Нецентральное t-распределение - Noncentral t-distribution

Нецентральная студенческая т

Функция плотности вероятности
Параметры	ν> 0 степеней свободы ${\displaystyle \mu \in \Re \,\!}$ параметр нецентральности
Поддерживать	${\displaystyle x\in (-\infty ;+\infty )\,\!}$
PDF	см текст
CDF	см текст
Иметь в виду	см текст
Режим	см текст
Дисперсия	см текст
Асимметрия	см текст
Ex. эксцесс	см текст

В нецентральный т-распространение обобщает Ученики т-распространение с помощью параметр нецентральности. В то время как центральный распределение вероятностей описывает, как тестовая статистика т распределяется, когда проверяемая разница равна нулю, нецентральное распределение описывает, как т распространяется, когда значение null ложно. Это приводит к его использованию в статистике, особенно для расчета статистическая мощность. Нецентральный т-распределение также известно как единично нецентральное т-распространение, и в дополнение к его первичному использованию в статистические выводы, также используется в надежное моделирование за данные.

Характеристика

Если Z это нормально распределенный случайная величина с единичной дисперсией и нулевым средним, и V это Распределенный хи-квадрат случайная величина с ν степени свободы это не зависит от Z, тогда

${\displaystyle T={\frac {Z+\mu }{\sqrt {V/\nu }}}}$

нецентральный т-распределенная случайная величина с ν степенями свободы и параметр нецентральности μ ≠ 0. Отметим, что параметр нецентральности может быть отрицательным.

Кумулятивная функция распределения

В кумулятивная функция распределения нецентральных т-распределение с ν степенями свободы и параметром нецентральности μ можно выразить как^[1]

${\displaystyle F_{\nu ,\mu }(x)={\begin{cases}{\tilde {F}}_{\nu ,\mu }(x),&{\mbox{if }}x\geq 0;\\1-{\tilde {F}}_{\nu ,-\mu }(x),&{\mbox{if }}x<0,\end{cases}}}$

где

${\displaystyle {\tilde {F}}_{\nu ,\mu }(x)=\Phi (-\mu )+{\frac {1}{2}}\sum _{j=0}^{\infty }\left[p_{j}I_{y}\left(j+{\frac {1}{2}},{\frac {\nu }{2}}\right)+q_{j}I_{y}\left(j+1,{\frac {\nu }{2}}\right)\right],}$

${\displaystyle I_{y}\,\!(a,b)}$ это регуляризованная неполная бета-функция,

${\displaystyle y={\frac {x^{2}}{x^{2}+\nu }},}$

${\displaystyle p_{j}={\frac {1}{j!}}\exp \left\{-{\frac {\mu ^{2}}{2}}\right\}\left({\frac {\mu ^{2}}{2}}\right)^{j},}$

${\displaystyle q_{j}={\frac {\mu }{{\sqrt {2}}\Gamma (j+3/2)}}\exp \left\{-{\frac {\mu ^{2}}{2}}\right\}\left({\frac {\mu ^{2}}{2}}\right)^{j},}$

а Φ - кумулятивная функция распределения стандартное нормальное распределение.

В качестве альтернативы нецентральный т-распределение CDF можно выразить как^{[нужна цитата ]}:

${\displaystyle F_{v,\mu }(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {1}{j!}}(-\mu {\sqrt {2}})^{j}e^{\frac {-\mu ^{2}}{2}}{\frac {\Gamma ({\frac {j+1}{2}})}{\sqrt {\pi }}}I\left({\frac {v}{v+x^{2}}};{\frac {v}{2}},{\frac {j+1}{2}}\right),&x\geq 0\\1-{\frac {1}{2}}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {1}{j!}}(-\mu {\sqrt {2}})^{j}e^{\frac {-\mu ^{2}}{2}}{\frac {\Gamma ({\frac {j+1}{2}})}{\sqrt {\pi }}}I\left({\frac {v}{v+x^{2}}};{\frac {v}{2}},{\frac {j+1}{2}}\right),&x<0\end{cases}}}$

где Γ - гамма-функция и я это регуляризованная неполная бета-функция.

Хотя существуют и другие формы кумулятивной функции распределения, первую форму, представленную выше, очень легко оценить с помощью рекурсивные вычисления.^[1] В статистическом ПО р, кумулятивная функция распределения реализована как pt.

Функция плотности вероятности

В функция плотности вероятности (pdf) для нецентральных т-распределение с ν> 0 степенями свободы и параметром нецентральности μ может быть выражено в нескольких формах.

В конфлюэнтная гипергеометрическая функция форма функции плотности

${\displaystyle f(x)=\underbrace {{\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{{\sqrt {\nu \pi }}\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}\left(1+{\frac {x^{2}}{\nu }}\right)^{-{\tfrac {\nu +1}{2}}}} _{{\text{StudentT}}(x\,;\,\mu =0)}\exp {\big (}-{\tfrac {\mu ^{2}}{2}}{\big )}{\Big \{}A_{\nu }(x\,;\,\mu )+B_{\nu }(x\,;\,\mu ){\Big \}},}$

где

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{\nu }(x\,;\,\mu )&={_{1}F}_{1}\left({\frac {\nu +1}{2}}\,;\,{\frac {1}{2}}\,;\,{\frac {\mu ^{2}x^{2}}{2(x^{2}+\nu )}}\right),\\B_{\nu }(x\,;\,\mu )&={\frac {{\sqrt {2}}\mu x}{\sqrt {x^{2}+\nu }}}{\frac {\Gamma ({\frac {\nu }{2}}+1)}{\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}}{_{1}F}_{1}\left({\frac {\nu }{2}}+1\,;\,{\frac {3}{2}}\,;\,{\frac {\mu ^{2}x^{2}}{2(x^{2}+\nu )}}\right),\end{aligned}}}$

и где ₁F₁ это конфлюэнтная гипергеометрическая функция.

Альтернативная интегральная форма^[2]

${\displaystyle f(x)={\frac {\nu ^{\frac {\nu }{2}}\exp \left(-{\frac {\nu \mu ^{2}}{2(x^{2}+\nu )}}\right)}{{\sqrt {\pi }}\Gamma ({\frac {\nu }{2}})2^{\frac {\nu -1}{2}}(x^{2}+\nu )^{\frac {\nu +1}{2}}}}\int _{0}^{\infty }y^{\nu }\exp \left(-{\frac {1}{2}}\left(y-{\frac {\mu x}{\sqrt {x^{2}+\nu }}}\right)^{2}\right)dy.}$

Третья форма плотности получается с использованием ее кумулятивных функций распределения следующим образом.

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {\nu }{x}}\left\{F_{\nu +2,\mu }\left(x{\sqrt {1+{\frac {2}{\nu }}}}\right)-F_{\nu ,\mu }(x)\right\},&{\mbox{if }}x\neq 0;\\{\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{{\sqrt {\pi \nu }}\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}\exp \left(-{\frac {\mu ^{2}}{2}}\right),&{\mbox{if }}x=0.\end{cases}}}$

Такой подход реализован dt функционировать в р.

Характеристики

Моменты нецентрального т-распространение

В целом kй грубый момент нецентрального т-распространение^[3]

${\displaystyle {\mbox{E}}\left[T^{k}\right]={\begin{cases}\left({\frac {\nu }{2}}\right)^{\frac {k}{2}}{\frac {\Gamma \left({\frac {\nu -k}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)}}{\mbox{exp}}\left(-{\frac {\mu ^{2}}{2}}\right){\frac {d^{k}}{d\mu ^{k}}}{\mbox{exp}}\left({\frac {\mu ^{2}}{2}}\right),&{\mbox{if }}\nu >k;\\{\mbox{Does not exist}},&{\mbox{if }}\nu \leq k.\\\end{cases}}}$

В частности, среднее и дисперсия нецентральных т-распределение

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mbox{E}}\left[T\right]&={\begin{cases}\mu {\sqrt {\frac {\nu }{2}}}{\frac {\Gamma ((\nu -1)/2)}{\Gamma (\nu /2)}},&{\mbox{if }}\nu >1;\\{\mbox{Does not exist}},&{\mbox{if }}\nu \leq 1,\\\end{cases}}\\{\mbox{Var}}\left[T\right]&={\begin{cases}{\frac {\nu (1+\mu ^{2})}{\nu -2}}-{\frac {\mu ^{2}\nu }{2}}\left({\frac {\Gamma ((\nu -1)/2)}{\Gamma (\nu /2)}}\right)^{2},&{\mbox{if }}\nu >2;\\{\mbox{Does not exist}},&{\mbox{if }}\nu \leq 2.\\\end{cases}}\end{aligned}}}$

Отличное приближение к ${\displaystyle {\sqrt {\frac {\nu }{2}}}{\frac {\Gamma ((\nu -1)/2)}{\Gamma (\nu /2)}}}$ является ${\displaystyle \left(1-{\frac {3}{4\nu -1}}\right)^{-1}}$, который можно использовать в обеих формулах.

Асимметрия

Нецентральный т-распределение асимметрично, если μ не равен нулю, т.е. т-распределение. Кроме того, асимметрия тем меньше, чем больше t. Правый хвост будет тяжелее левого при μ> 0, и наоборот. Однако обычная асимметрия обычно не является хорошей мерой асимметрии для этого распределения, потому что, если степени свободы не больше 3, третий момент вообще не существует. Даже если число степеней свободы больше 3, выборочная оценка асимметрии все еще очень нестабильна, если только размер выборки не очень большой.

Режим

Нецентральный т-распределение всегда унимодальное и колоколообразное, но мода недоступна аналитически, хотя для μ ≠ 0 мы имеем^[4]

${\displaystyle {\sqrt {\frac {\nu }{\nu +(5/2)}}}<{\frac {\mathrm {mode} }{\mu }}<{\sqrt {\frac {\nu }{\nu +1}}}}$

В частности, мода всегда имеет тот же знак, что и параметр нецентральности μ. Более того, минус режима - это как раз режим для нецентрального т-распределение с тем же числом степеней свободы ν, но параметром нецентральности −μ.

Режим строго возрастает с увеличением μ (он всегда движется в том же направлении, что и μ). В пределе, когда μ → 0, мода аппроксимируется соотношением

${\displaystyle {\sqrt {\frac {\nu }{2}}}{\frac {\Gamma \left({\frac {\nu +2}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {\nu +3}{2}}\right)}}\mu ;\,}$

а при μ → ∞ мода аппроксимируется формулой

${\displaystyle {\sqrt {\frac {\nu }{\nu +1}}}\mu .}$

Вхождения

Использование в анализе мощности

Предположим, у нас есть независимая и одинаково распределенная выборка Икс₁, ..., Икс_п каждый из которых имеет нормальное распределение со средним θ и дисперсией σ², и мы заинтересованы в тестировании нулевая гипотеза θ = 0 по сравнению с Альтернативная гипотеза θ ≠ 0. Мы можем выполнить один образец т-тест с использованием статистика теста

${\displaystyle T={\frac {\bar {X}}{{\hat {\sigma }}/{\sqrt {n}}}}={\frac {{\frac {{\bar {X}}-\theta }{(\sigma /{\sqrt {n}})}}+{\frac {\theta }{(\sigma /{\sqrt {n}})}}}{\sqrt {\left.\left({\frac {{\hat {\sigma }}^{2}}{\sigma ^{2}/(n-1)}}\right)\right/(n-1)}}}}$

где ${\displaystyle {\bar {X}}}$ выборочное среднее и ${\displaystyle {\hat {\sigma }}^{2}\,\!}$ беспристрастный выборочная дисперсия. Поскольку правая часть второго равенства в точности соответствует характеристике нецентрального т-распределение, как описано выше, Т имеет нецентральный т-распространение с п−1 степень свободы и параметр нецентральности ${\displaystyle {\sqrt {n}}\theta /\sigma \,\!}$.

Если процедура проверки отклоняет нулевую гипотезу всякий раз, когда ${\displaystyle |T|>t_{1-\alpha /2}\,\!}$, где ${\displaystyle t_{1-\alpha /2}\,\!}$ - верхний квантиль α / 2 (центральный) Студенческий т-распространение для заранее заданного α ∈ (0, 1), то мощность этого теста определяется выражением

${\displaystyle 1-F_{n-1,{\sqrt {n}}\theta /\sigma }(t_{1-\alpha /2})+F_{n-1,{\sqrt {n}}\theta /\sigma }(-t_{1-\alpha /2}).}$

Подобные приложения нецентрального т-распространение можно найти в анализ мощности общей нормальной теории линейные модели, который включает вышеуказанное один образец т-тест как частный случай.

Использование в интервалах допуска

Односторонний нормальный интервалы допуска иметь точное решение с точки зрения выборочного среднего и выборочной дисперсии на основе нецентрального т-распределение.^[5] Это позволяет рассчитать статистический интервал, в который с некоторым уровнем достоверности попадает заданная доля отобранной совокупности.

Связанные дистрибутивы

• Центральная т-распределение: центральное т-распределение может быть преобразовано в место расположения /масштаб семья. Это семейство распределений используется в моделировании данных для отслеживания различных поведений хвостов. Расположение / масштабное обобщение центрального т-распределение отличается от нецентрального распределения. т-распространение обсуждается в этой статье. В частности, это приближение не учитывает асимметрию нецентрального т-распределение. Однако центральный т-распределение можно использовать как приближение к нецентральному т-распределение.^[6]
• Если Т нецентральный т-распределены с ν степенями свободы и параметром нецентральности μ и F = Т², тогда F имеет нецентральный F-распространение со степенью свободы в числителе, ν степенями свободы в знаменателе и параметром нецентральности μ².
• Если Т нецентральный т-распределены с ν степенями свободы и параметром нецентральности μ и ${\displaystyle Z=\lim _{\nu \rightarrow \infty }T}$, тогда Z имеет нормальное распределение со средним μ и единичной дисперсией.
• Когда знаменатель параметр нецентральности вдвойне нецентральный т-распространение равен нулю, то он становится нецентральным т-распределение.

Особые случаи

• При μ = 0 нецентральная т-распределение становится центральный (Студенческий) т-распространение с такими же степенями свободы.

Смотрите также

• Нецентральный F-распространение

Рекомендации

1. Лент, Рассел V (1989). "Алгоритм AS 243: Кумулятивная функция распределения нецентральных т Распределение". Журнал Королевского статистического общества, серия C. 38 (1): 185–189. JSTOR  2347693.
2. Л. Шарф, Статистическая обработка сигналов, (Массачусетс: Аддисон-Уэсли, 1991), стр.177.
3. Hogben, D; Вилк, МБ (1961). «Моменты нецентрального т-распределение". Биометрика. 48 (3–4): 465–468. Дои:10.1093 / biomet / 48.3-4.465. HDL:2027 / coo.31924001119068. JSTOR  2332772.
4. ван Обель, А; Гавронски, В. (2003). «Аналитические свойства нецентральных распределений». Прикладная математика и вычисления. 141: 3–12. Дои:10.1016 / S0096-3003 (02) 00316-8.
5. Дерек С. Янг (август 2010 г.). "толерантность: пакет R для оценки интервалов допуска". Журнал статистического программного обеспечения. 36 (5): 1–39. ISSN  1548-7660. Получено 19 февраля 2013., стр.23
6. Хелена Чмура Кремер; Минья Пайк (1979). "Центральное t-приближение к нецентральному t-распределению". Технометрика. 21 (3): 357–360. Дои:10.1080/00401706.1979.10489781. JSTOR  1267759.

внешняя ссылка

• Эрик В. Вайсштейн. "Нецентральная студенческая т-Распределение." Из MathWorld - веб-ресурса Wolfram
• Расчет с высокой точностью для жизни или науки: нецентральный т-распространение От компании Casio.