Обобщенное гиперболическое распределение - Generalised hyperbolic distribution

Обобщенный гиперболический

Параметры	${\displaystyle \lambda }$ (настоящий) ${\displaystyle \alpha }$ (настоящий) ${\displaystyle \beta }$ параметр асимметрии (реальный) ${\displaystyle \delta }$ параметр масштаба (настоящий) ${\displaystyle \mu }$ место расположения (настоящий ) ${\displaystyle \gamma ={\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}}$
Поддерживать	${\displaystyle x\in (-\infty ;+\infty )\!}$
PDF	${\displaystyle {\frac {(\gamma /\delta )^{\lambda }}{{\sqrt {2\pi }}K_{\lambda }(\delta \gamma )}}\;e^{\beta (x-\mu )}\!}$ ${\displaystyle \times {\frac {K_{\lambda -1/2}\left(\alpha {\sqrt {\delta ^{2}+(x-\mu )^{2}}}\right)}{\left({\sqrt {\delta ^{2}+(x-\mu )^{2}}}/\alpha \right)^{1/2-\lambda }}}\!}$
Иметь в виду	${\displaystyle \mu +{\frac {\delta \beta K_{\lambda +1}(\delta \gamma )}{\gamma K_{\lambda }(\delta \gamma )}}}$
Дисперсия	${\displaystyle {\frac {\delta K_{\lambda +1}(\delta \gamma )}{\gamma K_{\lambda }(\delta \gamma )}}+{\frac {\beta ^{2}\delta ^{2}}{\gamma ^{2}}}\left({\frac {K_{\lambda +2}(\delta \gamma )}{K_{\lambda }(\delta \gamma )}}-{\frac {K_{\lambda +1}^{2}(\delta \gamma )}{K_{\lambda }^{2}(\delta \gamma )}}\right)}$
MGF	${\displaystyle {\frac {e^{\mu z}\gamma ^{\lambda }}{({\sqrt {\alpha ^{2}-(\beta +z)^{2}}})^{\lambda }}}{\frac {K_{\lambda }(\delta {\sqrt {\alpha ^{2}-(\beta +z)^{2}}})}{K_{\lambda }(\delta \gamma )}}}$

В обобщенное гиперболическое распределение (GH) это непрерывное распределение вероятностей определяется как нормальная смесь средних дисперсий где распределение смешения - это обобщенное обратное гауссово распределение (GIG). Его функция плотности вероятности (см. рамку) дано в терминах модифицированная функция Бесселя второго рода, обозначаемый ${\displaystyle K_{\lambda }}$.^[1] Он был представлен Оле Барндорф-Нильсен, изучавшие его в контексте физики переносимый ветром песок.^[2]

Характеристики

Линейное преобразование

Этот класс закрыт аффинные преобразования.^[1]

Суммирование

Барндорф-Нильсен и Халгрин доказали, что распределение GIG бесконечно делимый и поскольку распределение GH может быть получено как нормальная смесь средних значений дисперсии, где распределение смешивания является обобщенное обратное гауссово распределение, Барндорф-Нильсен и Халгрин показали, что распределение GH также бесконечно делимо.^[3]

Не может быть закрыто сверткой

Важным моментом о безгранично делимых распределениях является их связь с Леви процессы, т.е. в любой момент времени процесс Леви является бесконечно делимым распределенным. Многие семейства хорошо известных безгранично делимых распределений являются так называемыми сверточно-замкнутыми, то есть если распределение процесса Леви в один момент времени принадлежит одному из этих семейств, то распределение процесса Леви во все моменты времени принадлежит к тому же семейству дистрибутивов. Например, процесс Пуассона будет распределен по Пуассону во все моменты времени, или броуновское движение будет нормально распределено во все моменты времени. Однако процесс Леви, который является обобщенно гиперболическим в один момент времени, может не быть обобщенно гиперболическим в другой момент времени. Фактически, обобщенные распределения Лапласа и нормальные обратные гауссовские распределения являются единственными подклассами обобщенных гиперболических распределений, которые замкнуты относительно свертки.^[4]

Связанные дистрибутивы

Как следует из названия, он имеет очень общую форму и является суперклассом, среди прочего, Студенты т-распределение, то Распределение Лапласа, то гиперболическое распределение, то нормально-обратное гауссово распределение и дисперсионно-гамма-распределение.

• ${\displaystyle X\sim \mathrm {GH} (-{\frac {\nu }{2}},0,0,{\sqrt {\nu }},\mu )\,}$ имеет Студенты т-распределение с ${\displaystyle \nu }$ степени свободы.
• ${\displaystyle X\sim \mathrm {GH} (1,\alpha ,\beta ,\delta ,\mu )\,}$ имеет гиперболическое распределение.

• ${\displaystyle X\sim \mathrm {GH} (-1/2,\alpha ,\beta ,\delta ,\mu )\,}$ имеет нормально-обратное гауссово распределение (НИГ).
• ${\displaystyle X\sim \mathrm {GH} (?,?,?,?,?)\,}$ нормально-обратное распределение хи-квадрат
• ${\displaystyle X\sim \mathrm {GH} (?,?,?,?,?)\,}$ нормально-обратное гамма-распределение (NI)
• ${\displaystyle X\sim \mathrm {GH} (\lambda ,\alpha ,\beta ,0,\mu )\,}$ имеет дисперсионно-гамма-распределение
• ${\displaystyle X\sim \mathrm {GH} (1,1,0,0,\mu )\,}$ имеет Распределение Лапласа с параметром местоположения ${\displaystyle \mu }$ и масштабный параметр 1.

Приложения

Он в основном применяется в областях, где требуется достаточная вероятность поведения в дальней зоне.^{[требуется разъяснение ]}, который он может моделировать благодаря своим полутяжелым хвостам - свойство нормальное распределение не обладает. В обобщенное гиперболическое распределение часто используется в экономике, особенно в области моделирование финансовых рынков и управление рисками из-за его полутяжелых хвостов.

Рекомендации

1. Оле Э. Барндорф-Нильсен, Томас Микош и Сидней И. Резник, Процессы Леви: теория и приложения, Биркхойзер, 2013
2. Барндорф-Нильсен, Оле (1977). «Экспоненциально убывающие распределения для логарифма размера частиц». Труды Лондонского королевского общества. Серия A, Математические и физические науки. Королевское общество. 353 (1674): 401–409. Bibcode:1977RSPSA.353..401B. Дои:10.1098 / rspa.1977.0041. JSTOR  79167.
3. О. Барндорф-Нильсен и Кристиан Халгрин, Бесконечная делимость гиперболического и обобщенного обратного гауссовского распределений, Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und verwandte Gebiete 1977
4. Подгорский, Кшиштоф; Валлин, Йонас (9 февраля 2015 г.). «Свёрточно-инвариантные подклассы обобщенных гиперболических распределений». Коммуникации в статистике - теория и методы. 45 (1): 98–103. Дои:10.1080/03610926.2013.821489.