Составное распределение Пуассона - Compound Poisson distribution

В теория вероятности, а составное распределение Пуассона это распределение вероятностей суммы ряда независимые одинаково распределенные случайные величины, где количество добавляемых членов само по себе Распределенный по Пуассону Переменная. В простейших случаях результатом может быть либо непрерывный или дискретное распределение.

Определение

Предположим, что

${\displaystyle N\sim \operatorname {Poisson} (\lambda ),}$

т.е. N это случайная переменная чье распределение является распределение Пуассона с ожидаемое значение λ, и что

${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\dots }$

являются одинаково распределенными случайными величинами, которые взаимно независимы, а также не зависят от N. Тогда вероятностное распределение суммы ${\displaystyle N}$ i.i.d. случайные переменные

${\displaystyle Y=\sum _{n=1}^{N}X_{n}}$

является составным распределением Пуассона.

В случае N = 0, то это сумма 0 членов, поэтому значение Y равно 0. Следовательно, условное распределение Y при условии N = 0 - вырожденное распределение.

Составное распределение Пуассона получается путем маргинализации совместного распределения (Y,N) над N, и это совместное распределение можно получить, комбинируя условное распределение Y | N с маргинальным распределением N.

Характеристики

В ожидаемое значение и отклонение составного распределения может быть получен простым способом из закон полного ожидания и закон полной дисперсии. Таким образом

${\displaystyle \operatorname {E} (Y)=\operatorname {E} \left[\operatorname {E} (Y\mid N)\right]=\operatorname {E} \left[N\operatorname {E} (X)\right]=\operatorname {E} (N)\operatorname {E} (X),}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (Y)&=\operatorname {E} \left[\operatorname {Var} (Y\mid N)\right]+\operatorname {Var} \left[\operatorname {E} (Y\mid N)\right]=\operatorname {E} \left[N\operatorname {Var} (X)\right]+\operatorname {Var} \left[N\operatorname {E} (X)\right],\\[6pt]&=\operatorname {E} (N)\operatorname {Var} (X)+\left(\operatorname {E} (X)\right)^{2}\operatorname {Var} (N).\end{aligned}}}$

Тогда, поскольку E (N) = Вар (N) если N является пуассоновским, эти формулы сводятся к

${\displaystyle \operatorname {E} (Y)=\operatorname {E} (N)\operatorname {E} (X),}$

${\displaystyle \operatorname {Var} (Y)=\operatorname {E} (N)(\operatorname {Var} (X)+{\operatorname {E} (X)}^{2})=2\operatorname {E} (N){\operatorname {E} (X^{2})}.}$

Распределение вероятностей Y можно определить в терминах характеристические функции:

${\displaystyle \varphi _{Y}(t)=\operatorname {E} (e^{itY})=\operatorname {E} _{N}(\left(\operatorname {E} (e^{itX}))^{N}\right)=\operatorname {E} ((\varphi _{X}(t))^{N}),\,}$

и, следовательно, используя функция, генерирующая вероятность распределения Пуассона имеем

${\displaystyle \varphi _{Y}(t)={\textrm {e}}^{\lambda (\varphi _{X}(t)-1)}.\,}$

Альтернативный подход - через кумулянтные производящие функции:

${\displaystyle K_{Y}(t)=\ln \operatorname {E} [e^{tY}]=\ln \operatorname {E} [\operatorname {E} [e^{tY}\mid N]]=\ln \operatorname {E} [e^{NK_{X}(t)}]=K_{N}(K_{X}(t)).\,}$

Через закон общей совокупности можно показать, что если среднее значение распределения Пуассона λ = 1, кумулянты из Y такие же, как моменты из Икс₁.^{[нужна цитата ]}

Можно показать, что каждый бесконечно делимый распределение вероятностей является пределом составных распределений Пуассона.^[1] А составные распределения Пуассона есть бесконечно делимый по определению.

Дискретное составное распределение Пуассона

Когда ${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\dots }$ неотрицательные целочисленные i.i.d случайные величины с ${\displaystyle P(X_{1}=k)=\alpha _{k},\ (k=1,2,\ldots )}$, то это составное распределение Пуассона называется дискретное составное распределение Пуассона^[2][3][4] (или распределение Пуассона-заикания^[5]). Мы говорим, что дискретная случайная величина ${\displaystyle Y}$ удовлетворение функция, производящая вероятность характеристика

${\displaystyle P_{Y}(z)=\sum \limits _{i=0}^{\infty }P(Y=i)z^{i}=\exp \left(\sum \limits _{k=1}^{\infty }\alpha _{k}\lambda (z^{k}-1)\right),\quad (|z|\leq 1)}$

имеет дискретное составное распределение Пуассона (DCP) с параметрами ${\displaystyle (\alpha _{1}\lambda ,\alpha _{2}\lambda ,\ldots )\in \mathbb {R} ^{\infty }\left(\sum _{i=1}^{\infty }\alpha _{i}=1,\alpha _{i}\geq 0,\lambda >0\right)}$, который обозначается

${\displaystyle X\sim {\text{DCP}}(\lambda {\alpha _{1}},\lambda {\alpha _{r}},\ldots )}$

Более того, если ${\displaystyle X\sim {\operatorname {DCP} }(\lambda {\alpha _{1}},\ldots ,\lambda {\alpha _{r}})}$, мы говорим ${\displaystyle X}$ имеет дискретное составное пуассоновское распределение порядка ${\displaystyle r}$ . Когда ${\displaystyle r=1,2}$, DCP становится распределение Пуассона и Распределение Эрмита, соответственно. Когда ${\displaystyle r=3,4}$, DCP становится тройным распределением заикания-Пуассона и четырехкратным распределением Пуассона заикания соответственно.^[6] Другие особые случаи включают: сдвиггеометрическое распределение, отрицательное биномиальное распределение, Геометрическое распределение Пуассона, Распределение Неймана типа A, распределение Луриа – Дельбрюка в Эксперимент Лурии-Дельбрюка. Более подробный случай DCP см. В обзоре.^[7] и ссылки в нем.

Характеристика составного распределения Пуассона Феллером утверждает, что неотрицательная целочисленная с.в. ${\displaystyle X}$ является бесконечно делимый тогда и только тогда, когда его распределение является дискретным составным распределением Пуассона.^[8] Можно показать, что отрицательное биномиальное распределение дискретно бесконечно делимый, т.е. если Икс имеет отрицательное биномиальное распределение, то для любого положительного целого числа п, существуют дискретные i.i.d. случайные переменные Икс₁, ..., Икс_п сумма которого имеет то же распределение, что и Икс имеет. Смена геометрическое распределение является дискретным сложным распределением Пуассона, поскольку это тривиальный случай отрицательное биномиальное распределение.

Это распределение может моделировать поступление партии (например, в массовая очередь^[5][9]). Дискретное составное распределение Пуассона также широко используется в актуарная наука для моделирования распределения общей суммы претензии.^[3]

Когда некоторые ${\displaystyle \alpha _{k}}$ неотрицательны, это дискретное псевдосложное распределение Пуассона.^[3] Определим, что любая дискретная случайная величина ${\displaystyle Y}$ удовлетворение функция, производящая вероятность характеристика

${\displaystyle G_{Y}(z)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }P(Y=n)z^{n}=\exp \left(\sum \limits _{k=1}^{\infty }\alpha _{k}\lambda (z^{k}-1)\right),\quad (|z|\leq 1)}$

имеет дискретное псевдосложное распределение Пуассона с параметрами ${\displaystyle (\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots )=:(\alpha _{1}\lambda ,\alpha _{2}\lambda ,\ldots )\in \mathbb {R} ^{\infty }\left({\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\alpha _{k}}=1,\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\left|{\alpha _{k}}\right|}<\infty ,{\alpha _{k}}\in {\mathbb {R} },\lambda >0}\right)}$.

Составное гамма-распределение Пуассона

Если Икс имеет гамма-распределение, из которых экспоненциальное распределение является частным случаем, то условное распределение Y | N это снова гамма-распределение. Маргинальное распределение Y можно показать как Распределение твиди^[10] с дисперсией 1

(доказательство путем сравнения характеристическая функция (теория вероятностей) ). Чтобы быть более точным, если

${\displaystyle N\sim \operatorname {Poisson} (\lambda ),}$

и

${\displaystyle X_{i}\sim \operatorname {\Gamma } (\alpha ,\beta )}$

i.i.d., то распределение

${\displaystyle Y=\sum _{i=1}^{N}X_{i}}$

репродуктивный модель экспоненциальной дисперсии ${\displaystyle ED(\mu ,\sigma ^{2})}$ с

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [Y]&=\lambda {\frac {\alpha }{\beta }}=:\mu ,\\\operatorname {Var} [Y]&=\lambda {\frac {\alpha (1+\alpha )}{\beta ^{2}}}=:\sigma ^{2}\mu ^{p}.\end{aligned}}}$

Отображение параметров Tweedie parameter ${\displaystyle \mu ,\sigma ^{2},p}$ параметрам Пуассона и Гамма ${\displaystyle \lambda ,\alpha ,\beta }$ следующее:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda &={\frac {\mu ^{2-p}}{(2-p)\sigma ^{2}}},\\\alpha &={\frac {2-p}{p-1}},\\\beta &={\frac {\mu ^{1-p}}{(p-1)\sigma ^{2}}}.\end{aligned}}}$

Составные процессы Пуассона

А составной процесс Пуассона со скоростью ${\displaystyle \lambda >0}$ и распределение размера прыжка грамм это непрерывное время случайный процесс ${\displaystyle \{\,Y(t):t\geq 0\,\}}$ данный

${\displaystyle Y(t)=\sum _{i=1}^{N(t)}D_{i},}$

где сумма по соглашению равна нулю, пока N(т) = 0. Здесь, ${\displaystyle \{\,N(t):t\geq 0\,\}}$ это Пуассоновский процесс со скоростью ${\displaystyle \lambda }$, и ${\displaystyle \{\,D_{i}:i\geq 1\,\}}$ являются независимыми и одинаково распределенными случайными величинами с функцией распределения грамм, которые также не зависят от ${\displaystyle \{\,N(t):t\geq 0\,\}.\,}$^[11]

Для дискретной версии составного процесса Пуассона его можно использовать в анализ выживаемости для хрупких моделей.^[12]

Приложения

Составное распределение Пуассона, в котором слагаемые имеют экспоненциальное распределение, был использован Revfeim для моделирования распределения общего количества осадков за день, где каждый день содержит распределенное по Пуассону количество событий, каждое из которых обеспечивает количество осадков, имеющее экспоненциальное распределение.^[13] Томпсон применил ту же модель к ежемесячному общему количеству осадков.^[14]

Были заявки на страховые выплаты^[15][16] и рентгеновская компьютерная томография.^[17][18][19]

Смотрите также

• Составной процесс Пуассона
• Распределение Эрмита
• Отрицательное биномиальное распределение
• Геометрическое распределение
• Геометрическое распределение Пуассона
• Гамма-распределение
• распределение Пуассона
• Модель без наддува

Рекомендации

1. Лукач, Э. (1970). Характерные функции. Лондон: Гриффин.
2. Джонсон, Н.Л., Кемп, А.В., и Коц, С. (2005) Одномерные дискретные распределения, 3-е издание, Wiley, ISBN  978-0-471-27246-5.
3. Хуэйминь, Чжан; Юньсяо Лю; Бо Ли (2014). «Заметки о дискретной составной модели Пуассона с приложениями к теории риска». Страхование: математика и экономика. 59: 325–336. Дои:10.1016 / j.insmatheco.2014.09.012.
4. Хуэйминь, Чжан; Бо Ли (2016). "Характеристики дискретных составных распределений Пуассона". Коммуникации в статистике - теория и методы. 45 (22): 6789–6802. Дои:10.1080/03610926.2014.901375. S2CID  125475756.
5. Кемп, К. Д. (1967). ""Заикание - «Распределения» Пуассона. Журнал статистических и социальных расследований Ирландии. 21 (5): 151–157. HDL:2262/6987.
6. Патель, Ю. К. (1976). Оценка параметров тройного и четверного распределений заикания-Пуассона. Технометрика, 18 (1), 67-73.
7. Виммер, Г., Альтманн, Г. (1996). Множественное распределение Пуассона, его характеристики и разнообразие форм. Биометрический журнал, 38 (8), 995-1011.
8. Феллер, В. (1968). Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Vol. Я (3-е изд.). Нью-Йорк: Вили.
9. Адельсон, Р. М. (1966). «Составные распределения Пуассона». Журнал Общества оперативных исследований. 17 (1): 73–75. Дои:10.1057 / jors.1966.8.
10. Йоргенсен, Бент (1997). Теория дисперсионных моделей. Чепмен и Холл. ISBN  978-0412997112.
11. С. М. Росс (2007). Введение в вероятностные модели (девятое изд.). Бостон: Academic Press. ISBN  978-0-12-598062-3.
12. Загар.; Озель, Г. (2013). «Функции выживания для моделей хрупкости на основе дискретного составного процесса Пуассона». Журнал статистических вычислений и моделирования. 83 (11): 2105–2116. Дои:10.1080/00949655.2012.679943. S2CID  119851120.
13. Ревфейм, К. Дж. А. (1984). «Первоначальная модель взаимосвязи между выпадением осадков и ежедневными осадками». Журнал гидрологии. 75 (1–4): 357–364. Bibcode:1984JHyd ... 75..357R. Дои:10.1016/0022-1694(84)90059-3.
14. Томпсон, С. С. (1984). «Анализ однородности ряда осадков: применение реалистичной модели осадков». J. Климатология. 4 (6): 609–619. Bibcode:1984IJCli ... 4..609T. Дои:10.1002 / joc.3370040605.
15. Йоргенсен, Бент; Паес де Соуза, Марта К. (январь 1994 г.). «Подгонка составной модели Пуассона Твиди к данным о страховых выплатах». Скандинавский актуарный журнал. 1994 (1): 69–93. Дои:10.1080/03461238.1994.10413930.
16. Смит, Гордон К .; Йоргенсен, Бент (29 августа 2014 г.). «Подгонка составной модели Пуассона Твиди к данным о страховых претензиях: моделирование дисперсии». Бюллетень АСТИН. 32 (1): 143–157. Дои:10.2143 / AST.32.1.1020.
17. Уайтинг, Брюс Р. (3 мая 2002 г.). «Статистика сигналов в рентгеновской компьютерной томографии». Медицинская визуализация 2002: физика медицинской визуализации. Международное общество оптики и фотоники. 4682: 53–60. Bibcode:2002SPIE.4682 ... 53 Вт. Дои:10.1117/12.465601. S2CID  116487704.
18. Elbakri, Idris A .; Фесслер, Джеффри А. (16 мая 2003 г.). Сонька, Милан; Фитцпатрик, Дж. Майкл (ред.). «Эффективное и точное правдоподобие для итеративной реконструкции изображения в рентгеновской компьютерной томографии». Медицинская визуализация 2003: обработка изображений. ШПИОН. 5032: 1839–1850. Bibcode:2003SPIE.5032.1839E. Дои:10.1117/12.480302. S2CID  12215253.
19. Whiting, Bruce R .; Масумзаде, Париназ; Earl, Orville A .; О'Салливан, Джозеф А .; Снайдер, Дональд Л .; Уильямсон, Джеффри Ф. (24 августа 2006 г.). «Свойства предварительно обработанных данных синограмм в рентгеновской компьютерной томографии». Медицинская физика. 33 (9): 3290–3303. Bibcode:2006 МедФ..33.3290Вт. Дои:10.1118/1.2230762. PMID  17022224.