Q-гауссово распределение - Q-Gaussian distribution

Эта статья о Цаллисе q-Gaussian. Для другого q-аналога см. Гауссово q-распределение.

q-Гауссовский

Функция плотности вероятности
Параметры	${\displaystyle q<3}$ форма (настоящий ) ${\displaystyle \beta >0}$ (настоящий )
Поддерживать	${\displaystyle x\in (-\infty ;+\infty )\!}$ за ${\displaystyle 1\leq q<3}$ ${\displaystyle x\in \left[\pm {1 \over {\sqrt {\beta (1-q)}}}\right]}$ за ${\displaystyle q<1}$
PDF	${\displaystyle {{\sqrt {\beta }} \over C_{q}}e_{q}({-\beta x^{2}})}$
Иметь в виду	${\displaystyle 0{\text{ for }}q<2}$, иначе не определено
Медиана	${\displaystyle 0}$
Режим	${\displaystyle 0}$
Дисперсия	${\displaystyle {1 \over {\beta (5-3q)}}{\text{ for }}q<{5 \over 3}}$ ${\displaystyle \infty {\text{ for }}{5 \over 3}\leq q<2}$ ${\displaystyle {\text{Undefined for }}2\leq q<3}$
Асимметрия	${\displaystyle 0{\text{ for }}q<{3 \over 2}}$
Бывший. эксцесс	${\displaystyle 6{q-1 \over 7-5q}{\text{ for }}q<{7 \over 5}}$

В q-Гауссовский - распределение вероятностей, возникающее из максимизации Энтропия Цаллиса при соответствующих ограничениях. Это один из примеров Распределение Цаллиса. В q-Гауссиан - это обобщение гауссиана таким же образом, как энтропия Цаллиса является обобщением стандартного Энтропия Больцмана – Гиббса или же Энтропия Шеннона.^[1] В нормальное распределение восстанавливается как q → 1.

В q-Гауссовский был применен к задачам в области статистическая механика, геология, анатомия, астрономия, экономика, финансы, и машинное обучение. Распределение часто предпочитают за его тяжелые хвосты по сравнению с гауссовой при 1 < q <3. Для ${\displaystyle q<1}$ в q-Гауссовское распределение - это PDF ограниченного случайная переменная. Это делает в биологии и других областях^[2] в q-Гауссово распределение больше подходит, чем распределение Гаусса, для моделирования эффекта внешней стохастичности. Обобщенный q-аналог классического Центральная предельная теорема^[3] был предложен в 2008 году, в котором ограничение независимости для i.i.d. переменные расслаблен до степени, определяемой q параметр, при этом независимость восстанавливается как q → 1. Однако доказательства такой теоремы до сих пор нет.^[4]

В областях с тяжелым хвостом распределение эквивалентно распределению Студенты т-распределение с прямым отображением между q и степени свободы. Таким образом, практикующий, использующий одно из этих распределений, может параметризовать одно и то же распределение двумя разными способами. Выбор q-Гауссова форма может возникнуть, если система не обширный, или если нет связи с небольшими размерами выборок.

Характеристика

Функция плотности вероятности

В q-Гауссовский имеет функцию плотности вероятности ^[3]

${\displaystyle f(x)={{\sqrt {\beta }} \over C_{q}}e_{q}(-\beta x^{2})}$

куда

${\displaystyle e_{q}(x)=[1+(1-q)x]_{+}^{1 \over 1-q}}$

это q-экспоненциальный и коэффициент нормализации ${\displaystyle C_{q}}$ дан кем-то

${\displaystyle C_{q}={{2{\sqrt {\pi }}\Gamma \left({1 \over 1-q}\right)} \over {(3-q){\sqrt {1-q}}\Gamma \left({3-q \over 2(1-q)}\right)}}{\text{ for }}-\infty <q<1}$

${\displaystyle C_{q}={\sqrt {\pi }}{\text{ for }}q=1\,}$

${\displaystyle C_{q}={{{\sqrt {\pi }}\Gamma \left({3-q \over 2(q-1)}\right)} \over {{\sqrt {q-1}}\Gamma \left({1 \over q-1}\right)}}{\text{ for }}1<q<3.}$

Обратите внимание, что для ${\displaystyle q<1}$ в q-Гауссовское распределение - это PDF ограниченного случайная переменная.

Энтропия

Так же, как нормальное распределение это максимум информационная энтропия распределение для фиксированных значений первого момента ${\displaystyle \operatorname {E} (X)}$ и второй момент ${\displaystyle \operatorname {E} (X^{2})}$ (с фиксированным нулевым моментом ${\displaystyle \operatorname {E} (X^{0})=1}$ соответствующему условию нормировки), q-Гауссовское распределение - максимальное Энтропия Цаллиса распределение для фиксированных значений этих трех моментов.

Связанные дистрибутивы

Студенты т-распределение

Хотя это может быть оправдано интересной альтернативной формой энтропии, статистически это масштабная репараметризация Студенты т-распределение введен У. Госсетом в 1908 году для описания статистики малых выборок. В оригинальной презентации Госсета параметр степеней свободы ν была ограничена положительным целым числом, связанным с размером выборки, но легко заметить, что функция плотности Госсета действительна для всех реальных значений ν.^{[нужна цитата ]} Масштабированная репараметризация вводит альтернативные параметры q и β которые связаны с ν.

Учитывая студенческую т-распространение с ν степени свободы, эквивалент q-Гауссиан имеет

${\displaystyle q={\frac {\nu +3}{\nu +1}}{\text{ with }}\beta ={\frac {1}{3-q}}}$

с обратным

${\displaystyle \nu ={\frac {3-q}{q-1}},{\text{ but only if }}\beta ={\frac {1}{3-q}}.}$

В любое время ${\displaystyle \beta \neq {1 \over {3-q}}}$, функция - это просто масштабированная версия Student's т-распределение.

Иногда утверждают, что это распределение является обобщением теории Стьюдента. т-распределение по отрицательным и / или нецелым степеням свободы. Однако теория Стьюдента т-распределение тривиально распространяется на все реальные степени свободы, где теперь поддержка распределения компактный а не бесконечно в случае ν < 0.^{[нужна цитата ]}

Трехпараметрическая версия

Как и во многих распределениях с центром в нуле, q-Гауссовский язык можно тривиально расширить, включив параметр местоположения μ. Затем плотность определяется как

${\displaystyle {{\sqrt {\beta }} \over C_{q}}e_{q}({-\beta (x-\mu )^{2}}).}$

Генерация случайных отклонений

В Преобразование Бокса – Мюллера был обобщен, чтобы позволить случайную выборку из q-Гауссианцы.^[5] Стандартный метод Бокса – Мюллера генерирует пары независимых нормально распределенных переменных из уравнений следующего вида.

${\displaystyle Z_{1}={\sqrt {-2\ln(U_{1})}}\cos(2\pi U_{2})}$

${\displaystyle Z_{2}={\sqrt {-2\ln(U_{1})}}\sin(2\pi U_{2})}$

Обобщенная техника Бокса – Мюллера может генерировать пары q-Гауссовские отклонения, которые не являются независимыми. На практике только одно отклонение будет генерироваться из пары равномерно распределенных переменных. Следующая формула будет генерировать отклонения от q-Гауссовский с указанным параметром q и ${\displaystyle \beta ={1 \over {3-q}}}$

${\displaystyle Z={\sqrt {-2{\text{ ln}}_{q'}(U_{1})}}{\text{ cos}}(2\pi U_{2})}$

куда ${\displaystyle {\text{ ln}}_{q}}$ это q-логарифм и ${\displaystyle q'={{1+q} \over {3-q}}}$

Эти отклонения могут быть преобразованы для создания отклонений от произвольного q-Гауссовский автор

${\displaystyle Z'=\mu +{Z \over {\sqrt {\beta (3-q)}}}}$

Приложения

Физика

Было показано, что импульсное распределение холодных атомов в диссипативных оптических решетках является q-Гауссовский.^[6]

В q-Гауссово распределение также получается как асимптотическое функция плотности вероятности положения одномерного движения массы, подверженной действию двух сил: детерминированной силы типа ${\displaystyle F_{1}(x)=-2x/(1-x^{2})}$ (определение бесконечной потенциальной ямы) и стохастической силы белого шума ${\displaystyle F_{2}(t)={\sqrt {2(1-q)}}\xi (t)}$, куда ${\displaystyle \xi (t)}$ это белый шум. Отметим, что в приближении сверхзатухания / малой массы упомянутая выше сходимость не выполняется для ${\displaystyle q<0}$, как недавно было показано.^[7]

Финансы

Распределение финансовой прибыли на Нью-Йоркской фондовой бирже, NASDAQ и других местах было интерпретировано как q-Гауссианцы.^[8][9]

Смотрите также

• Константино Цаллис
• Статистика Цаллиса
• Энтропия Цаллиса
• Распределение Цаллиса
• q-экспоненциальное распределение
• Q-гауссовский процесс

Примечания

1. Цаллис, К. Неаддитивная энтропия и неэкстенсивная статистическая механика - обзор через 20 лет. Braz. J. Phys. 2009, 39, 337–356.
2. д'Онофрио А. (ред.) Ограниченные шумы в физике, биологии и технике. Бирхаузер (2013)
3. Умаров, Сабир; Цаллис, Константино; Стейнберг, Стэнли (2008). "На q-Центральная предельная теорема, совместимая с неэкстенсивной статистической механикой » (PDF). Милан Дж. Математика. Birkhauser Verlag. 76: 307–328. Дои:10.1007 / s00032-008-0087-у. S2CID  55967725. Получено 2011-07-27.
4. Hilhorst, H.J. (2010), "Примечание к q-модифицированная центральная предельная теорема ", Журнал статистической механики: теория и эксперимент, 2010 (10): P10023, arXiv:1008.4259, Bibcode:2010JSMTE..10..023H, Дои:10.1088 / 1742-5468 / 2010/10 / P10023, S2CID  119316670.
5. W. Thistleton, J.A. Марш, К. Нельсон и К. Цаллис, Обобщенный метод Бокса – Мюллера для генерации q-Гауссовские случайные отклонения, IEEE Transactions on Information Theory 53, 4805 (2007)
6. Дуглас, П .; Bergamini, S .; Рензони, Ф. (2006). "Перестраиваемые распределения Цаллиса в диссипативных оптических решетках" (PDF). Письма с физическими проверками. 96 (11): 110601. Bibcode:2006PhRvL..96k0601D. Дои:10.1103 / PhysRevLett.96.110601. PMID  16605807.
7. Доминго, Дарио; д’Онофрио, Альберто; Фландоли, Франко (2017). «Ограниченность и неограниченность шума, связанного с q-статистикой Цаллиса: роль приближения сверхзатухания». Журнал математической физики. Издательство AIP. 58 (3): 033301. Дои:10.1063/1.4977081. ISSN  0022-2488. S2CID  84178785.
8. Борланд, Лиза (2002-08-07). «Формулы ценообразования опционов на основе негауссовской модели цен на акции». Письма с физическими проверками. Американское физическое общество (APS). 89 (9): 098701. arXiv:cond-mat / 0204331. Дои:10.1103 / Physrevlett.89.098701. ISSN  0031-9007. PMID  12190447. S2CID  5740827.
9. Л. Борланд, Ценообразование опционов на акции, в «Неэкстенсивная энтропия - междисциплинарные приложения», под ред. М. Гелл-Манн и К. Цаллис (Издательство Оксфордского университета, Нью-Йорк, 2004 г.)

дальнейшее чтение

• Можжевельник, Дж. (2007) «Распределение Цаллиса и обобщенная энтропия: перспективы будущих исследований принятия решений в условиях неопределенности», Центр полной занятости и справедливости, Университет Ньюкасла, Австралия

внешняя ссылка

• Статистика Цаллиса, статистическая механика неэкстенсивных систем и дальнодействующих взаимодействий