопросов, который можно задать о конечномерном нормированное пространство ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ является, каков максимальный размер ${\displaystyle k}$ так что Гильбертово пространство ${\displaystyle \ell _{2}^{k}}$ можно линейно вложить в ${\displaystyle X}$ с постоянным искажением?

Ответ дает Теорема Дворецкого.

Теория категорий

В теория категорий, не существует удовлетворительного и общепринятого определения вложений, применимого ко всем категориям. Можно было бы ожидать, что все изоморфизмы и все композиции вложений будут вложениями, а все вложения - мономорфизмами. Другие типовые требования: любые экстремальный мономорфизм является вложением и вложения устойчивы относительно откаты.

В идеале класс всего встраиваемого подобъекты данного объекта, с точностью до изоморфизма, также должны быть маленький, и таким образом заказанный набор. В этом случае говорят, что категория имеет хорошую мощность по отношению к классу вложений. Это позволяет определять новые локальные структуры в категории (например, оператор закрытия ).

В конкретная категория, встраивание это морфизм ƒ: А → B которая является инъективной функцией из базового набора А к базовому набору B а также начальный морфизм в следующем смысле: если г это функция из базового набора объекта C к базовому набору А, а если его состав с ƒ это морфизм ƒg: C → B, тогда г сам по себе является морфизмом.

А система факторизации для категории также порождает понятие вложения. Если (E, M) - факторизационная система, то морфизмы в M можно рассматривать как вложения, особенно если категория хорошо развита в отношенииM. Конкретные теории часто имеют систему факторизации, в которой M состоит из вложений в предыдущем смысле. Так обстоит дело с большинством примеров, приведенных в этой статье.

Как обычно в теории категорий, существует двойной понятие, известное как частное. Все предыдущие свойства можно дуализировать.

Вложение также может относиться к встраиваемый функтор.

Смотрите также

• Закрытое погружение
• Обложка
• Уменьшение размеров
• Погружение
• Лемма Джонсона – Линденштрауса
• Подмногообразие
• Подпространство
• Универсальное пространство

Заметки

1. Спивак 1999, п. 49 предполагает, что «англичане» (то есть британцы) используют «встраивание» вместо «вложение».
2. «Стрелки - Юникод» (PDF). Получено 2017-02-07.
3. Hocking & Young 1988, п. 73. Шарп 1997, п. 16.
4. Бишоп и Криттенден, 1964, п. 21. Епископ и Голдберг, 1968 г., п. 40. Крампин и Пирани 1994, п. 243. ду Карму 1994, п. 11. Фландрия 1989, п. 53. Галло, Хулин и Лафонтен 2004, п. 12. Кобаяси и Номидзу 1963, п. 9. Косинский 2007, п. 27. Lang 1999, п. 27. Ли 1997, п. 15. Спивак 1999, п. 49. Уорнер 1983, п. 22.
5. Уитни Х., Дифференцируемые многообразия, Анна. математики. (2), 37 (1936), стр. 645–680
6. Нэш Дж., Проблема вложения римановых многообразий Анна. математики. (2), 63 (1956), 20–63.

использованная литература

• Епископ Ричард Лоуренс; Криттенден, Ричард Дж. (1964). Геометрия многообразий. Нью-Йорк: Academic Press. ISBN  978-0-8218-2923-3.
• Епископ Ричард Лоуренс; Гольдберг, Сэмюэл Ирвинг (1968). Тензорный анализ на многообразиях (Первое издание Dover 1980 г.). Компания Macmillan. ISBN  0-486-64039-6.
• Крампин, Майкл; Пирани, Феликс Арнольд Эдвард (1994). Применимая дифференциальная геометрия. Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-23190-9.
• ду Карму, Манфредо Пердигау (1994). Риманова геометрия. ISBN  978-0-8176-3490-2.
• Фландрия, Харлей (1989). Дифференциальные формы с приложениями к физическим наукам. Дувр. ISBN  978-0-486-66169-8.
• Галло, Сильвестр; Хулин, Доминик; Лафонтен, Жак (2004). Риманова геометрия (3-е изд.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-20493-0.
• Хокинг, Джон Гилберт; Янг, Гейл Селлерс (1988) [1961]. Топология. Дувр. ISBN  0-486-65676-4.
• Косинский, Антони Альберт (2007) [1993]. Дифференциальные коллекторы. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-46244-8.
• Ланг, Серж (1999). Основы дифференциальной геометрии. Тексты для выпускников по математике. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  978-0-387-98593-0.
• Кобаяси, Шошичи; Номидзу, Кацуми (1963). Основы дифференциальной геометрии, Том 1. Нью-Йорк: Wiley-Interscience.
• Ли, Джон Маршалл (1997). Римановы многообразия. Springer Verlag. ISBN  978-0-387-98322-6.
• Шарп, Р.В. (1997). Дифференциальная геометрия: Картановское обобщение Эрлангенской программы Клейна. Спрингер-Верлаг, Нью-Йорк. ISBN  0-387-94732-9..
• Спивак Михаил (1999) [1970]. Всестороннее введение в дифференциальную геометрию (Том 1). Опубликовать или погибнуть. ISBN  0-914098-70-5.
• Уорнер, Фрэнк Уилсон (1983). Основы дифференцируемых многообразий и групп Ли. Спрингер-Верлаг, Нью-Йорк. ISBN  0-387-90894-3..

внешние ссылки

• Адамек, Иржи; Хорст Херрлих; Джордж Стрекер (2006). Абстрактные и конкретные категории (Кошачьи радости).
• Вложение многообразий на атласе многообразия