Нормально-обратное гауссово распределение - Normal-inverse Gaussian distribution

Нормально-обратный гауссовский (NIG)

Параметры	${displaystyle mu }$ место расположения (настоящий ) ${displaystyle alpha }$ тяжесть хвоста (реальная) ${displaystyle eta }$ параметр асимметрии (реальный) ${displaystyle delta }$ параметр масштаба (настоящий) ${displaystyle gamma ={sqrt {alpha ^{2}-eta ^{2}}}}$
Поддерживать	${displaystyle xin (-infty ;+infty )!}$
PDF	${displaystyle {frac {alpha delta K_{1}left(alpha {sqrt {delta ^{2}+(x-mu )^{2}}}ight)}{pi {sqrt {delta ^{2}+(x-mu )^{2}}}}};e^{delta gamma +eta (x-mu )}}$ ${displaystyle K_{j}}$ обозначает модифицированный Функция Бесселя третьего вида[1]
Иметь в виду	${displaystyle mu +delta eta /gamma }$
Дисперсия	${displaystyle delta alpha ^{2}/gamma ^{3}}$
Асимметрия	${displaystyle 3eta /(alpha {sqrt {delta gamma }})}$
Бывший. эксцесс	${displaystyle 3(1+4eta ^{2}/alpha ^{2})/(delta gamma )}$
MGF	${displaystyle e^{mu z+delta (gamma -{sqrt {alpha ^{2}-(eta +z)^{2}}})}}$
CF	${displaystyle e^{imu z+delta (gamma -{sqrt {alpha ^{2}-(eta +iz)^{2}}})}}$

В нормально-обратное гауссово распределение (NIG) это непрерывное распределение вероятностей что определяется как нормальная смесь средних дисперсий где плотность смешения - это обратное гауссово распределение. Распределение NIG было отмечено Blaesild в 1977 году как подкласс обобщенное гиперболическое распределение обнаружен Оле Барндорф-Нильсен.^[2] В следующем году Барндорф-Нильсен опубликовал NIG в другой газете.^[3] Он был введен в математические финансы литература в 1997 году.^[4]

Параметры нормально-обратного гауссова распределения часто используются для построения графика тяжести и асимметрии, называемого NIG-треугольником.^[5]

Характеристики

Моменты

Тот факт, что существует простое выражение для функции, производящей момент, означает, что доступны простые выражения для всех моментов.^[6][7]

Линейное преобразование

Этот класс закрыт аффинные преобразования, поскольку это частный случай Обобщенное гиперболическое распределение, обладающий таким же свойством. Если

${displaystyle xsim {mathcal {NIG}}(alpha ,eta ,delta ,mu ){ ext{ and }}y=ax+b,}$

тогда^[8]

${displaystyle ysim {mathcal {NIG}}{igl (}{frac {alpha }{left|aight|}},{frac {eta }{a}},left|aight|delta ,amu +b{igr )}.}$

Суммирование

Этот класс бесконечно делимый, поскольку это частный случай Обобщенное гиперболическое распределение, обладающий таким же свойством.

Свертка

Класс нормально-обратных гауссовских распределений замкнут относительно свертка в следующем смысле:^[9] если ${displaystyle X_{1}}$ и ${displaystyle X_{2}}$ находятся независимый случайные переменные которые распределены NIG с одинаковыми значениями параметров ${displaystyle alpha }$ и ${displaystyle eta }$, но возможны разные значения параметров местоположения и масштаба, ${displaystyle mu _{1}}$, ${displaystyle delta _{1}}$ и ${displaystyle mu _{2},}$ ${displaystyle delta _{2}}$соответственно, то ${displaystyle X_{1}+X_{2}}$ NIG-распределен с параметрами ${displaystyle alpha ,}$ ${displaystyle eta ,}$${displaystyle mu _{1}+mu _{2}}$ и ${displaystyle delta _{1}+delta _{2}.}$

Связанные дистрибутивы

Класс распределений NIG - это гибкая система распределений, которая включает в себя дистрибутивы с толстым хвостом и асимметричные распределения, а также нормальное распределение, ${displaystyle N(mu ,sigma ^{2}),}$ возникает как частный случай, если установить ${displaystyle eta =0,delta =sigma ^{2}alpha ,}$ и позволяя ${displaystyle alpha ightarrow infty }$.

Стохастический процесс

Нормально-обратное гауссовское распределение также можно рассматривать как маргинальное распределение нормально-обратного гауссовского процесса, которое обеспечивает альтернативный способ его явного построения. Начиная с дрейфующего броуновского движения (Винеровский процесс ), ${displaystyle W^{(gamma )}(t)=W(t)+gamma t}$, мы можем определить обратный гауссовский процесс ${displaystyle A_{t}=inf{s>0:W^{(gamma )}(s)=delta t}.}$ Затем, учитывая второе независимое дрейфующее броуновское движение, ${displaystyle W^{(eta )}(t)={ ilde {W}}(t)+eta t}$, нормально-обратный гауссовский процесс - это измененный во времени процесс ${displaystyle X_{t}=W^{(eta )}(A_{t})}$. Процесс ${displaystyle X(t)}$ вовремя ${displaystyle t=1}$ имеет нормально-обратное гауссово распределение, описанное выше. Процесс NIG является частным случаем более общего класса Леви процессы.

Как смесь средних значений дисперсии

Позволять ${displaystyle {mathcal {IG}}}$ обозначить обратное гауссово распределение и ${displaystyle {mathcal {N}}}$ обозначить нормальное распределение. Позволять ${displaystyle zsim {mathcal {IG}}(delta ,gamma )}$, куда ${displaystyle gamma ={sqrt {alpha ^{2}-eta ^{2}}}}$; и разреши ${displaystyle xsim {mathcal {N}}(mu +eta z,z)}$, тогда ${displaystyle x}$ следует распределению NIG с параметрами, ${displaystyle alpha ,eta ,delta ,mu }$. Это можно использовать для генерации переменных NIG с помощью наследственный отбор. Его также можно использовать для получения EM алгоритм за максимальная вероятность оценка параметров NIG.^[10]

Рекомендации

1. Оле Э. Барндорф-Нильсен, Томас Микош и Сидней И. Резник, Процессы Леви: теория и приложения, Birkhäuser 2013 Примечание: в литературе эта функция также называется Модифицированной функцией Бесселя третьего рода.
2. Барндорф-Нильсен, Оле (1977). «Экспоненциально убывающие распределения для логарифма размера частиц». Труды Лондонского королевского общества. Серия A, Математические и физические науки. Королевское общество. 353 (1674): 401–409. Дои:10.1098 / rspa.1977.0041. JSTOR  79167.
3. О. Барндорф-Нильсен, Гиперболические распределения и распределения на гиперболах, Скандинавский статистический журнал 1978 г.
4. О. Барндорф-Нильсен, Нормальные обратные гауссовские распределения и моделирование стохастической волатильности, Scandinavian Journal of Statistics 1997
5. С. Т. Рачев, Справочник по распределениям с тяжелыми хвостами в финансах, Том 1: Справочники по финансам, Книга 1, Северная Голландия, 2003 г.
6. Эрик Болвикен, Фред Эспен Бет, Количественная оценка риска в норвежских акциях с помощью нормального обратного гауссовского распределения, Труды коллоквиума AFIR 2000
7. Анна Калеманова, Бернд Шмид, Ральф Вернер, Нормальное обратное гауссовское распределение для ценообразования синтетических CDO, Journal of Derivatives 2007
8. Паолелла, Марк S (2007). Промежуточная вероятность: вычислительный подход. Джон Вили и сыновья.
9. Оле Э. Барндорф-Нильсен, Томас Микош и Сидней И. Резник, Процессы Леви: теория и приложения, Birkhäuser 2013
10. Карлис, Димитрис (2002). "Алгоритм типа EM для оценки ML для нормального-обратного гауссовского распределения". Статистика и вероятностные письма. 57: 43–52.