Бета-прямоугольное распределение - Beta rectangular distribution

Бета прямоугольный

Функция плотности вероятности
Кумулятивная функция распределения
Параметры	${\displaystyle \alpha >0}$ форма (настоящий ) ${\displaystyle \beta >0}$ форма (настоящий ) ${\displaystyle 0<\theta <1}$ параметр смеси
Поддерживать	${\displaystyle x\in (a,b)\!}$
PDF	${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\theta \Gamma (\alpha +\beta )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}{\frac {(x-a)^{\alpha -1}(b-x)^{\beta -1}}{(b-a)^{\alpha +\beta +1}}}+{\frac {1-\theta }{b-a}}&{\text{for }}x\in [a,b]\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$
CDF	${\displaystyle {\begin{cases}0&{\text{for }}x\leq a\\\theta I_{z}(\alpha ,\beta )+{\frac {(1-\theta )(x-a)}{b-a}}&{\text{for }}x\in [a,b]\\1&{\text{for }}x\geq b\end{cases}}}$ куда ${\displaystyle z=(x-a)/(b-a)}$
Иметь в виду	${\displaystyle a+(b-a)\left({\frac {\theta \alpha }{\alpha +\beta }}+{\frac {1-\theta }{2}}\right)}$
Дисперсия	${\displaystyle (b-a)^{2}\left({\frac {\theta \,\alpha (\alpha +1)}{k(k+1)}}+{\frac {1-\theta }{3}}-{\frac {{\bigl (}k+\theta (\alpha -\beta ){\bigr )}^{2}}{4k^{2}}}\right)}$ куда ${\displaystyle k=\alpha +\beta }$

В теория вероятности и статистика, то бета-прямоугольное распределение это распределение вероятностей это конечный распределение смеси из бета-распространение и непрерывное равномерное распределение. Поддержка раздачи указывается параметрами а и б, которые являются минимальным и максимальным значениями соответственно. Распределение представляет собой альтернативу бета-распределению, позволяющую разместить большую плотность на крайних точках ограниченного интервала поддержки.^[1] Таким образом, это ограниченное распределение, которое позволяет выбросы иметь больше шансов на появление, чем бета-распределение.

Определение

Функция плотности вероятности

Если параметры бета-распределения равны α и β, а если параметр смеси равен θ, то бета-прямоугольное распределение имеет функция плотности вероятности^{[нужна цитата ]}

${\displaystyle p(x|\alpha ,\beta ,\theta )={\begin{cases}{\frac {\theta \Gamma (\alpha +\beta )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}{\frac {(x-a)^{\alpha -1}(b-x)^{\beta -1}}{(b-a)^{\alpha +\beta +1}}}+{\frac {1-\theta }{b-a}}&\mathrm {for} \ a\leq x\leq b,\\[8pt]0&\mathrm {for} \ x<a\ \mathrm {or} \ x>b\end{cases}}}$

куда ${\displaystyle \Gamma (\cdot )}$ это гамма-функция.

Кумулятивная функция распределения

В кумулятивная функция распределения является^{[нужна цитата ]}

${\displaystyle F(x|\alpha ,\beta ,\theta )=\theta I_{z}(\alpha ,\beta )+{\frac {(1-\theta )(x-a)}{b-a}}\quad \quad \mathrm {for} \ a\leq x\leq b,}$

куда ${\displaystyle z={\dfrac {x-a}{b-a}}}$ и ${\displaystyle I_{z}(\alpha ,\beta )}$ это регуляризованная неполная бета-функция.

Приложения

Управление проектом

В Распределение PERT вариация бета-распространение часто используется в ПЕРТ, метод критического пути (CPM) и другие управление проектом методологии для характеристики распределения времени до завершения деятельности.^[2]

В PERT ограничения на параметры распределения PERT приводят к сокращенным вычислениям среднего и стандартного отклонения бета-распределения:

${\displaystyle {\begin{aligned}E(x)&{}={\frac {a+4m+b}{6}}\\\operatorname {Var} (x)&{}={\frac {(b-a)^{2}}{36}}\end{aligned}}}$

куда а это минимум, б это максимум, а м это режим или наиболее вероятное значение. Однако считается, что дисперсия постоянно зависит от диапазона. В результате нет возможности выразить различные уровни неопределенности, которые может иметь руководитель проекта в отношении времени действия.

Выявление параметра достоверности бета-прямоугольника θ позволяет менеджеру проекта включить прямоугольное распределение и увеличить неопределенность, указав θ меньше 1. Приведенная выше формула ожидания становится

${\displaystyle E(x)={\frac {\theta (a+4m+b)+3(1-\theta )(a+b)}{6}}.}$

Если руководитель проекта предполагает, что бета-распределение симметрично при стандартных условиях PERT, тогда дисперсия равна

${\displaystyle \operatorname {Var} (x)={\frac {(b-a)^{2}(3-2\theta )}{36}},}$

в то время как для асимметричного случая это

${\displaystyle \operatorname {Var} (x)={\frac {(b-a)^{2}(3-2\theta ^{2})}{36}}.}$

Теперь, когда неопределенность больше, дисперсия может быть увеличена. Однако бета-распределение может по-прежнему применяться в зависимости от мнения менеджера проекта.

Бета-прямоугольное распределение сравнивалось с равномерно-двусторонним распределением мощности и равномерно-обобщенным бипараболическим распределением в контексте управления проектами. Бета-прямоугольник показал большую дисперсию и меньший эксцесс по сравнению.^[3]

Распределение доходов

Бета-прямоугольное распределение сравнивалось с повышенным двусторонним распределением мощности при подборе данных о доходах в США.^[4] Было обнаружено, что пятипараметрическое повышенное двустороннее распределение мощности лучше подходит для некоторых субпопуляций, в то время как трехпараметрическое бета-прямоугольное распределение лучше подходит для других субпопуляций.

Рекомендации

1. Хан, Э. Д. (2008). «Плотность смеси для времени работы по управлению проектом: надежный подход к PERT». Европейский журнал операционных исследований. Эльзевир. 188 (2): 450–459. Дои:10.1016 / j.ejor.2007.04.032.
2. Malcolm, D.G .; Roseboom, J. H .; Clark, C.E .; Фазар, В. (1959). «Применение методики для оценки программ исследований и разработок». Исследование операций. 7: 646–669. Дои:10.1287 / opre.7.5.646.
3. Лопес Мартин, М. М .; García García, C.B .; García Pérez, J .; Санчес Гранеро, М.А. (2012). «Альтернатива надежной оценке в управлении проектами». Европейский журнал операционных исследований. Эльзевир. в прессе. Дои:10.1016 / j.ejor.2012.01.058.
4. García, C.B .; García Pérez, J .; ван Дорп, Дж. Р. (2011). «Моделирование явлений неопределенности с тяжелым хвостом, перекоса и пика с ограниченной поддержкой». Статистические методы и приложения. Springer. 20 (4): 463–486. Дои:10.1007 / s10260-011-0173-0.