Распределение Юла – Саймона - Yule–Simon distribution

Юл – Саймон

Вероятностная функция масс PMF Юла – Саймона в логарифмическом масштабе. (Обратите внимание, что функция определена только при целочисленных значениях k. Соединительные линии не указывают на непрерывность.)
Кумулятивная функция распределения Юла – Саймона CMF. (Обратите внимание, что функция определена только при целочисленных значениях k. Соединительные линии не указывают на непрерывность.)
Параметры	${\displaystyle \rho >0\,}$ форма (настоящий )
Поддерживать	${\displaystyle k\in \{1,2,\dotsc \}}$
PMF	${\displaystyle \rho \operatorname {B} (k,\rho +1)}$
CDF	${\displaystyle 1-k\operatorname {B} (k,\rho +1)}$
Иметь в виду	${\displaystyle {\frac {\rho }{\rho -1}}}$ за ${\displaystyle \rho >1}$
Режим	${\displaystyle 1}$
Дисперсия	${\displaystyle {\frac {\rho ^{2}}{(\rho -1)^{2}(\rho -2)}}}$ за ${\displaystyle \rho >2}$
Асимметрия	${\displaystyle {\frac {(\rho +1)^{2}{\sqrt {\rho -2}}}{(\rho -3)\rho }}\,}$ за ${\displaystyle \rho >3}$
Бывший. эксцесс	${\displaystyle \rho +3+{\frac {11\rho ^{3}-49\rho -22}{(\rho -4)(\rho -3)\rho }}}$ за ${\displaystyle \rho >4}$
MGF	${\displaystyle {\frac {\rho }{\rho +1}}{}_{2}F_{1}(1,1;\rho +2;e^{t})\,e^{t}}$
CF	${\displaystyle {\frac {\rho }{\rho +1}}{}_{2}F_{1}(1,1;\rho +2;e^{i\,t})e^{i\,t}}$

В вероятность и статистика, то Распределение Юла – Саймона это дискретное распределение вероятностей названный в честь Удный Йоль и Герберт А. Саймон. Саймон изначально называл это Распределение Йоля.^[1]

В функция массы вероятности (pmf) Юла – Саймона (ρ) распределение

${\displaystyle f(k;\rho )=\rho \operatorname {B} (k,\rho +1),}$

за целое число ${\displaystyle k\geq 1}$ и настоящий ${\displaystyle \rho >0}$, куда ${\displaystyle \operatorname {B} }$ это бета-функция. Эквивалентно PMF можно записать в терминах возрастающий факториал в качестве

${\displaystyle f(k;\rho )={\frac {\rho \Gamma (\rho +1)}{(k+\rho )^{\underline {\rho +1}}}},}$

куда ${\displaystyle \Gamma }$ это гамма-функция. Таким образом, если ${\displaystyle \rho }$ целое число,

${\displaystyle f(k;\rho )={\frac {\rho \,\rho !\,(k-1)!}{(k+\rho )!}}.}$

Параметр ${\displaystyle \rho }$ можно оценить с помощью алгоритма с фиксированной точкой.^[2]

Функция массы вероятности ж обладает тем свойством, что при достаточно больших k у нас есть

${\displaystyle f(k;\rho )\approx {\frac {\rho \Gamma (\rho +1)}{k^{\rho +1}}}\propto {\frac {1}{k^{\rho +1}}}.}$

График распределения Юла – Саймона (1) (красный) и его асимптотический закон Ципфа (синий)

Это означает, что хвост распределения Юла – Саймона является реализацией Закон Ципфа: ${\displaystyle f(k;\rho )}$ можно использовать для моделирования, например, относительной частоты ${\displaystyle k}$-е самое частое слово в большом наборе текста, который согласно закону Ципфа обратно пропорциональный до (обычно небольшой) степени ${\displaystyle k}$.

Вхождение

Распределение Юла – Саймона возникло первоначально как предельное распределение определенного случайный процесс изучен Юлом как модель распределения биологических таксонов и субтаксонов.^[3] Саймон назвал этот процесс «Святочным процессом», но сегодня он более известен как преференциальная привязанность процесс.^{[нужна цитата ]} Процесс льготного прикрепления - это урна процесс в котором шары добавляются к растущему количеству урн, каждый шар распределяется по урне с вероятностью, линейной по количеству, которое уже содержится в урне.

Распределение также возникает как составное распределение, в котором параметр геометрическое распределение рассматривается как функция случайной величины, имеющая экспоненциальное распределение.^{[нужна цитата ]} В частности, предположим, что ${\displaystyle W}$ следует экспоненциальному распределению с шкала ${\displaystyle 1/\rho }$ или оценить ${\displaystyle \rho }$:

${\displaystyle W\sim \operatorname {Exponential} (\rho ),}$

с плотностью

${\displaystyle h(w;\rho )=\rho \exp(-\rho w).}$

Тогда распределенная переменная Юла – Саймона K имеет следующее геометрическое распределение при условии W:

${\displaystyle K\sim \operatorname {Geometric} (\exp(-W)).}$

ПДС геометрического распределения равна

${\displaystyle g(k;p)=p(1-p)^{k-1}}$

за ${\displaystyle k\in \{1,2,\dotsc \}}$. Тогда PMF Юла – Саймона представляет собой следующее составное экспоненциально-геометрическое распределение:

${\displaystyle f(k;\rho )=\int _{0}^{\infty }g(k;\exp(-w))h(w;\rho )\,dw.}$

В оценщик максимального правдоподобия для параметра ${\displaystyle \rho }$ учитывая наблюдения ${\displaystyle k_{1},k_{2},k_{3},\dots ,k_{N}}$ является решением уравнения с неподвижной точкой

${\displaystyle \rho ^{(t+1)}={\frac {N+a-1}{b+\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{k_{i}}{\frac {1}{\rho ^{(t)}+j}}}},}$

куда ${\displaystyle b=0,a=1}$ - параметры скорости и формы гамма-распределение до ${\displaystyle \rho }$.

Этот алгоритм разработан Гарсией. ^[2] путем прямой оптимизации вероятности. Робертс и Робертс ^[4]

обобщить алгоритм на Байесовский настройки с составной геометрической формулой, описанной выше. Кроме того, Робертс и Робертс ^[4] могут использовать Максимизация ожиданий (EM), чтобы показать сходимость алгоритма с фиксированной точкой. Более того, Робертс и Робертс ^[4] вывести сублинейность скорости сходимости для алгоритма с фиксированной точкой. Кроме того, они используют формулировку EM, чтобы дать 2 альтернативных вывода стандартной ошибки оценки из уравнения с фиксированной точкой. Дисперсия ${\displaystyle \lambda }$ оценщик

${\displaystyle \operatorname {Var} ({\hat {\lambda }})={\frac {1}{{\frac {N}{{\hat {\lambda }}^{2}}}-\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{k_{i}}{\frac {1}{({\hat {\lambda }}+j)^{2}}}}},}$

в стандартная ошибка - квадратный корень из количества этой оценки, деленного на N.

Обобщения

Двухпараметрическое обобщение исходного распределения Юла заменяет бета-функцию на неполная бета-функция. Вероятностная функция масс обобщенного Юла – Саймона (ρ, α) распределение определяется как

${\displaystyle f(k;\rho ,\alpha )={\frac {\rho }{1-\alpha ^{\rho }}}\;\mathrm {B} _{1-\alpha }(k,\rho +1),\,}$

с ${\displaystyle 0\leq \alpha <1}$. За ${\displaystyle \alpha =0}$ обыкновенный Юла – Саймона (ρ) распределение получается как частный случай. Использование неполной бета-функции приводит к экспоненциальному ограничению в верхнем хвосте.

Смотрите также

• Дзета-распределение
• Безмасштабная сеть

Библиография

• Колин Роуз и Мюррей Д. Смит, Математическая статистика в системе Mathematica. Нью-Йорк: Спрингер, 2002 г., ISBN  0-387-95234-9. (См. Стр. 107, где это называется «Святочная раздача».)

Рекомендации

1. Саймон, Х.А. (1955). «Об одном классе функций косого распределения». Биометрика. 42 (3–4): 425–440. Дои:10.1093 / biomet / 42.3-4.425.
2. Гарсия Гарсия, Хуан Мануэль (2011). «Алгоритм с фиксированной точкой для оценки параметра распределения Юла-Саймона». Прикладная математика и вычисления. 217 (21): 8560–8566. Дои:10.1016 / j.amc.2011.03.092.
3. Юл, Г. У. (1924). "Математическая теория эволюции, основанная на выводах доктора Дж. К. Уиллиса, F.R.S". Философские труды Королевского общества B. 213 (402–410): 21–87. Дои:10.1098 / рстб.1925.0002.
4. Робертс, Лукас; Робертс, Дениса (2017). «Рамки максимизации ожиданий для предпочтительных моделей привязанности». arXiv:1710.08511 [stat.CO ].