Распространение в оболочке - Wrapped distribution

В теория вероятности и направленная статистика, а упакованное распределение вероятностей является непрерывным распределение вероятностей который описывает точки данных, которые лежат на блоке п-сфера. В одном измерении обернутое распределение будет состоять из точек на единичный круг. Если φ - случайная величина в интервале (-∞, ∞) с функцией плотности вероятности р (ф), тогда г = е ^{я φ} будет циклической переменной, распределенной согласно обернутому распределению п_zw(z) и θ =аргумент(z) будет угловой переменной в интервале (-π, π], распределенной согласно обернутому распределению п_ш(θ).

Любой функция плотности вероятности (pdf) ${\displaystyle p(\phi )}$ на линии можно «обернуть» окружность окружности единичного радиуса.^[1] То есть pdf завернутой переменной

${\displaystyle \theta =\phi \mod 2\pi }$ в некотором интервале длины ${\displaystyle 2\pi }$

является

${\displaystyle p_{w}(\theta )=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{p(\theta +2\pi k)}.}$

который является периодическая сумма периода ${\displaystyle 2\pi }$. Предпочтительный интервал обычно составляет ${\displaystyle (-\pi <\theta \leq \pi )}$ для которого ${\displaystyle \ln(e^{i\theta })=\arg(e^{i\theta })=\theta }$

Теория

В большинстве ситуаций процесс, включающий круговая статистика производит углы (${\displaystyle \phi }$), которые лежат в интервале от отрицательной бесконечности до положительной бесконечности и описываются "развернутой" функцией плотности вероятности ${\displaystyle p(\phi )}$. Однако измерение даст "измеренный" угол. ${\displaystyle \theta }$ который лежит в некотором интервале длины ${\displaystyle 2\pi }$ (Например ${\displaystyle [0,2\pi )}$). Другими словами, измерение не может определить, соответствует ли «истинный» угол ${\displaystyle \phi }$ измерен ли угол наклона ${\displaystyle \phi +2\pi a}$ был измерен где а какое-то неизвестное целое число. То есть:

${\displaystyle \theta =\phi +2\pi a.}$

Если мы хотим вычислить ожидаемое значение некоторой функции измеренного угла, оно будет:

${\displaystyle \langle f(\theta )\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }p(\phi )f(\phi +2\pi a)d\phi .}$

Мы можем выразить интеграл как сумму интегралов по периодам ${\displaystyle 2\pi }$ (например, от 0 до ${\displaystyle 2\pi }$):

${\displaystyle \langle f(\theta )\rangle =\sum _{k=-\infty }^{\infty }\int _{2\pi k}^{2\pi (k+1)}p(\phi )f(\phi +2\pi a)d\phi .}$

Изменение переменной интегрирования на ${\displaystyle \theta '=\phi -2\pi k}$ и меняя порядок интегрирования и суммирования, имеем

${\displaystyle \langle f(\theta )\rangle =\int _{0}^{2\pi }p_{w}(\theta ')f(\theta '+2\pi a')d\theta '}$

куда ${\displaystyle p_{w}(\theta ')}$ это pdf-файл "завернутого" распределения и а ' - другое неизвестное целое число (a '= a + k). Видно, что неизвестное целое число а ' вносит двусмысленность в математическое ожидание ${\displaystyle f(\theta )}$. Конкретный пример этой проблемы встречается при попытке взять среднее значение набора измеренных углов. Если вместо измеренных углов ввести параметр ${\displaystyle z=e^{i\theta }}$ видно, что z имеет однозначное отношение к "истинному" углу ${\displaystyle \phi }$ поскольку:

${\displaystyle z=e^{i\theta }=e^{i\phi }.}$

Расчет математического ожидания функции z даст однозначный ответ:

${\displaystyle \langle f(z)\rangle =\int _{0}^{2\pi }p_{w}(\theta ')f(e^{i\theta '})d\theta '}$

и именно по этой причине z Параметр является предпочтительной статистической переменной для использования в круговом статистическом анализе, а не измеренных углов ${\displaystyle \theta }$. Это предполагает, и это показано ниже, что обернутая функция распределения может быть выражена как функция от z так что:

${\displaystyle \langle f(z)\rangle =\oint p_{wz}(z)f(z)\,dz}$

куда ${\displaystyle p_{w}(z)}$ является определенный такой, что ${\displaystyle p_{w}(\theta )\,|d\theta |=p_{wz}(z)\,|dz|}$. Эту концепцию можно расширить до многомерного контекста путем расширения простой суммы до ряда ${\displaystyle F}$ суммы, охватывающие все измерения в пространстве функций:

${\displaystyle p_{w}({\vec {\theta }})=\sum _{k_{1},...,k_{F}=-\infty }^{\infty }{p({\vec {\theta }}+2\pi k_{1}\mathbf {e} _{1}+\dots +2\pi k_{F}\mathbf {e} _{F})}}$

куда ${\displaystyle \mathbf {e} _{k}=(0,\dots ,0,1,0,\dots ,0)^{\mathsf {T}}}$ это ${\displaystyle k}$th евклидов базисный вектор.

Выражение через характеристические функции

Основной упакованный дистрибутив - это Гребень Дирака который завернутый Дельта-функция Дирака:

${\displaystyle \Delta _{2\pi }(\theta )=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\delta (\theta +2\pi k)}.}$

Используя дельта-функцию, можно записать общее упакованное распределение

${\displaystyle p_{w}(\theta )=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }p(\theta ')\delta (\theta -\theta '+2\pi k)\,d\theta '.}$

Меняя порядок суммирования и интегрирования, любое упакованное распределение можно записать как свертку "развернутого" распределения и гребенки Дирака:

${\displaystyle p_{w}(\theta )=\int _{-\infty }^{\infty }p(\theta ')\Delta _{2\pi }(\theta -\theta ')\,d\theta '.}$

Гребень Дирака также может быть выражен как сумма экспонент, поэтому мы можем написать:

${\displaystyle p_{w}(\theta )={\frac {1}{2\pi }}\,\int _{-\infty }^{\infty }p(\theta ')\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{in(\theta -\theta ')}\,d\theta '}$

снова поменяв порядок суммирования и интегрирования,

${\displaystyle p_{w}(\theta )={\frac {1}{2\pi }}\,\sum _{n=-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }p(\theta ')e^{in(\theta -\theta ')}\,d\theta '}$

используя определение ${\displaystyle \phi (s)}$, то характеристическая функция из ${\displaystyle p(\theta )}$, дает Серия Laurent около нуля для развернутого распределения с точки зрения характеристической функции развернутого распределения:^[2]

${\displaystyle p_{w}(\theta )={\frac {1}{2\pi }}\,\sum _{n=-\infty }^{\infty }\phi (n)\,e^{-in\theta }}$

или же

${\displaystyle p_{wz}(z)={\frac {1}{2\pi }}\,\sum _{n=-\infty }^{\infty }\phi (n)\,z^{-n}.}$

По аналогии с линейными распределениями ${\displaystyle \phi (m)}$ называются характеристической функцией обернутого распределения^[2] (а точнее, характеристика последовательность ). Это пример Формула суммирования Пуассона и можно видеть, что коэффициенты Фурье ряда Фурье для свернутого распределения являются просто коэффициентами Фурье преобразования Фурье развернутого распределения при целочисленных значениях.

Моменты

Моменты завёрнутой раздачи ${\displaystyle p_{w}(z)}$ определяются как:

${\displaystyle \langle z^{m}\rangle =\oint p_{wz}(z)z^{m}\,dz.}$

Выражая ${\displaystyle p_{w}(z)}$ в терминах характеристической функции и меняя порядок интегрирования и суммирования, получаем:

${\displaystyle \langle z^{m}\rangle ={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\phi (n)\oint z^{m-n}\,dz.}$

От теория остатков у нас есть

${\displaystyle \oint z^{m-n}\,dz=2\pi \delta _{m-n}}$

куда ${\displaystyle \delta _{k}}$ это Дельта Кронекера функция. Отсюда следует, что моменты просто равны характеристической функции развернутого распределения для целочисленных аргументов:

${\displaystyle \langle z^{m}\rangle =\phi (m).}$

Генерация случайных величин

Если Икс случайная величина, полученная из линейного распределения вероятностей п, тогда ${\displaystyle Z=e^{iX}}$ будет круглой вариацией, распределенной в соответствии с упакованными п распространение и ${\displaystyle \theta =\arg(Z)}$ будет угловая вариация, распределенная согласно обернутому п распространение, с ${\displaystyle -\pi <\theta \leq \pi }$.

Энтропия

В информационная энтропия кругового распределения с плотностью вероятности ${\displaystyle p_{w}(\theta )}$ определяется как:^[1]

${\displaystyle H=-\int _{\Gamma }p_{w}(\theta )\,\ln(p_{w}(\theta ))\,d\theta }$

куда ${\displaystyle \Gamma }$ любой интервал длины ${\displaystyle 2\pi }$. Если и плотность вероятности, и ее логарифм могут быть выражены как Ряд Фурье (или вообще любой интегральное преобразование на круге), то свойство ортогональности может использоваться для получения последовательного представления энтропии, которое может быть уменьшено до закрытая форма.

Моменты раздачи ${\displaystyle \phi (n)}$ - коэффициенты Фурье для разложения плотности вероятности в ряд Фурье:

${\displaystyle p_{w}(\theta )={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\phi _{n}e^{-in\theta }}$

Если логарифм плотности вероятности также можно выразить в виде ряда Фурье:

${\displaystyle \ln(p_{w}(\theta ))=\sum _{m=-\infty }^{\infty }c_{m}e^{im\theta }}$

куда

${\displaystyle c_{m}={\frac {1}{2\pi }}\int _{\Gamma }\ln(p_{w}(\theta ))e^{-im\theta }\,d\theta }$

Затем, поменяв порядок интегрирования и суммирования, энтропия может быть записана как:

${\displaystyle H=-{\frac {1}{2\pi }}\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{m}\phi _{n}\int _{\Gamma }e^{i(m-n)\theta }\,d\theta }$

Используя ортогональность базиса Фурье, интеграл можно свести к:

${\displaystyle H=-\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}\phi _{n}}$

Для частного случая, когда плотность вероятности симметрична относительно среднего, ${\displaystyle c_{-m}=c_{m}}$ а логарифм можно записать:

${\displaystyle \ln(p_{w}(\theta ))=c_{0}+2\sum _{m=1}^{\infty }c_{m}\cos(m\theta )}$

и

${\displaystyle c_{m}={\frac {1}{2\pi }}\int _{\Gamma }\ln(p_{w}(\theta ))\cos(m\theta )\,d\theta }$

и, поскольку нормализация требует, чтобы ${\displaystyle \phi _{0}=1}$, энтропия может быть записана:

${\displaystyle H=-c_{0}-2\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}\phi _{n}}$

Смотрите также

• Обернутое нормальное распределение
• Обернутое распределение Коши
• Обернутое экспоненциальное распределение

Рекомендации

1. Мардиа, Кантилал; Джапп, Питер Э. (1999). Направленная статистика. Вайли. ISBN  978-0-471-95333-3. Получено 19 июля 2011.
2. Мардиа, К. (1972). Статистика направленных данных. Нью-Йорк: Академическая пресса.

• Боррадейл, Грэм (2003). Статистика данных наук о Земле. Springer. ISBN  978-3-540-43603-4.
• Фишер, Н. И. (1996). Статистический анализ циркулярных данных. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-56890-6.

внешняя ссылка

• Математика и статистика круговых значений в C ++ 11, Инфраструктура C ++ 11 для круговых значений (углов, времени суток и т. Д.), Математики и статистики.