Q-экспоненциальное распределение - Q-exponential distribution

q-экспоненциальное распределение

Функция плотности вероятности
Параметры	${\displaystyle q<2}$ форма (настоящий ) ${\displaystyle \lambda >0}$ ставка (настоящий )
Поддерживать	${\displaystyle x\in [0,\infty ){\text{ for }}q\geq 1}$ ${\displaystyle x\in \left[0,{\frac {1}{\lambda (1-q)}}\right){\text{ for }}q<1}$
PDF	${\displaystyle (2-q)\lambda e_{q}^{-\lambda x}}$
CDF	${\displaystyle 1-e_{q'}^{-\lambda x/q'}{\text{ where }}q'={\frac {1}{2-q}}}$
Иметь в виду	${\displaystyle {\frac {1}{\lambda (3-2q)}}{\text{ for }}q<{\frac {3}{2}}}$ В противном случае не определено
Медиана	${\displaystyle {\frac {-q'\ln _{q'}(1/2)}{\lambda }}{\text{ where }}q'={\frac {1}{2-q}}}$
Режим	0
Дисперсия	${\displaystyle {\frac {q-2}{(2q-3)^{2}(3q-4)\lambda ^{2}}}{\text{ for }}q<{\frac {4}{3}}}$
Асимметрия	${\displaystyle {\frac {2}{5-4q}}{\sqrt {\frac {3q-4}{q-2}}}{\text{ for }}q<{\frac {5}{4}}}$
Бывший. эксцесс	${\displaystyle 6{\frac {-4q^{3}+17q^{2}-20q+6}{(q-2)(4q-5)(5q-6)}}{\text{ for }}q<{\frac {6}{5}}}$

В q-экспоненциальное распределение это распределение вероятностей возникающие в результате максимизации Энтропия Цаллиса при соответствующих ограничениях, включая ограничение домена быть положительным. Это один из примеров Распределение Цаллиса. В q-экспонента является обобщением экспоненциальное распределение так же, как энтропия Тсаллиса является обобщением стандартных Энтропия Больцмана – Гиббса или же Энтропия Шеннона.^[1] Экспоненциальное распределение восстанавливается как ${\displaystyle q\rightarrow 1.}$

Первоначально предложено статистиками Джордж Бокс и Дэвид Кокс в 1964 г.,^[2] и известный как обратный Преобразование Бокса – Кокса за ${\displaystyle q=1-\lambda ,}$ частный случай преобразование власти в статистике.

Характеристика

Функция плотности вероятности

В q-экспоненциальное распределение имеет функцию плотности вероятности

${\displaystyle (2-q)\lambda e_{q}(-\lambda x)}$

куда

${\displaystyle e_{q}(x)=[1+(1-q)x]^{1/(1-q)}}$

это q-экспоненциальный если q ≠ 1. Когда q = 1, е_q(x) просто exp (Икс).

Вывод

Аналогично тому, как экспоненциальное распределение можно вывести (используя стандартную энтропию Больцмана – Гиббса или энтропию Шеннона и ограничивая область определения переменной положительной величиной), q-экспоненциальное распределение может быть получено путем максимизации энтропии Цаллиса при соблюдении соответствующих ограничений.

Связь с другими дистрибутивами

В q-экспонента - частный случай обобщенное распределение Парето куда

${\displaystyle \mu =0,\quad \xi ={\frac {q-1}{2-q}},\quad \sigma ={\frac {1}{\lambda (2-q)}}.}$

В q-экспонента - это обобщение Распределение Lomax (Тип Парето II), поскольку он расширяет это распределение на случаи конечной поддержки. Параметры Lomax:

${\displaystyle \alpha ={\frac {2-q}{q-1}},\quad \lambda _{\mathrm {Lomax} }={\frac {1}{\lambda (q-1)}}.}$

Поскольку дистрибутив Lomax представляет собой сдвинутую версию Распределение Парето, то q-экспонента - это смещенное репараметризованное обобщение Парето. Когда q > 1, то q-экспонента эквивалентна сдвигу Парето, чтобы поддержка начиналась с нуля. В частности, если

${\displaystyle X\sim \operatorname {{\mathit {q}}-Exp} (q,\lambda ){\text{ and }}Y\sim \left[\operatorname {Pareto} \left(x_{m}={\frac {1}{\lambda (q-1)}},\alpha ={\frac {2-q}{q-1}}\right)-x_{m}\right],}$

тогда ${\displaystyle X\sim Y.}$

Генерация случайных отклонений

Случайные отклонения можно нарисовать с помощью выборка с обратным преобразованием. Учитывая переменную U равномерно распределенный на интервале (0,1), то

${\displaystyle X={\frac {-q'\ln _{q'}(U)}{\lambda }}\sim \operatorname {{\mathit {q}}-Exp} (q,\lambda )}$

куда ${\displaystyle \ln _{q'}}$ это q-логарифм и ${\displaystyle q'={\frac {1}{2-q}}.}$

Приложения

Быть преобразование власти, это обычный метод в статистике для стабилизации дисперсии, чтобы сделать данные более похожими на нормальное распределение и повысить достоверность показателей связи, таких как корреляция Пирсона между переменными. Было установлено, что это точная модель задержки поездов.^[3]Он также встречается в атомной физике и квантовой оптике, например, в процессах создания молекулярного конденсата через переход через резонанс Фешбаха.^[4]

Смотрите также

• Константино Цаллис
• Статистика Цаллиса
• Энтропия Цаллиса
• Распределение Цаллиса
• q-сопула
• q-Гауссовский

Примечания

1. Цаллис, К. Неаддитивная энтропия и неэкстенсивная статистическая механика - обзор через 20 лет. Braz. J. Phys. 2009, 39, 337–356.
2. Box, Джордж Э. П.; Кокс, Д. (1964). «Анализ трансформаций». Журнал Королевского статистического общества, серия B. 26 (2): 211–252. JSTOR  2984418. МИСТЕР  0192611.
3. Кейт Бриггс и Кристиан Бек (2007). "Моделирование опозданий поездов с q-экспоненциальные функции ». Physica A. 378 (2): 498–504. arXiv:физика / 0611097. Дои:10.1016 / j.physa.2006.11.084. S2CID  107475.
4. C. Sun; Синицын Н.А. (2016). "Расширение Ландау-Зинера модели Тависа-Каммингса: структура решения". Phys. Ред. А. 94 (3): 033808. arXiv:1606.08430. Bibcode:2016PhRvA..94c3808S. Дои:10.1103 / PhysRevA.94.033808. S2CID  119317114.

дальнейшее чтение

• Можжевельник, Дж. (2007) «Распределение Цаллиса и обобщенная энтропия: перспективы будущих исследований принятия решений в условиях неопределенности», Центр полной занятости и справедливости, Университет Ньюкасла, Австралия

внешняя ссылка

• Статистика Цаллиса, статистическая механика неэкстенсивных систем и дальнодействующих взаимодействий