Оценка (геометрия) - Valuation (geometry)

В геометрия, а оценка - конечно аддитивная функция на совокупности допустимых подмножеств фиксированного множества со значениями в абелевом полугруппа. Например, Мера Лебега является оценкой конечных объединений выпуклых тел (т.е. непустых компактных выпуклых множеств) евклидова пространства . Другими примерами оценок конечных объединений выпуклых тел являются площадь поверхности, средняя ширина и Эйлерова характеристика.

В геометрической обстановке на оценки часто накладываются условия непрерывности (или гладкости), но существуют и чисто дискретные аспекты теории. Фактически концепция оценки берет свое начало в теории расчленения многогранники и в частности Третья проблема Гильберта, которая превратилась в богатую теорию, в значительной степени опирающуюся на передовые инструменты абстрактной алгебры.

Определение

Позволять быть набором и набор допустимых подмножеств . Функция на со значениями в абелевой полугруппе называется оценка если это удовлетворяет

в любое время , , , и являются элементами . Если , то всегда предполагается .

Примеры

Некоторые общие примеры допустимых множеств непустые компактные выпуклые множества (выпуклые тела) в , компактные выпуклые многогранники в , выпуклые конусы и гладкие компактные многогранники в гладком многообразии .

Позволять - конечномерное векторное пространство над , и разреши обозначим множество выпуклых тел в .

  • В Эйлерова характеристика это оценка , и он распространяется как оценка на набор конечных объединений выпуклых тел.
  • Любой Мера Лебега на , ограниченная выпуклыми телами, является оценкой .
  • Среди оценок, полученных на основе объема, есть собственные объемы,

куда - нормирующая константа и является евклидовым единичным шаром, и в более общем смысле смешанные объемы (некоторые записи фиксируются произвольно).

  • Перечислитель точек решетки , куда - целочисленная решетка, - оценка на решетчатых многогранниках.
  • Карта , куда

это функция поддержки из , это оценка .

Расценки на выпуклые тела

Оценка на как говорят инвариант перевода если для всех и все выпуклые тела .

Позволять два выпуклых тела в . После выбора евклидова внутреннего продукта их Расстояние Хаусдорфа определяется

куда обозначает -окрестности . Оборудован этой метрикой, является локально компактным пространством.

Пространство непрерывных трансляционно-инвариантных оценок на принимать значения в комплексных числах , обозначается .

Топология на топология равномерной сходимости на компактных подмножествах . Оборудован по норме

куда - ограниченное подмножество с непустой внутренней частью, это Банахово пространство.

Однородные оценки

Постоянная оценка, инвариантная к трансляциям как говорят -однородный если

для всех и . Подмножество из -однородные нормирования - векторное подпространство . Макмаллена теорема разложения[1] утверждает, что

В частности, степень однородной оценки всегда является целым числом между и .

Оценки оцениваются не только по степени однородности, но и по паритету относительно отражения через начало координат, а именно:

куда с если и только если для всех выпуклых тел .Элементы и как говорят четное и странный, соответственно.

Это простой факт, что является -мерный и натянутый на эйлерову характеристику , т.е. состоит из постоянных оценок на .

В 1957 г. Hadwiger[2] доказал, что (куда ) совпадает с -мерное пространство мер Лебега на .

Оценка является просто если для всех выпуклых тел с . Шнайдер[3] в 1996 г. описал все простые оценки на : они даны

куда , - произвольная нечетная функция на единичной сфере , и это мера площади поверхности . В частности, любая простая оценка - это сумма - и -однородная оценка. Это, в свою очередь, означает, что -однородная оценка однозначно определяется ее ограничениями на все -мерные подпространства.

Теоремы вложения

Вложение Клейна является линейным вложением , пространство даже -однородные нормирования в пространство непрерывных сечений канонического комплексного линейного расслоения над грассманианом из -мерные линейные подпространства . Его конструкция основана на характеристике Хадвигера.[2] из -однородные оценки. Если и , то ограничение это элемент , и по теореме Хадвигера это мера Лебега. Следовательно

определяет непрерывный участок линейного расслоения над с волокном поверх равно -мерное пространство из плотности (Меры Лебега) на .

Теорема (Клайн[4]). Линейная карта инъективно.

Другая инъекция, известная как вложение Шнайдера, существует для нечетных оценок. Он основан на описании простых оценок Шнайдером.[3] Это линейная инъекция , пространство нечетных -однородные нормирования в некоторый фактор пространства непрерывных сечений линейного расслоения над частичным флаговым многообразием коориентированных пар . Его определение напоминает вложение Клайна, но более сложное. Подробности можно найти в.[5]

Вложение Гуди-Вейля является линейной инъекцией в пространство распределений на -складчатое произведение -мерная сфера. Это не что иное, как Ядро Шварца естественной поляризации, что любая допускает, а именно как функционал на -складчатое произведение , последнее пространство функций, имеющее геометрический смысл разностей опорных функций гладких выпуклых тел. Подробнее см.[5]

Теорема о неприводимости

Классические теоремы Хадвигера, Шнайдера и МакМаллена дают довольно явное описание оценок, однородных степени , , и . Но для степеней до начала 21 века было известно очень мало. Гипотеза Макмаллена - это утверждение, что оценки

покрывают плотное подпространство . Гипотеза Макмаллена была подтверждена Алескер в гораздо более сильной форме, которая стала известна как теорема о неприводимости:

Теорема (Алескер[6]). Для каждого , естественное действие на пространствах и неприводимо.

Здесь действие общая линейная группа на дан кем-то

Доказательство теоремы о неприводимости основано на теоремах вложения предыдущего раздела и Локализация Бейлинсона-Бернштейна.

Гладкие оценки

Оценка называется гладкий если карта из к гладко. Другими словами, гладко тогда и только тогда, когда является гладким вектором естественного представления на . Пространство гладких оценок плотно в ; он снабжен естественной топологией пространства Фреше, более тонкой, чем топология, индуцированная из .

Для любой (комплекснозначной) гладкой функции на ,

куда обозначает ортогональную проекцию, а - мера Хаара, определяет гладкую четную оценку степени . Из теоремы о неприводимости и теоремы Кассельмана-Уоллаха следует, что любое гладкое четное нормирование может быть представлено таким образом. Такое представление иногда называют Формула Крофтона.

Для любого (комплексного) гладкого дифференциальная форма что инвариантно относительно всех переводов и каждое число , интеграция по нормальный цикл определяет плавную оценку:

 

 

 

 

(1)

В комплекте нормальный цикл состоит из внешних единичных нормалей к . Из теоремы о неприводимости следует, что каждая гладкая оценка имеет такой вид.

Операции над трансляционно-инвариантными оценками

На подпространстве гладких оценок определено несколько естественных операций . Самый важный из них - произведение двух гладких оценок. Вместе с откатом и продвижением эта операция распространяется на оценки на многообразиях.

Внешний продукт

Позволять - конечномерные вещественные векторные пространства. Существует билинейное отображение, называемое внешним произведением,

который однозначно характеризуется следующими двумя свойствами:

  • она непрерывна относительно обычных топологий на и .
  • если и куда и - выпуклые тела с гладкой границей и строго положительной гауссовой кривизной, а и плотности на и , тогда

Товар

Произведение двух гладких оценок определяется

куда - диагональное вложение. Продукт представляет собой непрерывную карту
Оснащен этим продуктом, становится коммутативной ассоциативной градуированной алгеброй с эйлеровой характеристикой в ​​качестве мультипликативного тождества.

Двойственность Алескера-Пуанкаре

По теореме Алескера ограничение произведения

является невырожденным спариванием. Это мотивирует определение -однородный обобщенная оценка, обозначенный , так как , топологизированный слабой топологией. По двойственности Алескера-Пуанкаре существует естественное плотное включение .

Свертка

Свертка - натуральный продукт на . Для простоты зафиксируем плотность на чтобы упростить второй фактор. Определить для фиксированного с гладкой границей и строго положительной гауссовой кривизной

Тогда существует уникальное продолжение по непрерывности карты
называется сверткой. В отличие от продукта, свертка учитывает совместную градуировку, а именно, если , , тогда .

Например, пусть обозначим смешанный объем выпуклых тел . Если выпуклые тела в с гладкой границей и строго положительной гауссовой кривизной фиксированы, то определяет плавную оценку степени . Свертка двух таких оценок есть

куда константа, зависящая только от .

преобразование Фурье

Преобразование Алескера-Фурье является естественным, -эквивариантный изоморфизм комплекснозначных оценок

открытый Алескером и обладающий многими свойствами, напоминающими классическое преобразование Фурье, что и объясняет его название.

Это меняет порядок оценок, а именно , и переплетает произведение и свертку:

Фиксируем для простоты евклидову структуру для идентификации , , у нас есть личность

О четных оценках существует простое описание преобразования Фурье в терминах вложения Клейна: . В частности, даже действительные оценки остаются действительными после преобразования Фурье.

Для нечетных оценок описание преобразования Фурье значительно сложнее. В отличие от четного случая, он уже не носит чисто геометрического характера. Например, не сохраняется пространство действительных нечетных оценок.

Откат и вперед

Учитывая линейную карту , есть индуцированные операции отката и двигаться вперед . Откат является более простым из двух: . Очевидно, что он сохраняет паритет и степень однородности оценки. Обратите внимание, что откат не сохраняет плавности при не является инъективным.

Формально определить дальнейшие действия труднее. Для простоты зафиксируем меры Лебега на и . Прогресс можно однозначно охарактеризовать, описав его действие на оценки в форме , для всех , а затем расширен по непрерывности на все нормирования с помощью теоремы о неприводимости. Для сюръективного отображения ,

Для включения , выберите разделение . потом
Неформально, прямое движение вперед двойственно откату относительно пары Алескера-Пуанкаре: для и ,
Однако это тождество должно быть тщательно интерпретировано, так как спаривание корректно определено только для гладких оценок. Подробнее см.[7]

Расценки на многообразиях

В серии статей, начатой ​​в 2006 г., Алескер заложил основы теории оценок на многообразиях, которая расширяет теорию оценок на выпуклых телах. Ключевое наблюдение, ведущее к этому расширению, заключается в том, что через интегрирование по нормальному циклу (1) гладкая трансляционно-инвариантная оценка может быть оценена на множествах, более общих, чем выпуклые. Также (1) предлагает определить гладкие оценки в целом, отказавшись от требования, чтобы форма быть трансляционно-инвариантной и заменой трансляционно-инвариантной меры Лебега произвольной гладкой мерой.

Позволять - n-мерное гладкое многообразие и пусть расслоение ко-сфер , т.е. ориентированная проективизация кокасательного расслоения. Позволять обозначим набор компактных дифференцируемых многогранников в . Нормальный цикл из , который состоит из внешних ко-нормалей к , естественно является липшицевым подмногообразием размерности .

В дальнейшем для простоты изложения мы предполагаем, что ориентирован, хотя понятие гладких оценок фактически не зависит от ориентируемости. Пространство гладких оценок на состоит из функций формы

куда и может быть произвольным. Алескер показал, что гладкие нормирования на открытых подмножествах сформировать мягкий пучок над .

Примеры

Ниже приведены примеры гладких оценок на гладком многообразии. :

  • Гладкие меры на .
  • В Эйлерова характеристика; это следует из работы Черн[8] на Теорема Гаусса-Бонне, где такие и были построены для представления характеристики Эйлера. Особенно, тогда Интегральная функция Черна-Гаусса-Бонне, который является пфаффианом тензора римановой кривизны.
  • Если риманова, то оценки Липшица-Киллинга или внутренние объемы - гладкие оценки. Если есть ли изометрическое погружение в евклидово пространство, то куда обозначает обычные собственные объемы на (определение отката см. ниже). Существование этих оценок составляет суть формулы трубки Вейля.[9]
  • Позволять быть сложное проективное пространство, и разреши обозначим грассманиан всех комплексных проективных подпространств фиксированной размерности . Функция

где интегрирование ведется по вероятностной мере Хаара на , это плавная оценка. Это следует из работы Фу.[10]

Фильтрация

Космос не допускает естественной градуировки в целом, но имеет каноническую фильтрацию

Здесь состоит из гладких мер на , и дается формами в идеале, порожденном , куда - каноническая проекция.

Связанное градуированное векторное пространство канонически изоморфно пространству гладких сечений

куда обозначает векторное расслоение над такой, что слой над точкой является , пространство -однородные гладкие трансляционно-инвариантные нормирования на касательном пространстве .

Товар

Космос допускает натуральный продукт. Это произведение непрерывно, коммутативно, ассоциативно, совместимо с фильтрацией:

и имеет эйлерову характеристику как единичный элемент. Он также коммутирует с ограничением на вложенные подмногообразия, а группа диффеоморфизмов действует на автоморфизмами алгебры.

Например, если риманова, оценки Липшица-Киллинга удовлетворяют

Двойственность Алескера-Пуанкаре все еще сохраняется. Для компактных это говорит, что спаривание , невырожден. Как и в случае инвариантной трансляции, эту двойственность можно использовать для определения обобщенных оценок. В отличие от трансляционно-инвариантного случая, хорошего определения непрерывных оценок для оценок на многообразиях не существует.

Произведение оценок близко отражает геометрическую операцию пересечения подмножеств. Неформально рассматривать обобщенную оценку . Продукт предоставлен . Теперь можно получить гладкие оценки, усредняя обобщенные оценки вида , точнее является гладкой оценкой, если является достаточно большим мерным семейством диффеоморфизмов. Тогда есть

видеть.[11]

Откат и вперед

Каждое плавное погружение гладких многообразий индуцирует обратное отображение . Если вложение, то

Обратный образ представляет собой морфизм фильтрованных алгебр. Каждая гладкая собственная субмерсия определяет прямую карту к
Pushforward также совместим с фильтрацией: .Для общих гладких отображений можно определить откат и прямой ход для обобщенных оценок при некоторых ограничениях.

Приложения в интегральной геометрии

Позволять риманово многообразие и пусть - группа Ли изометрий действуя транзитивно на расслоении сфер . В этих предположениях пространство из -инвариантные гладкие нормирования на конечномерна; позволять быть основой. Позволять быть дифференцируемыми многогранниками в . Тогда интегралы вида выражаются как линейные комбинации с коэффициентами независим от и :

 

 

 

 

(2)

Формулы этого типа называются кинематические формулы. Их существование в этой общности доказал Фу.[10] Для трех односвязных форм реального пространства, то есть сферы, евклидова пространства и гиперболического пространства, они возвращаются к Blaschke, Сантало, Черн, и Федерер.

Явное описание кинематических формул обычно является сложной задачей. Фактически уже на этапе перехода от реальных пространственных форм к сложным возникают значительные трудности, которые только недавно были разрешены Бернигом, Фу и Соланесом.[12][13]Ключевой вывод, ответственный за этот прогресс, заключается в том, что кинематические формулы содержат ту же информацию, что и алгебра инвариантных оценок. . Для точного утверждения пусть

- кинематический оператор, т. е. отображение, определяемое кинематическими формулами (2). Позволять
обозначают двойственность Алескера-Пуанкаре, которая является линейным изоморфизмом. Наконец позвольте быть сопряженным к карте продукта
Основная теорема алгебраической интегральной геометрии, связывающая операции над оценками с интегральной геометрией, утверждает, что если двойственность Пуанкаре используется для идентификации с , тогда :

Fundamental theorem of algebraic integral geometry.svg.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ П. Макмаллен, Непрерывные трансляционно-инвариантные нормирования на пространстве выпуклых компактных множеств, Arch. Математика. (Базель) 34 (1980), нет. 4, 377-384
  2. ^ а б Х. Хадвигер, Vorlesungen über Inhalt, Oberfläche und Isoperimetrie, Springer-Verlag, Берлин-Геттинген-Гейдельберг, 1957 г.
  3. ^ а б Р. Шнайдер, Простые оценки на выпуклых телах, Математика 43 (1996), нет. 1, 32-39.
  4. ^ Д. А. Клайн, Краткое доказательство характеризационной теоремы Хадвигера// Математика, 42 (1995), вып. 2, 329-339.
  5. ^ а б С. Алескер, Введение в теорию оценок. Серия региональных конференций CBMS по математике, 126. Опубликовано для Совета конференций по математическим наукам, Вашингтон, округ Колумбия; Американского математического общества, Провиденс, Род-Айленд, 2018.
  6. ^ С. Алескер, Описание трансляционно-инвариантных нормирований на выпуклых множествах с решением гипотезы П. Макмаллена. Геом. Функц. Анальный. 11 (2001), нет. 2, 244–272.
  7. ^ С. Алескер, Преобразование типа Фурье о трансляционно-инвариантных нормированиях на выпуклых множествах. Israel J. Math. 181 (2011), 189–294
  8. ^ SS. Черн, Об интегральной кривизне в римановом многообразии.Анна. математики. (2) 46 (1945), 674–684.
  9. ^ Х. Вейль, Об объеме трубок. Амер. J. Math. 61 (1939), нет. 2, 461–472
  10. ^ а б Дж. Х. Г. Фу, Кинематические формулы в интегральной геометрии. Indiana Univ. Математика. Дж. 39 (1990), нет. 4, 1115-1154
  11. ^ Дж. Х. Г. Фу, Теория пересечений и произведение Алескера. Indiana Univ. Математика. Дж. 65 (2016), нет. 4, 1347–1371.
  12. ^ А. Берниг, Дж. Х. Г. Фу, Г. Соланес, Интегральная геометрия сложных пространственных форм. Геом. Функц. Анальный. 24 (2014), нет. 2, 403–492.
  13. ^ А. Берниг, Дж. Х. Г. Фу, Эрмитова интегральная геометрия. Анна. математики. (2) 173 (2011), нет. 2, 907–945.

Библиография

  • С. Алескер (2018). Введение в теорию оценок. Серия региональных конференций CBMS по математике, 126. Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд. ISBN  978-1-4704-4359-7.
  • С. Алескер; Дж. Х. Г. Фу (2014). Интегральная геометрия и оценки. Курсы повышения квалификации по математике. CRM Барселона. Birkhäuser / Springer, Базель. ISBN  978-1-4704-4359-7.
  • Д. А. Клайн; Г.-К. Рота (1997). Введение в геометрическую вероятность. Lezioni Lincee. [Лекции Линчеи]. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-59362-X.
  • Р. Шнайдер (2014). Выпуклые тела: теория Брунна-Минковского. Энциклопедия математики и ее приложений, 151. Cambridge University Press, Cambridge, RI. ISBN  978-1-107-60101-7.