Распределение Dagum - Dagum distribution

Дагум Дистрибьюшн

Функция плотности вероятности
Кумулятивная функция распределения
Параметры	${\displaystyle p>0}$ форма ${\displaystyle a>0}$ форма ${\displaystyle b>0}$ шкала
Поддерживать	${\displaystyle x>0}$
PDF	${\displaystyle {\frac {ap}{x}}\left({\frac {({\tfrac {x}{b}})^{ap}}{\left(({\tfrac {x}{b}})^{a}+1\right)^{p+1}}}\right)}$
CDF	${\displaystyle {\left(1+{\left({\frac {x}{b}}\right)}^{-a}\right)}^{-p}}$
Иметь в виду	${\displaystyle {\begin{cases}-{\frac {b}{a}}{\frac {\Gamma \left(-{\tfrac {1}{a}}\right)\Gamma \left({\tfrac {1}{a}}+p\right)}{\Gamma (p)}}&{\text{if}}\ a>1\\{\text{Indeterminate}}&{\text{otherwise}}\ \end{cases}}}$
Медиана	${\displaystyle b{\left(-1+2^{\tfrac {1}{p}}\right)}^{-{\tfrac {1}{a}}}}$
Режим	${\displaystyle b{\left({\frac {ap-1}{a+1}}\right)}^{\tfrac {1}{a}}}$
Дисперсия	${\displaystyle {\begin{cases}-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}\left(2a{\frac {\Gamma \left(-{\tfrac {2}{a}}\right)\,\Gamma \left({\tfrac {2}{a}}+p\right)}{\Gamma \left(p\right)}}+\left({\frac {\Gamma \left(-{\tfrac {1}{a}}\right)\Gamma \left({\tfrac {1}{a}}+p\right)}{\Gamma \left(p\right)}}\right)^{2}\right)&{\text{if}}\ a>2\\{\text{Indeterminate}}&{\text{otherwise}}\ \end{cases}}}$

В Распределение Dagum является непрерывным распределение вероятностей определяется по положительные действительные числа. Он назван в честь Камило Дагума, который предложил его в серии статей в 1970-х годах.^[1][2] Распределение Дагума возникло из нескольких вариантов новой модели распределения личного дохода по размеру и в основном связано с изучением распределение доходов. Существует как трехпараметрическая спецификация (Тип I), так и четырехпараметрическая спецификация (Тип II) распределения Дагума; краткое изложение происхождения этого распределения можно найти в «Руководстве по распределениям Dagum».^[3] Общий источник статистических распределений размеров, часто цитируемый в работах, использующих распределение Дагума: Статистические распределения размеров в экономике и актуарных науках.^[4]

Определение

В кумулятивная функция распределения распределения Дагума (Тип I) определяется выражением

${\displaystyle F(x;a,b,p)=\left(1+\left({\frac {x}{b}}\right)^{-a}\right)^{-p}{\text{ for }}x>0{\text{ where }}a,b,p>0.}$

Соответствующие функция плотности вероятности дан кем-то

${\displaystyle f(x;a,b,p)={\frac {ap}{x}}\left({\frac {({\tfrac {x}{b}})^{ap}}{\left(({\tfrac {x}{b}})^{a}+1\right)^{p+1}}}\right).}$

В квантильная функция дан кем-то

${\displaystyle Q(u;a,b,p)=b(u^{-1/p}-1)^{-1/a}}$

Распределение Дагума может быть получено как частный случай обобщенная Beta II (GB2) распределение (обобщение Бета-простое распределение ):

${\displaystyle X\sim D(a,b,p)\iff X\sim GB2(a,b,p,1)}$

Также существуют близкие отношения между Дагумом и Распределение Сингха-Маддалы.

${\displaystyle X\sim D(a,b,p)\iff {\frac {1}{X}}\sim SM(a,{\tfrac {1}{b}},p)}$

В кумулятивная функция распределения распределения Dagum (Тип II) добавляет точечную массу в начале координат, а затем следует распределение Dagum (Тип I) по остальной части опоры (то есть по положительной полулинии)

${\displaystyle F(x;a,b,p,\delta )=\delta +(1-\delta )\left(1+\left({\frac {x}{b}}\right)^{-a}\right)^{-p}.}$

Использование в экономике

Распределение Дагума часто используется для моделирования распределения доходов и богатства. Связь между Dagum Type I и коэффициент Джини резюмируется в следующей формуле:^[5]

${\displaystyle G={\frac {\Gamma (p)\Gamma (2p+1/a)}{\Gamma (2p)\Gamma (p+1/a)}}-1,}$

куда ${\displaystyle \Gamma (\cdot )}$ это гамма-функция. Обратите внимание, что это значение не зависит от параметра масштаба, ${\displaystyle b}$.

Хотя распределение Дагума - не единственное трехпараметрическое распределение, используемое для моделирования распределения доходов, оно обычно является наиболее подходящим.^[6]

Рекомендации

1. Дагум, Камило (1975); Модель распределения доходов и условия существования моментов конечного порядка; Бюллетень Международный Статистический Институт, 46 (Материалы 40-й сессии ISI, Contributed Paper), 199–205.
2. Дагум, Камило (1977); Новая модель распределения личного дохода: Уточнение и оценка; Economie Appliquée, 30, 413–437.
3. Кляйбер, Кристиан (2008) «Путеводитель по распределению дагумов» в Chotikapanich, Duangkamon (ред.) Моделирование распределения доходов и кривых Лоренца (экономические исследования неравенства, социальной изоляции и благополучия), Глава 6, Springer
4. Клейбер, Кристиан и Сэмюэл Коц (2003) Статистические распределения размеров в экономике и актуарных науках, Wiley
5. Клейбер, Кристиан (2007); Руководство по распределению Dagum (рабочий документ)
6. Бандуриан, Рипси (2002); Сравнение параметрических моделей распределения доходов по странам и во времени

внешняя ссылка

• Камило Дагум (1925-2005) : некролог