Энтропия Цаллиса - Tsallis entropy

В физике Энтропия Цаллиса является обобщением стандарта Энтропия Больцмана – Гиббса.

Обзор

Концепция была представлена ​​в 1988 г. Константино Цаллис^[1] в качестве основы для обобщения стандартной статистической механики и идентичен по форме Структурная α-энтропия Хаврды – Чарвата^[2], введен в 1967 г. теория информации. В научной литературе обсуждается физическая значимость энтропии Цаллиса.^[3][4][5] Однако, начиная с 2000 года, выявляется все более широкий спектр природных, искусственных и социальных сложных систем, которые подтверждают прогнозы и последствия, вытекающие из этой неаддитивной энтропии, такие как неэкстенсивная статистическая механика,^[6] которое обобщает теорию Больцмана – Гиббса.

Среди различных экспериментальных проверок и приложений, доступных в настоящее время в литературе, следует особо отметить следующие:

1. Распределение, характеризующее движение холодных атомов в диссипативных оптических решетках, предсказанное в 2003 г.^[7] и наблюдалось в 2006 году.^[8]
2. Колебания магнитного поля в Солнечный ветер позволил вычислить q-триплет (или триплет Цаллиса).^[9]
3. Распределение скоростей в ведомой диссипативной пылевой плазме.^[10]
4. Спин-стакан расслабление.^[11]
5. Захваченный ион взаимодействуя с классическим буферный газ.^[12]
6. Эксперименты по столкновению высоких энергий на LHC / CERN (детекторы CMS, ATLAS и ALICE)^[13][14] и RHIC / Brookhaven (детекторы STAR и PHENIX).^[15]

Среди различных доступных теоретических результатов, которые разъясняют физические условия, при которых применяется энтропия Цаллиса и связанная с ней статистика, можно выбрать следующие:

1. Аномальная диффузия.^[16][17]
2. Теорема единственности.^[18]
3. Чувствительность к первоначальные условия и производство энтропии на грани хаоса.^[19][20]
4. Наборы вероятностей что делает неаддитивную энтропию Тсаллиса большой в термодинамическом смысле.^[21]
5. Сильно квантовые запутанные системы и термодинамика.^[22]
6. Термостатика чрезмерно демпфированный движение взаимодействующих частиц.^[23][24]
7. Нелинейные обобщения Шредингера, Кляйн – Гордон и Уравнения Дирака.^[25]
8. Расчет энтропии черной дыры.^[26]

Более подробную информацию можно найти в библиографии по адресу http://tsallis.cat.cbpf.br/biblio.htm

Учитывая дискретный набор вероятностей ${displaystyle {p_{i}}}$ с условием ${displaystyle sum _{i}p_{i}=1}$, и ${displaystyle q}$ любое реальное число, Энтропия Цаллиса определяется как

${displaystyle S_{q}({p_{i}})={k over q-1}left(1-sum _{i}p_{i}^{q}ight),}$

куда ${displaystyle q}$ это реальный параметр, который иногда называют энтропийный индекс.В пределе как ${displaystyle q o 1}$восстанавливается обычная энтропия Больцмана – Гиббса, а именно

${displaystyle S_{BG}=S_{1}(p)=-ksum _{i}p_{i}ln p_{i}.}$

Для непрерывных распределений вероятностей определим энтропию как

${displaystyle S_{q}[p]={1 over q-1}left(1-int (p(x))^{q},dxight),}$

куда ${displaystyle p(x)}$ это функция плотности вероятности.

Энтропия Цаллиса использовалась вместе с Принцип максимальной энтропии вывести Распределение Цаллиса.

Различные отношения

Дискретная энтропия Тсаллиса удовлетворяет

${displaystyle S_{q}=-lim _{xightarrow 1}D_{q}sum _{i}p_{i}^{x}}$

куда D_q это q-производная относительно Икс. Это можно сравнить со стандартной формулой энтропии:

${displaystyle S=-lim _{xightarrow 1}{frac {d}{dx}}sum _{i}p_{i}^{x}}$

Неаддитивность

Учитывая две независимые системы А и B, для которых совместное плотность вероятности удовлетворяет

${displaystyle p(A,B)=p(A)p(B),,}$

энтропия Тсаллиса этой системы удовлетворяет

${displaystyle S_{q}(A,B)=S_{q}(A)+S_{q}(B)+(1-q)S_{q}(A)S_{q}(B).,}$

Из этого результата видно, что параметр ${displaystyle |1-q|}$ является мерой отклонения от аддитивности. В пределе, когда q = 1,

${displaystyle S(A,B)=S(A)+S(B),,}$

что и ожидается от аддитивной системы. Это свойство иногда называют «псевдоаддитивностью».

Экспоненциальные семьи

Многие общие распределения, такие как нормальное распределение, относятся к статистическим экспоненциальные семейства Энтропию Цаллиса для экспоненциального семейства можно записать ^[27] в качестве

${displaystyle H_{q}^{T}(p_{F}(x; heta ))={frac {1}{1-q}}left((e^{F(q heta )-qF( heta )})E_{p}[e^{(q-1)k(x)}]-1ight)}$

куда F является нормализатором журнала и k термин, обозначающий меру несущей. Для многомерного нормального члена k равна нулю, поэтому энтропия Тсаллиса находится в замкнутой форме.

Обобщенные энтропии

Несколько интересных физических систем^[28] соблюдать энтропийный функционалы которые являются более общими, чем стандартная энтропия Тсаллиса. Поэтому было введено несколько физически значимых обобщений. Примечательно, что два наиболее общих из них: суперстатистика, представленная Ч. Беком и Э. Г. Д. Коэном в 2003 г.^[29] и спектральная статистика, введенная Г. А. Цекоурасом и Константино Цаллис в 2005 году.^[30] Обе эти энтропийные формы имеют статистику Тсаллиса и Больцмана – Гиббса как частные случаи; Было доказано, что спектральная статистика по крайней мере содержит суперсстатистику, и предполагалось, что она также охватывает некоторые дополнительные случаи.^{[нужна цитата ]}

Смотрите также

• Энтропия Реньи
• Распределение Цаллиса

Рекомендации

1. Цаллис, К. (1988). «Возможное обобщение статистики Больцмана-Гиббса». Журнал статистической физики. 52 (1–2): 479–487. Bibcode:1988JSP .... 52..479T. Дои:10.1007 / BF01016429. HDL:10338.dmlcz / 142811. S2CID  16385640.
2. Havrda, J .; Чарват, Ф. (1967). «Метод количественной оценки классификационных процессов. Понятие структурной α-энтропии» (PDF). Кибернетика. 3 (1): 30–35.
3. Чо, А. (2002). «Свежий взгляд на беспорядок или беспорядочная наука?». Наука. 297 (5585): 1268–1269. Дои:10.1126 / science.297.5585.1268. PMID  12193769. S2CID  5441957.
4. Abe, S .; Раджагопал, А. (2003). «Возвращаясь к статистике беспорядка и Цаллиса». Наука. 300 (5617): 249–251. Дои:10.1126 / science.300.5617.249d. PMID  12690173. S2CID  39719500.
5. Pressé, S .; Ghosh, K .; Lee, J .; Дилл, К. (2013). «Неаддитивные энтропии дают вероятностные распределения с ошибками, не подтвержденными данными». Phys. Rev. Lett. 111 (18): 180604. arXiv:1312.1186. Bibcode:2013ПхРвЛ.111р0604П. Дои:10.1103 / PhysRevLett.111.180604. PMID  24237501. S2CID  2577710.
6. Цаллис, Константино (2009). Введение в неэкстенсивную статистическую механику: приближение к сложному миру (Online-Ausg. Ed.). Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  978-0-387-85358-1.
7. Лутц, Э. (2003). «Аномальная диффузия и статистика Цаллиса в оптической решетке». Физический обзор A. 67 (5): 051402. arXiv:cond-mat / 0210022. Bibcode:2003PhRvA..67e1402L. Дои:10.1103 / PhysRevA.67.051402. S2CID  119403353.
8. Douglas, P .; Bergamini, S .; Рензони, Ф. (2006). "Перестраиваемые распределения Цаллиса в диссипативных оптических решетках" (PDF). Письма с физическими проверками. 96 (11): 110601. Bibcode:2006PhRvL..96k0601D. Дои:10.1103 / PhysRevLett.96.110601. PMID  16605807.
9. Бурлага, Л. Ф .; - Виньяс, А. Ф. (2005). «Треугольник для энтропийного индекса q неэкстенсивной статистической механики, наблюдаемый космическим аппаратом Вояджер-1 в далекой гелиосфере». Physica A: Статистическая механика и ее приложения. 356 (2–4): 375. arXiv:физика / 0507212. Bibcode:2005PhyA..356..375B. Дои:10.1016 / j.physa.2005.06.065. S2CID  18823047.
10. Лю, Б .; Гори, Дж. (2008). «Супердиффузия и негауссовская статистика в управляемой диссипативной двумерной пылевой плазме». Письма с физическими проверками. 100 (5): 055003. arXiv:0801.3991. Bibcode:2008PhRvL.100e5003L. Дои:10.1103 / PhysRevLett.100.055003. PMID  18352381. S2CID  2022402.
11. Самовывоз, р .; Cywinski, R .; Папас, С .; Farago, B .; Фуке, П. (2009). «Обобщенная релаксация спинового стекла». Письма с физическими проверками. 102 (9): 097202. arXiv:0902.4183. Bibcode:2009ПхРвЛ.102и7202П. Дои:10.1103 / PhysRevLett.102.097202. PMID  19392558. S2CID  6454082.
12. Девое, Р. (2009). "Степенные распределения для захваченного иона, взаимодействующего с классическим буферным газом". Письма с физическими проверками. 102 (6): 063001. arXiv:0903.0637. Bibcode:2009ПхРвЛ.102ф3001Д. Дои:10.1103 / PhysRevLett.102.063001. PMID  19257583. S2CID  15945382.
13. Хачатрян, В .; Сирунян, А .; Тумасян, А .; Adam, W .; Bergauer, T .; Dragicevic, M .; Erö, J .; Fabjan, C .; Friedl, M .; Frühwirth, R .; Гете, В. М .; Hammer, J .; Hänsel, S .; Hoch, M .; Hörmann, N .; Hrubec, J .; Jeitler, M .; Kasieczka, G .; Kiesenhofer, W .; Krammer, M .; Liko, D .; Mikulec, I .; Pernicka, M .; Rohringer, H .; Schöfbeck, R .; Штраус, Дж .; Таурок, А .; Тейшингер, Ф .; Waltenberger, W .; и другие. (2010). «Распределение поперечного импульса и псевдобыстрот заряженных адронов в pp-столкновениях при √s= 7 ТэВ ". Письма с физическими проверками. 105 (2): 022002. arXiv:1005.3299. Bibcode:2010PhRvL.105b2002K. Дои:10.1103 / PhysRevLett.105.022002. PMID  20867699. S2CID  119196941.
14. Чатрчян, С .; Хачатрян, В .; Сирунян, А. М .; Тумасян, А .; Adam, W .; Bergauer, T .; Dragicevic, M .; Erö, J .; Fabjan, C .; Friedl, M .; Frühwirth, R .; Гете, В. М .; Hammer, J .; Hänsel, S .; Hoch, M .; Hörmann, N .; Hrubec, J .; Jeitler, M .; Kiesenhofer, W .; Krammer, M .; Liko, D .; Mikulec, I .; Pernicka, M .; Rohringer, H .; Schöfbeck, R .; Штраус, Дж .; Таурок, А .; Тейшингер, Ф .; Вагнер, П .; и другие. (2011). "Спектры поперечного импульса заряженных частиц в pp-столкновениях при $ √s= 0,9 и 7 ТэВ ". Журнал физики высоких энергий. 2011 (8): 86. arXiv:1104.3547. Bibcode:2011JHEP ... 08..086C. Дои:10.1007 / JHEP08 (2011) 086. S2CID  122835798.
15. Adare, A .; Афанасьев, С .; Aidala, C .; Ajitanand, N .; Akiba, Y .; Al-Bataineh, H .; Александр, J .; Aoki, K .; Aphecetche, L .; Armendariz, R .; Aronson, S.H .; Asai, J .; Atomssa, E.T .; Averbeck, R .; Awes, T. C .; Azmoun, B .; Бабинцев, В .; Bai, M .; Баксай, Г .; Баксай, Л .; Baldisseri, A .; Barish, K. N .; Barnes, P.D .; Bassalleck, B .; Басье, А. Т .; Купаться, S .; Batsouli, S .; Baublis, V .; Baumann, C .; и другие. (2011). «Измерение нейтральных мезонов в п+п столкновения в √s= 200 ГэВ и масштабные свойства рождения адронов ». Физический обзор D. 83 (5): 052004. arXiv:1005.3674. Bibcode:2011PhRvD..83e2004A. Дои:10.1103 / PhysRevD.83.052004. S2CID  85560021.
16. Пластино, А.Р .; Пластино, А. (1995). «Неэкстенсивная статистическая механика и обобщенное уравнение Фоккера-Планка». Physica A: Статистическая механика и ее приложения. 222 (1–4): 347–354. Bibcode:1995PhyA..222..347P. Дои:10.1016/0378-4371(95)00211-1.
17. Tsallis, C .; Букман Д. (1996). «Аномальная диффузия при наличии внешних сил: точные решения, зависящие от времени, и их термостатистическая основа». Физический обзор E. 54 (3): R2197 – R2200. arXiv:cond-mat / 9511007. Bibcode:1996PhRvE..54.2197T. Дои:10.1103 / PhysRevE.54.R2197. PMID  9965440. S2CID  16272548.
18. Абэ, С. (2000). «Аксиомы и теорема единственности для энтропии Цаллиса». Письма о физике A. 271 (1–2): 74–79. arXiv:cond-mat / 0005538. Bibcode:2000ФЛА..271 ... 74А. Дои:10.1016 / S0375-9601 (00) 00337-6. S2CID  119513564.
19. Lyra, M .; Цаллис, К. (1998). «Неэкстенсивность и мультифрактальность в низкоразмерных диссипативных системах». Письма с физическими проверками. 80 (1): 53–56. arXiv:cond-mat / 9709226. Bibcode:1998ПхРвЛ..80 ... 53Л. Дои:10.1103 / PhysRevLett.80.53. S2CID  15039078.
20. Балдовин, Ф .; Робледо, А. (2004). «Неэкстенсивная идентичность Песина: точные результаты анализа ренормгруппы для динамики на краю хаоса логистической карты». Физический обзор E. 69 (4): 045202. arXiv:cond-mat / 0304410. Bibcode:2004PhRvE..69d5202B. Дои:10.1103 / PhysRevE.69.045202. PMID  15169059. S2CID  30277614.
21. Tsallis, C .; Gell-Mann, M .; Сато, Ю. (2005). «Асимптотически масштабно-инвариантное заполнение фазового пространства делает энтропию Sq обширной». Труды Национальной академии наук. 102 (43): 15377–82. arXiv:cond-mat / 0502274. Bibcode:2005ПНАС..10215377Т. Дои:10.1073 / pnas.0503807102. ЧВК  1266086. PMID  16230624.
22. Карузо, Ф .; Цаллис, К. (2008). «Неаддитивная энтропия согласовывает закон площадей в квантовых системах с классической термодинамикой». Физический обзор E. 78 (2): 021102. arXiv:cond-mat / 0612032. Bibcode:2008PhRvE..78b1102C. Дои:10.1103 / PhysRevE.78.021102. PMID  18850781. S2CID  18006627.
23. Andrade, J .; Da Silva, G .; Морейра, А .; Nobre, F .; Курадо, Э. (2010). «Термостатистика сверхзатухающего движения взаимодействующих частиц». Письма с физическими проверками. 105 (26): 260601. arXiv:1008.1421. Bibcode:2010PhRvL.105z0601A. Дои:10.1103 / PhysRevLett.105.260601. PMID  21231636. S2CID  14831948.
24. Ribeiro, M .; Nobre, F .; Курадо, Э. М. (2012). «Временная эволюция взаимодействующих вихрей при сверхзатухающем движении» (PDF). Физический обзор E. 85 (2): 021146. Bibcode:2012PhRvE..85b1146R. Дои:10.1103 / PhysRevE.85.021146. PMID  22463191.
25. Nobre, F .; Rego-Monteiro, M .; Цаллис, К. (2011). «Нелинейные релятивистские и квантовые уравнения с общим типом решения». Письма с физическими проверками. 106 (14): 140601. arXiv:1104.5461. Bibcode:2011ПхРвЛ.106н0601Н. Дои:10.1103 / PhysRevLett.106.140601. PMID  21561176. S2CID  12679518.
26. Маджи, Абхишек (2017). «Неэкстенсивная статистическая механика и энтропия черной дыры из квантовой геометрии». Письма по физике B. 775: 32–36. arXiv:1703.09355. Bibcode:2017ФЛБ..775 ... 32М. Дои:10.1016 / j.physletb.2017.10.043. S2CID  119397503.
27. Nielsen, F .; Нок Р. (2012). "Выражение в замкнутой форме для энтропии Шармы – Миттала экспоненциальных семейств". Журнал физики A: математический и теоретический. 45 (3): 032003. arXiv:1112.4221. Bibcode:2012JPhA ... 45c2003N. Дои:10.1088/1751-8113/45/3/032003. S2CID  8653096.
28. García-Morales, V .; Кришер, К. (2011). «Суперстатистика в наноразмерных электрохимических системах». Труды Национальной академии наук. 108 (49): 19535–19539. Bibcode:2011PNAS..10819535G. Дои:10.1073 / pnas.1109844108. ЧВК  3241754. PMID  22106266.
29. Beck, C .; Коэн, Э. Г. Д. (2003). «Суперстатистика». Physica A: Статистическая механика и ее приложения. 322: 267–275. arXiv:cond-mat / 0205097. Bibcode:2003PhyA..322..267B. Дои:10.1016 / S0378-4371 (03) 00019-0.
30. Tsekouras, G.A .; Цаллис, К. (2005). «Обобщенная энтропия, возникающая из распределения q индексов». Физический обзор E. 71 (4): 046144. arXiv:cond-mat / 0412329. Bibcode:2005PhRvE..71d6144T. Дои:10.1103 / PhysRevE.71.046144. PMID  15903763. S2CID  16663654.

дальнейшее чтение

• Фуруичи, Сигеру; Митрой-Симеонидис, Флавия-Корина; Симеонид, Элевферий (2014). «О некоторых свойствах гипоэнтропий и гиподивергенций Цаллиса». Энтропия. 16 (10): 5377–5399. Дои:10.3390 / e16105377.
• Фуруичи, Сигеру; Митрой, Флавия-Корина (2012). «Математические неравенства при некоторых расхождениях». Physica A. 391 (1–2): 388–400. arXiv:1104.5603. Дои:10.1016 / j.physa.2011.07.052. S2CID  92394.
• Фуруичи, Сигеру; Минкулет, Никушор; Митрой, Флавия-Корина (2012). «Некоторые неравенства об обобщенных энтропиях». Журнал неравенств и приложений. 2012: 226. Дои:10.1186 / 1029-242X-2012-226.

внешняя ссылка

• Статистика Цаллиса, статистическая механика неэкстенсивных систем и дальнодействующих взаимодействий