Римская поверхность - Roman surface

Анимация римской поверхности

В Римская поверхность или же Поверхность Штейнера является самопересекающимся отображением реальная проективная плоскость в трехмерное пространство с необычно высокой степенью симметрия. Это отображение не погружение проективной плоскости; однако фигура, полученная в результате удаления шести особых точек, равна единице. Его название происходит потому, что он был открыт Якоб Штайнер когда он был в Рим в 1844 г.^[1]

Самая простая конструкция - это изображение сфера с центром в начале координат под картой ж(Икс,у,z) = (yz,xz,ху). Это дает неявный формула из

${\displaystyle x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2}-r^{2}xyz=0.\,}$

Кроме того, параметризация сферы с точки зрения долгота (θ) и широта (φ), дает параметрические уравнения для римской поверхности следующим образом:

${\displaystyle x=r^{2}\cos \theta \cos \varphi \sin \varphi }$

${\displaystyle y=r^{2}\sin \theta \cos \varphi \sin \varphi }$

${\displaystyle z=r^{2}\cos \theta \sin \theta \cos ^{2}\varphi }$

Начало - тройная точка, и каждая из ху-, yz-, и xz-плоскости там касаются поверхности. Остальные места самопересечения представляют собой двойные точки, определяющие отрезки вдоль каждой координатной оси, которые заканчиваются шестью точками защемления. Вся поверхность имеет четырехгранный симметрия. Это особый тип (называемый типом 1) поверхности Штейнера, то есть трехмерная линейная проекция из Веронезе поверхность.

Вывод неявной формулы

Рассмотрим для простоты только случай р = 1. Для сферы, определяемой точками (Икс, у, z) такие, что

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1,\,}$

применим к этим точкам преобразование Т определяется ${\displaystyle T(x,y,z)=(yz,zx,xy)=(U,V,W),\,}$ сказать.

Но тогда у нас есть

${\displaystyle {\begin{aligned}U^{2}V^{2}+V^{2}W^{2}+W^{2}U^{2}&=z^{2}x^{2}y^{4}+x^{2}y^{2}z^{4}+y^{2}z^{2}x^{4}=(x^{2}+y^{2}+z^{2})(x^{2}y^{2}z^{2})\\[8pt]&=(1)(x^{2}y^{2}z^{2})=(xy)(yz)(zx)=UVW,\end{aligned}}}$

и так ${\displaystyle U^{2}V^{2}+V^{2}W^{2}+W^{2}U^{2}-UVW=0\,}$ по желанию.

Наоборот, предположим, нам даны (U, V, W) удовлетворение

(*) ${\displaystyle U^{2}V^{2}+V^{2}W^{2}+W^{2}U^{2}-UVW=0.\,}$

Докажем, что существует (Икс,у,z) такие, что

(**) ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1,\,}$

для которого ${\displaystyle U=xy,V=yz,W=zx,\,}$

за одним исключением: в случае 3.b. ниже мы покажем, что это невозможно доказать.

1. В случае, если ни один из U, V, W равно 0, мы можем установить

${\displaystyle x={\sqrt {\frac {WU}{V}}},\ y={\sqrt {\frac {UV}{W}}},\ z={\sqrt {\frac {VW}{U}}}.\,}$

(Обратите внимание, что (*) гарантирует, что либо все три из U, V, W положительны, либо ровно два отрицательны. Таким образом, эти квадратные корни имеют положительные числа.)

Легко использовать (*), чтобы подтвердить, что (**) выполняется для Икс, у, z определил таким образом.

2. Предположим, что W равно 0. Из (*) следует ${\displaystyle U^{2}V^{2}=0\,}$

и, следовательно, по крайней мере, один из U, V также должно быть 0. Это показывает, что невозможно ни одно из U, V, W быть 0.

3. Предположим, что ровно два из U, V, W равны 0. Не теряя общий смысл мы предполагаем

(***)${\displaystyle U\neq 0,V=W=0.\,}$

Следует, что ${\displaystyle z=0,\,}$

(поскольку ${\displaystyle z\neq 0,\,}$ подразумевает, что ${\displaystyle x=y=0,\,}$ и поэтому ${\displaystyle U=0,\,}$ противоречащий (***).)

а. В подслучае, где

${\displaystyle |U|\leq {\frac {1}{2}},}$

если мы определим Икс и у к

${\displaystyle x^{2}={\frac {1+{\sqrt {1-4U^{2}}}}{2}}}$

и ${\displaystyle y^{2}={\frac {1-{\sqrt {1-4U^{2}}}}{2}},}$

это обеспечивает выполнение (*). Легко убедиться, что ${\displaystyle x^{2}y^{2}=U^{2},\,}$

и, следовательно, выбирая признаки Икс и у соответственно будет гарантировать ${\displaystyle xy=U.\,}$

Поскольку также ${\displaystyle yz=0=V{\text{ and }}zx=0=W,\,}$

это показывает, что этот частный случай приводит к желаемому обратному.

б. В оставшейся части случая 3., у нас есть ${\displaystyle |U|>{\frac {1}{2}}.}$

С ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1,\,}$

легко проверить, что ${\displaystyle xy\leq {\frac {1}{2}},}$

и, таким образом, в этом случае, где ${\displaystyle |U|>1/2,\ V=W=0,}$

есть нет (Икс, у, z) удовлетворение ${\displaystyle U=xy,\ V=yz,\ W=zx.}$

Следовательно, решения (U, 0, 0) уравнения (*) с ${\displaystyle |U|>{\frac {1}{2}}}$

и аналогично (0, V, 0) с ${\displaystyle |V|>{\frac {1}{2}}}$

и (0, 0, W) с ${\displaystyle |W|>{\frac {1}{2}}}$

(каждая из которых является некомпактной частью координатной оси, состоит из двух частей) не соответствуют ни одной точке на римской поверхности.

4. Если (U, V, W) - точка (0, 0, 0), то если любые два из Икс, у, z равны нулю, а третий имеет абсолютное значение 1, очевидно ${\displaystyle (xy,yz,zx)=(0,0,0)=(U,V,W)\,}$ по желанию.

Это охватывает все возможные случаи.

Вывод параметрических уравнений

Пусть сфера имеет радиус р, долгота φ, и широта θ. Тогда его параметрические уравнения имеют вид

${\displaystyle x=r\,\cos \theta \,\cos \phi ,}$

${\displaystyle y=r\,\cos \theta \,\sin \phi ,}$

${\displaystyle z=r\,\sin \theta .}$

Затем, применяя преобразование Т ко всем точкам на этой сфере дает

${\displaystyle x'=yz=r^{2}\,\cos \theta \,\sin \theta \,\sin \phi ,}$

${\displaystyle y'=zx=r^{2}\,\cos \theta \,\sin \theta \,\cos \phi ,}$

${\displaystyle z'=xy=r^{2}\,\cos ^{2}\theta \,\cos \phi \,\sin \phi ,}$

которые являются точками на римской поверхности. Позволять φ диапазон от 0 до 2π, и пусть θ диапазон от 0 до π / 2.

Отношение к реальной проективной плоскости

Сфера до преобразования не гомеоморфный к реальной проективной плоскости, RP². Но сфера с центром в начале координат обладает тем свойством, что если точка (х, у, г) принадлежит сфере, то и точка противоположности (-x, -y, -z) и эти две точки разные: они лежат по разные стороны от центра сферы.

Преобразование Т конвертирует обе эти противоположные точки в одну и ту же точку,

${\displaystyle T:(x,y,z)\rightarrow (yz,zx,xy),}$

${\displaystyle T:(-x,-y,-z)\rightarrow ((-y)(-z),(-z)(-x),(-x)(-y))=(yz,zx,xy).}$

Поскольку это верно для всех точек S², то ясно, что римская поверхность представляет собой непрерывный образ «сферы по модулю антиподов». Поскольку некоторые различные пары антиподов все сводятся к идентичным точкам римской поверхности, она не гомеоморфна RP², но вместо этого является фактором реальной проективной плоскости RP² = S² / (х ~ -х). Кроме того, карта T (вверху) из S² к этому фактору имеет особое свойство, заключающееся в том, что он локально инъективен вдали от шести пар антиподальных точек. Или из РП² получившаяся карта превращает это в погружение в RP² - минус шесть очков - в 3-ячейку.

(Ранее было сказано, что римская поверхность гомеоморфна RP², но это было ошибкой. Впоследствии было заявлено, что римская поверхность представляет собой погружение RP² в R³, но это тоже было ошибкой.)

Структура римской поверхности

Римская поверхность имеет четыре выпуклых «лепестка», каждая из которых находится в разных углах тетраэдра.

Римскую поверхность можно построить, соединив вместе три гиперболические параболоиды а затем при необходимости сгладить края, чтобы он соответствовал желаемой форме (например, параметризация).

Пусть есть эти три гиперболических параболоида:

• Икс = yz,
• у = zx,
• z = ху.

Эти три гиперболических параболоида пересекаются снаружи по шести граням тетраэдра и внутри по трем осям. Внутренние пересечения - это места двойных точек. Три локуса двойных точек: Икс = 0, у = 0 и z = 0, пересекаются в тройной точке на источник.

Например, учитывая Икс = yz и у = zx, второй параболоид эквивалентен Икс = у/z. потом

${\displaystyle yz={y \over z}}$

и либо у = 0 или z² = 1, так что z = ± 1. Их два внешних пересечения

• х = у, z = 1;
• Икс = −у, z = −1.

Аналогично, другие внешние пересечения

• Икс = z, у = 1;
• Икс = −z, у = −1;
• у = z, Икс = 1;
• у = −z, Икс = −1.

Давайте посмотрим, как складываются части. Присоединяйтесь к параболоидам у = xz и Икс = yz. Результат показан на рисунке 1.

Рисунок 1.

Параболоид у = х г отображается синим и оранжевым цветом. Параболоид х = у г отображается голубым и пурпурным. На изображении видно, что параболоиды пересекаются по г = 0 ось. Если параболоиды удлинены, они также должны пересекаться по линиям

• z = 1, у = Икс;
• z = −1, у = −Икс.

Два параболоида вместе выглядят как пара орхидеи присоединились спина к спине.

Теперь запустим третий гиперболический параболоид, z = ху, через них. Результат показан на рисунке 2.

Фигура 2.

В направлениях запад-юго-запад и восток-северо-восток на Рисунке 2 есть пара отверстий. Эти отверстия являются лепестками, и их необходимо закрыть. Когда отверстия закрываются, получается римская поверхность, показанная на рисунке 3.

Рисунок 3. Римская поверхность.

Пара лепестков видна в западном и восточном направлениях на Рисунке 3. Другая пара лепестков скрыта под третьей (z = ху) параболоид и лежат в северном и южном направлениях.

Если три пересекающихся гиперболических параболоида нарисованы достаточно далеко, чтобы они пересекались по краям тетраэдра, то результат будет таким, как показано на рисунке 4.

Рисунок 4.

Одна из долей видна спереди - лобовой - на рисунке 4. Видно, что эта доля является одним из четырех углов тетраэдра.

Если у непрерывной поверхности на рис. 4 острые края закруглены - сглажены, то в результате получится римская поверхность на рис. 5.

Одна из долей римской поверхности видна на рисунке 5 спереди, а ее луковичный - шарообразный - форма налицо.

Если поверхность на Рисунке 5 повернуть на 180 градусов, а затем перевернуть вверх дном, результат будет таким, как показано на Рисунке 6.

Рисунок 6. Римская поверхность.

На рисунке 6 показаны три лепестка сбоку. Между каждой парой лепестков есть геометрическое место из двойных точек, соответствующих координатной оси. Три локуса пересекаются в тройной точке в начале координат. Четвертая доля скрыта и указывает в направлении, прямо противоположном наблюдателю. Римская поверхность, показанная в верхней части этой статьи, также имеет три лепестка при виде сбоку.

Односторонность

Римская поверхность не-ориентируемый, т.е. односторонний. Это не совсем очевидно. Чтобы убедиться в этом, снова взгляните на рисунок 3.

Представьте себе муравей поверх "третьего" гиперболический параболоид, г = х у. Пусть этот муравей двинется на север. По мере движения он будет проходить через два других параболоида, как призрак, проходящий сквозь стену. Эти другие параболоиды кажутся препятствиями только из-за самопересекающейся природы погружения. Позвольте муравью игнорировать все двойные и тройные точки и проходить сквозь них. Итак, муравей движется на север и, так сказать, падает с края света. Теперь он оказывается в северной доле, скрытой под третьим параболоидом на рис. 3. Муравей стоит вверх ногами на «внешней стороне» римской поверхности.

Пусть муравей двинется на юго-запад. Он будет подниматься по склону (вверх ногами), пока не окажется «внутри» западного лепестка. Теперь позвольте муравью двигаться в юго-восточном направлении по внутренней части западной доли к г = 0 ось, всегда над х-у самолет. Как только он пройдет через г = 0 По оси муравей будет находиться «снаружи» от восточной доли, стоя правой стороной вверх.

Затем позвольте ему двигаться на север, через «холм», затем на северо-запад, чтобы он начал скользить вниз к х = 0 ось. Как только муравей пересечет эту ось, он окажется «внутри» северной доли, встав правой стороной вверх. Теперь позвольте муравью идти на север. Он поднимется по стене, затем по «крыше» Северного выступа. Муравей снова на третьем гиперболическом параболоиде, но на этот раз под ним и стоит вверх ногами. (Сравнить с Бутылка Клейна.)

Двойные, тройные и точки защемления

Римская поверхность имеет четыре «доли». Границы каждой доли представляют собой набор из трех линий двойных точек. Между каждой парой долей есть линия из двойных точек. Поверхность состоит из трех линий двойных точек, которые лежат (в параметризации, приведенной ранее) на осях координат. Три линии двойных точек пересекаются в тройной точке, лежащей в начале координат. Тройная точка разрезает линии двойных точек на пару полупрямой, и каждая полупрямая проходит между парой лепестков. Из предыдущих утверждений можно было ожидать, что может быть до восьми долей, по одной в каждом октанте пространства, разделенного координатными плоскостями. Но доли занимают чередующиеся октанты: четыре октанта пусты, а четыре заняты долями.

Если бы римская поверхность была вписана в тетраэдр с наименьшим возможным объемом, можно было бы обнаружить, что каждое ребро тетраэдра касается римской поверхности в какой-то точке, и что каждая из этих шести точек оказывается точкой Уитни необычность. Все эти особенности или точки защемления лежат на краях трех линий двойных точек, и они определяются следующим свойством: не существует плоскости касательная на любую поверхность в особенности.

Смотрите также

• Поверхность мальчика - ан погружение проекционной плоскости без заглавных букв.
• Тетрагемигексаэдр - а многогранник очень похож на римскую поверхность.

Рекомендации

1. Коффман, Адам. "Римские поверхности Штайнера". National Curve Bank. Университет Индианы - Университет Пердью Форт-Уэйн.

Общие ссылки

• А. Коффман, А. Шварц и К. Стентон: Алгебра и геометрия Штейнера и других квадратично параметризуемых поверхностей. В Компьютерный геометрический дизайн (3) 13 (апрель 1996 г.), стр. 257–286
• Берт Юттлер, Рагни Пьене: Геометрическое моделирование и алгебраическая геометрия. Springer 2008, ISBN  978-3-540-72184-0, п. 30 (ограниченная онлайн-копия, п. 30, в Google Книги )

внешняя ссылка

• А. Коффман "Поверхности Штейнера "
• Вайсштейн, Эрик В. "Римская поверхность". MathWorld.
• Римские поверхности на National Curve Bank (сайт Калифорнийского государственного университета)
• Ашай Дхарвадкер, Гептаэдр и римская поверхность, Электронные геометрические модели, 2004.